Licence Math-Info TD Probabilités et Statistiques Feuille 1

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TD Probabilités et Statistiques
Feuille 1
Exercice 1. Soient A, B, C trois événements, c’est-à-dire trois parties d’un ensemble Ω. Lorsqu’on “tire au
hasard” un élément ω de Ω, on dit que A se produit si ω ∈ A. Décrire avec des opérations ensemblistes les
événements suivants :
1. A et B se produisent.
2. A seul se produit, B et C ne se produisent pas.
3. L’un au moins des événements se produit.
4. Deux événements au moins se produisent.
5. Deux événements au moins se produisent, parmi lesquels A.
6. Un événement au plus se produit.
7. Un événement exactement se produit.
8. Aucun des trois événements ne se produit.
9. Deux événements exactement se produisent.
10. Deux événements exactement se produisent, parmi lesquels A.
Exercice 2. On lance une infinité de fois une pièce. On obtient donc une suite infinie formée de piles et de
faces, qui appartient à {Pile, Face}N . On note An l’événement “Pile apparaı̂t au n-ième coup”. Décrire les
événements suivants avec des opérations ensemblistes :
1. On obtient face au deuxième coup.
2. On obtient au moins un pile.
3. On obtient jamais pile.
4. On obtient exactement un pile.
5. On obtient que des faces après le 100-ième coup.
6. On obtient pile un nombre fini de fois.
7. On obtient pile un nombre infini de fois.
Exercice 3. On suppose que dans un restaurant universitaire on propose deux desserts à chaque repas. La
probabilité que l’un des deux soit un yaourt est de 0.4, la probabilité que l’un des deux soit une orange est
de 0.8 et la probabilité que les deux soient un yaourt et une orange est de 0.3. Calculer la probabilité que
l’on propose :
– un yaourt et pas d’orange,
– une orange et pas de yaourt,
– ni yaourt ni orange.
Exercice 4. On tire simultanément 5 cartes au hasard dans un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité :
1. p1 de tirer l’as de pique et l’as de trèfle ?
2. p2 de tirer exactement deux as ?
3. p3 de tirer au moins deux as ?
4. p4 de tirer une double paire ?
5. p5 de tirer un full (3 cartes d’une valeur et deux d’une seconde valeur) ?
6. p6 de tirer une suite ?
Exercice 5. On lance deux dés à 6 faces, non pipés. Quelle est la probabilité que le maximum des deux
dés soit 6 ? Quelle est la probabilité que ce soit 4 ?
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Exercice 6. On jette trois dés non pipés. Calculer :
1. la probabilité d’obtenir au moins un 2,
2. la probabilité d’obtenir au moins deux faces portant le même chiffre,
3. la probabilité que la somme des points marqués sur les trois faces soit paire,
Exercice 7. On joue trois fois à pile ou face avec une pièce truquée telle que la probabilité d’avoir un pile
vaut p avec p ∈]0, 1[.
– Quelle est la probabilité d’obtenir Pile Face Face ? Quelle est la probabilité d’obtenir 1 pile exactement ?
Quelle est la probabilité d’obtenir au moins 1 pile ?
– On joue maintenant n fois. Quelle est la probabilité d’obtenir un pile exactement ? Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un pile ?
– Et si on joue une infinité de fois ?
Exercice 8.
1. Mon voisin a deux enfants dont une fille. Quelle est la probabilité que l’autre enfant soit un garçon ?
2. Un autre voisin a deux enfants. Le plus jeune est une fille. Quelle est la probabilité que l’aı̂né soit un
garçon ?
Exercice 9. Une urne contient six boules dont 4 blanches et 2 noires. On extrait une boule de l’urne, on
note sa couleur, puis on la remet dans l’urne. On effectue ensuite des tirages sans remise jusqu’à l’obtention
d’une boule de la même couleur que précédement. Soit k ∈ N∗ . Déterminer la probabilité que le nombre de
tirage après remise de la boule initialement tirée soit k.
Exercice 10. Dans un élevage de poulets un animal est atteint par une maladie M avec une probabilité
de 0, 2. Un test de dépistage est utilisé. La probabilité qu’un poulet non atteint par M soit négatif au test
est de 0, 9. La probabilité qu’un poulet atteint par M soit positif au test est de 0, 8. Quelle est la probabilité
qu’un poulet pris au hasard et ayant une réaction positive soit atteint par M ?
Exercice 11. On considère n « menteurs » I1 , I2 , ..., In . Le premier menteur I1 reçoit une information
sous la forme de « oui » ou « non ». Il transmet l’information à I2 , ainsi de suite jusqu’à In qui l’annonce
au monde. Chacun des menteurs transmet ce qu’il a entendu avec la probabilité p et le contraire avec la
probabilité 1 − p où 0 < p < 1. De plus, les réponses des n individus sont indépendantes.
1. Soit pn la probabilité que l’information soit fidèlement transmise. Déterminer une relation liant pn et
pn+1 .
2. En déduire la valeur de pn et sa limite lorsque n tend vers l’infini.
Exercice 12. Une urne U contient a boules blanches et b boules rouges tandis qu’une urne V contient b
boules blanches et a boules rouges. On effectue une suite de tirages successifs d’une boule dans U ou dans
V selon les règles suivantes. Le premier tirage s’effectue dans l’urne U. Si à un tirage on a obtenu une boule
blanche, le tirage suivant s’effectue dans U, mais si on a obtenu une boule rouge, le tirage suivant s’effectue
dans V. Après chaque tirage, la boule est remise dans l’urne dont elle provient. Pour n > 1, soit pn la
probabilité d’obtenir une boule blanche au nième tirage.
1. Montrer, pour tout n > 1, la relation pn+1 = cpn + d avec c et d à déterminer.
2. En déduire la valeur de pn et sa limite quand n tend vers l’infini.
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