II Probabilités conditionnelles III Indépendance de deux événements

II Probabilités conditionnelles
Introduction : Soit un bocal contenant 3 boules jaunes, 2 boules rouges, 1 boule bleue. On en tire une, puis une
autre, sans remettre la première dans le bocal. Soit A : ”La première boule tirée est jaune” Soit B : ”La deuxième boule
tirée est jaune”.
Sur 6 boules, il y a 3 boules jaunes, donc p(A) = 63 = 0.5. Si je ne sais rien du premier tirage, p(B) =
également : chacune des 6 boules a autant de chance d’être tirée au deuxième tour.
3
6
= 0.5
Si maintenant on sait que l’événement A a été réalisé, c’est-à-dire qu’une boule jaune a été tirée au premier tour,
la probabilité de B s’en trouve modifiée : on sait qu’une boule jaune est en dehors du bocal. Il ne reste donc plus que
5 boules dont 2 jaunes : la probabilité de B sachant que A a été réalisé est de 25 = 0.4 au lieu de 0.5 quand on ne
savait rien du premier tirage. On note : pA (B) = 0.4 où pA (B) se lit ”probabilité de B sachant A”. C’est la probabilité
conditionnelle de B sachant A.
1. definition
Considérons une épreuve aléatoire d’univers Ω et un événement B tel que p(B) 6= 0.
La probabilité conditionnelle de B sachant A, notée pA (B), est le nombre pA (B) =
Définition
p(A∩B)
p(A) .
Remarque :
– Comme toute probabilité, pA (B) est un nombre compris entre 0 et 1.
– Pour retenir la formule, notez que : ”la même lettre (le A ici) est en bas des deux côtés de l’égalité”...
– Cette formule est utilisée pour calculer une probabilité conditionnelle pA (B), si l’on connaît préalablement p(A) et p(A ∩ B).
– pB (A) = p(A∩B)
p(B) et différent de pA (B).
2. Réciproque : trouver p(A ∩ B) connaissant pA (B)
pA (B) =
p(A∩B)
p(A)
Proposition
donc p(A ∩ B) = p(A)pA (B).
p(A ∩ B) = p(A)pA (B)
Remarque :
– Cette formule est utilisée pour calculer p(A ∩ B) lorsqu’on connaît déjà pA (B) et p(A) (ou pB (A) et
p(B)).
3. exercices
• Pour apprendre à traduire des données en pourcentage en terme de probabilités et de probabilités
conditionnelle : exercices 26 et 28 p. 108 (et ensuite à utiliser la formule des probabilités conditionnelles).
• Pour apprendre à manier les probabilités conditionnelles dans le cas d’un tableau à double entrée (et
en particulier à faire la différence entre p(A ∩ B) et pA (B)) : exercices 31 p108, DS3 exo 3, DM2 exo 3.
III Indépendance de deux événements
Introduction : On lance un dé à 6 faces, et on observe les événements :
A=”on obtient un chiffre impair”
B=”on obtient un multiple de 3 ”.
Est-ce que le fait de savoir que A est réalisé change la probabilité de B ? Pour le savoir,
– calculons p(B) : p(B) = 62 (2 multiples de 3 parmi les 6 premiers chiffres : 3 et 6). Donc p(B) = 13 .
– Calculons maintenant pA (B) : si l’on sait déjà qu’on a obtenu un chiffre impair, on sait que le chiffre obtenu
est 1, 3, ou 5 ; parmi eux, seul 3 est un multiple de 3. La probabilité d’obtenir un multiple de 3 sachant que le
chiffre obtenu est impair vaut donc : pA (B) = 13 .
La probabilité de B, que A ait été réalisé ou pas, est la même : A n’influe pas sur la probabilité que B se réalise : on
dit que A et B sont indépendants. Formalisons.
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Définition
Soit A et B deux événements de probabilités non nulles (p(A) 6= 0, p(B) 6= 0). A et B sont indépendants
si et seulement si pA (B) = p(B) (ou si pB (A) = p(A)).
Or pA (B) =
p(A∩B)
p(A) ,
donc
pA (B) = p(B) ⇔ p(A∩B)
p(A) = p(B)
⇔ p(A ∩ B) = p(A)p(B)
Théorème 0.1
A et B sont indépendants si et seulement si p(A ∩ B) = p(A)p(B).
Remarques :
– Démontrer que deux événements A et B sont indépendants : on calcule p(A) × p(B), puis on
calcule p(A ∩ B). Si ces deux nombres sont égaux, alors A et B sont indépendants.
– L’énoncé affirme que deux événements A et B sont indépendants, puis demande de calculer
p(A ∩ B) : dans ce cas (et seulement quand A et B sont indépendants) on peut utiliser la formule :
p(A ∩ B) = p(A)p(B).
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IV Arbre de probabilités
Représentation sous forme d’arbre
Dans l’univers Ω d’une épreuve aléatoire, on considère deux événements A et B non impossibles. On peut
représenter l’expérience grâce à un arbre de probabilité :
Au premier niveau, on regarde
si A est réalisé (première branche)
ou A n’est pas réalisé. La probabilité de passer par la branche du
haut est p(A), la probabilité de
passer par la branche du bas est
p(A).
Au deuxième niveau on sait que A
est réalisé (en haut) ou que A n’est
pas réalisé (en bas). On regarde
alors si B est réalisé. La probabilité de réaliser B sachant que A a
déjà été réalisé est pA (B) (branche
du haut, deuxième niveau).
Au final, on obtient en suivant l’un
des quatre chemins de l’arbre l’un
des événements suivants : A∩B (A
est réalisé et B aussi) ; A∩B (A est
réalisé et B ne l’est pas) ; A ∩ B (A
n’est pas réalisé, B si) ; A ∩ B (ni
A ni B sont réalisés).
Un point sur le vocabulaire
• Une branche est un segment de l’arbre ; chacune porte une probabilité.
• Un noeud est la jonction de plusieurs branches.
• Un chemin est l’événement réalisé en suivant des branches successives, depuis le départ de l’arbre
jusqu’à une de ses arrivées.
Les trois propriétés à connaître
Proposition La somme des probabilités portées sur les branches issues d’un même noeud est
égale à 1.
cela permet de retrouver les formules : p(A) + p(A) = 1, pA (B) + pA (B) = 1, etc...
Proposition La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités portées sur ses branches.
cela permet de retrouver les formules : p(A ∩ B) = p(A) × pA (B), p(A ∩ B) = p(A) × pA (B), etc...
Proposition La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui y
aboutissent.
Par exemple, pour calculer la probabilité de B, on prend tous les chemins qui terminent sur la lettre B
et on somme leur probabilité : p(B) = p(B ∩ A) + p(B ∩ A) = p(A)pA (B) + p(A)pA (B)
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