Probabilités, MATH 424 Feuille de révision CC1 Exercice 1

Probabilités, MATH 424
Feuille de révision CC1
Exercice 1 (Dénombrement). On considère le mot “alphabet”.
1. Combien de mots de 4 lettres, sans répétition de lettre, peut on former avec les lettres de ce mot ?
2. Combien de mots différents de 4 lettres, peut on former avec les lettres de ce mot ?
3. Combien d’anagrammes ce mot a t’il ?
4. Combien peut on former de mots de 4 lettres dont les lettres sont dans le même ordre que dans le mot “alphabet”.
Solution. On considère le mot “alphabet”.
1. Nous disposons de 7 lettres distinctes. On peut donc former A47 = 840 mots de 4 lettres n’ayant pas de répétitions de
lettres.
2. Il y a deux types de mots de 4 lettres. Ceux possédant deux fois la lettre a et les autres. Pour dénombrer l’ensemble des
mots de 4 lettres ayant deux fois la lettre a, on commence par placer les 2 a on a pour cela C42 possibilités. Il reste alors
à placer les deux lettres restantes, ce qui donne A27 = 42 choix. Par conséquent on a donc C42 ∗ A27 = 252 possibilités.
En ajoutant les deux nombres on obtient le nombre total de possibilités : A47 +C42 ∗ A27 = 1092.
3. Pour calculer le nombre d’anagrammes du mot “alphabet” on commence par placer les deux lettres a. On a pour cela
C82 = 28 choix. On dispose ensuite les 6 lettres restantes et pour cela nous avons 6! choix. Par conséquent nous avons
28.6! anagrammes possibles.
4. Ecrire un mot de 4 lettres qui sont dans le même ordre que celle du mot “alphabet” revient à extraire les 4 lettres
restantes. Il se peut néanmoins que l’on obtienne un mot de plusieurs manières diffférentes. Dans le cas présent, seul
le mots “abet” peut être obtenu par différentes manières. Par conséquent le nombre de mots possibles est C84 − 1.
Exercice 2 (Probabilités).
1. Deux urnes contiennent chacune initialement 2 boules noires et 3 boules blanches. On tire
au hasard une boule de la première urne et on note sa couleur et on la remet dans la seconde urne. On tire alors au
hasard une boule de la seconde urne. Quelle est la probabilité d’obtenir deux fois une boule noire ?
2. Une population possède une proportion p ∈]0, 1[ de tricheurs. Lorsqu’on fait tirer une carte d’un jeu de 52 cartes à un
tricheur il est sûr de retourner un as. Exprimer en fonction de p la probabilité qu’un individu choisi au hasard dans la
population retourne un as.
3. On prend un dé au hasard parmi un lot de 100 dés dont 25 sont pipés. Pour un dé pipé la probabilité d’obtenir 6 est
1/2. On lance le dé choisi et on obtient 6.
(a) Quelle est la probabilité que ce dé soit pipé ?
(b) On relance le dé et on obtient à nouveau 6, quelle est la probabilité que ce dé soit pipé ?
(c) On lance n fois le dé et à chaque fois on obtient 6. Quelle est la probabilité pn que ce dé soit pipé ? Que vaut
limn→∞ pn ?
Solution (Probabilités).
1. On note N1 (resp N2 ) l’évènement on tire une boule noire au premier tirage (resp au deuxième). On cherche donc la probabilité de l’évènement N1 ∩ N2 . On utilise pour cela la formule des probabilités conditionnelles :
32 1
P(N1 ∩ N2 ) = P(N2 | N1 )P(N1 ) =
= .
65 5
2. On considère les évènements H “l’individu choisi est honnête”, T “l’individu choisi est un tricheur” et A l’évènement
“on obtient un as”. La probabilité cherchée est donc
P(A) = P(A ∩ H) + P(A ∩ T ) = P(A | H)P(H) + P(A ∩ T )P(T ) =
4
1 + 12p
(1 − p) + p =
.
52
13
3. On note 6 l’évènement obtenir un 6. On note P l’évènement le dé est pipé et N P l’évènement contraire. On cherche
à calculer la probabilité P(P | 6). On utilise pour cela la formule de Bayes. Nous avons
P(6) = P(P )P(6 | P ) + P(N P )P(6 | N P ) =
1
11 31 1
+
= .
42 46 4
Donc
P(P | 6) =
P(P ∩ 6) P(6 | P )P(P) 1/8 1
=
=
= .
P(6)
P(6)
1/4 2
On note 66 l’évènement avoir deux 6 et l’on cherche la probabilité P(P | 66). Par application de la formule de Bayes
nous avons
P(66 | P )P(P )
P(P | 66) =
.
P(66 | P )P(P ) + P(66 | N P )P(N P )
Les lancés étant indépendants nous concluons alors que
1
P(66 | P ) = P(6 | P )P(6 | P ) = ,
4
et
P(66 | N P ) = P(6 | N P )P(6 | N P ) =
1
.
36
On obtient alors
3
P(P | 66) = .
4
On note n l’évèments “les lancers donnent 6” et on raisonne comme ci-dessus :
P(n | P )P(P )
pn = P(P | n) =
=
P(n | P )P(P ) + P(n | N P )P(N P )
1 n
2
1 n1
2
4+
1
4
1 n3
6
4
=
1
1+
.
1 n
3
Nous avons limn→∞ pn = 1.
Exercice 3. Un sac contient 8 boules blanches et 2 boules noires. On tire les boules les unes après les autres sans remise
jusqu’à obtenir une boule blanche. On appelle X le nombre de tirages nécessaires pour obtenir cette boule blanche.
1. Quelles valeurs peut prendre la loi variable aléatoire X.
2. Donner la loi de X.
3. Représenter sa fonction de répartition.
4. Calculer l’espérance de X.
Solution. Le sac contient 8 boules blanches et 2 boules noires.
1. Puisqu’il n’y a que deux boules noires, on obtient dans tous les cas une boule blanche au troisième tirage. Par conséquent la variable aléatoire à trois valeurs 1, 2 et 3.
2. La loi de X est la donnée de P(X = 1), P(X = 2) et P(X = 3). Les tirages étant indépendants, nous avons
4
2 8
8
2 1
1
P(X = 1) = , P(X = 2) =
= , P(X = 3) =
= .
5
10 9 45
10 9 45
3. La fonction de répartition est
0 sur l’intervalle ] − ∞, 1[



















4
5
4
5
8
+ 45
=
4
5
sur l’intervalle
]1, 2[
44
45
sur l’intervalle
]2, 3[
8
1
+ 45
+ 45
= 1 sur l’intervalle
[3, +∞[
4. L’espérance est obtenue par la formule
E(X) = P(X = 1).1 + P(X = 2).2 + P(X = 3).3 =
2
11
.
9