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S́́ ́
́  ́ 
C     ́ 2008
Exercice 1 (5 points)
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
On rappelle que 2003 est un nombre premier.
1.
(a) Déterminer deux entiers relatifs u et v tels que :
123u + 2003v = 1.
On effectue l’algorithme d’Euclide :
2003 = 16 × 123 + 35
123 = 3 × 35 + 18
35 = 1 × 18 + 17
18 = 1 × 17 + 1
En remontant cet algorithme, on trouve u = 114 et v = −7.
(b) En déduire un entier relatif k0 tel que :
123k0 ≡ 1 [2003].
D’après le a, on a 123 × 114 = 2003v + 1 donc 123 × 114 ≡ 1[2003].
Donc k0 = 114 convient.
(c) Montrer que, pour tout entier relatif x,
123x ≡ 456 [2003]si et seulement si x ≡ 456k0 [2003].
123x ≡ 456[2003]
⇔
123 × k0 × x ≡ 456k0 [2003]
x ≡ 456k0 [2003]
⇔
|{z}
c f.b) et transitivite
(d) Déterminer l’ensemble des entiers relatifs x tels que :
123x ≡ 456 [2003].
D’aptrès la question c), on en déduit que x = 2003k + 51984
avec
k ∈ Z.
(e) Montrer qu’il existe un unique entier n tel que :
1 6 n 6 2002 et 123n ≡ 456 [2003].
Il y a içi de nombreuses méthodes possibles mais l’important est de montrer l’unicité de n.
n = 2003k + 51984
avec
k ∈ Z. De plus on nous impose 1 6 n 6 2002 c’est à dire :
−51983
−49982
1 6 2003k + 51984 6 2002 ⇔
≤k≤
.
2003
2003
1
S́́ ́
Or
−51983
≈ −25.95
2003
́  ́ 
et
−49982
≈ −24.95.
2003
Donc le seul entier compris entre
−51983
−49982
et
est −25.
2003
2003
On en déduit que n est unique : n = 1909.
2. Soit a un entier tel que : 1 6 a 6 2002.
(a) Déterminer :
PGCD(a, 2003).
2003 étant un nombre premier. Ses seuls diviseur sont 1 et 2003. Donc PGCD(a, 2003) = 1
En déduire qu’il existe un entier m tel que :
am ≡ 1 [2003].
D’après le théorème de Bézout, il existe des entiers m et v tels que am + 2003v = 1. Donc
am ≡ 1[2003].
(b) Montrer que, pour tout entier b, il existe un unique entier x tel que :
0 6 x 6 2002
et ax ≡ b [2003].
Soit b un entier.
On sait qu’il existe un entier m tel que am ≡ 1[2003] donc am × b ≡ b[2003].
Soit x le reste de la division euclidienne de mb par 2003.
On a alors x ≡ mb[2003] et 0 6 x 6 2002.
En multipliant par a et par transitivité on a ax ≡ b [2003]
Il faut maintenant montrer que x est unique tel que ax ≡ b [2003] (∗)
Soit x0 un entier inférieur à 2002 tel que ax0 ≡ b [2003] (∗∗).
En faisant la soustraction de (*) et (**) on a : a(x − x0 ) ≡ 0[2003].
2003 disise a(x − x0 ) et PGCD(a, 2003) = 1.
Donc d’après le théorème de Gauss, 2003 divise x − x0 donc x − x0 ≥ 2003 ou x − x0 = 0
Or x et x0 sont des entiers naturels inférieurs ou égaux à 2002 donc 0 ≤ x − x0 < 2003.
Donc on a forcément x − x0 = 0, c’est à dire x = x0 .
L’entier x recherché est donc le reste de la division euclidienne de mb par 2003.
A :
Prenons a = 1669 et b = 2001. Résolvons l’équation 1669x ≡ 2001[2003].
On cherche d’abord m.
Avec l’algorithme d’Euclide on trouve 1669 × −6 ≡ 1[2003]. Donc m = −6
Donc x est le reste de la division euclidienne de −6 × 2001 par 2003 c’est à dire x = 12 .
1669 × 12 − 2001 est divisible par 2003.
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