Les coordonnées polaires Lyon, Bordeaux, Paris

Les coordonnées
polaires
ECOLE DE COMMERCE EUROPEENNE
BORDEAUX-LYON
Ecole Supérieure de Commerce
et de Management International post-bac
Sessions
d’admission 2005 à
Lyon,
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Paris
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I. Repérage : coordonnées polaires d'un point
ρ ρ
(O, i , j ) est un repère orthonormal direct.
ρ
On peut repérer tout point M distinct de O par un angle ( i , OM ) = θ et
par sa distance OM = r
Réciproquement la donnée d'un couple (r ; θ) avec r>0 détermine un
ρ
seul point M du plan tel que OM= r et ( i , OM ) = θ
On définit alors le couple (r ; θ) comme les coordonnées polaires
de M avec
ρ
r = OM
et ( i , OM ) = θ
On note M (r ; θ)
Exemple
!"
Placer le point A (2 ; π/4 )
On a donc , d'après la définition OA = 2 , on trace le cercle de centre
ρ
O et de rayon 2 , et ( i , OA ) = π/4 , on trace l'angle donné ;
l'intersection de cette droite et du cercle donne le point A.
Diplôme visé par l’Etat
Etablissement d’enseignement Supérieur Technique Privé
MemoPage.com SA © / Avril 2003 / ISSN : 1762 - 5920 / Auteur : C. V.
Soit B de coordonnées cartésiennes ( - 3 ; 1)
Cherchons ses coordonnées polaires
On calcule d'abord r = x ² + y ² = 3 + 1 = 2
Passage des coordonnées cartésiennes aux
!"
coordonnées polaires
Reprenons le point A ( 2; π/4) ; recherchons ses coordonnées
cartésiennes :
La démarche est la suivante , on calcule x et y avec les formules
précédentes
x= r cos θ = 2 cos (π/4) = 2
y = r sin θ= 2 sin (π/4)= 2
D'où les coordonnées de A sont ( 2 ; 2 )
Passage des coordonnées polaires aux coordonnées
!"
cartésiennes
III. Exemples de calcul
r=
x² + y²
,
x = r cos θ
et
y = r sin θ
ρ ρ
Soit un repère orthonormal direct (O, i , j ) du plan, un point M distinct
de O si ses coordonnées polaires sont (r ; θ) et ses coordonnées
cartésiennes sont (x ; y ) alors
II. Lien entre coordonnées polaires et
cartésiennes
Puis on calcule θ, en calculant les valeurs du cosinus et du sinus :
− 3
1
cos θ =
et sin θ =
puis on cherche l'angle qui a pour
2
2
cosinus et sinus les valeurs ci dessus , il s'agit de 5π /6
d'où les coordonnées polaires de B sont (2 ; 5π/6)