Géométrie dans l`espace Dans le plan Coordonnées cartésiennes

Systèmes de coordonnées
Géométrie dans
l’espace
Dans le plan
Définition:
un système de coordonnées permet
de faire correspondre à chaque
point d'un espace à N dimensions,
un N-uplet de scalaires
Pour munir le plan d'un repère, on
prend dans ce plan un point O appelé
origine etrles représentants
de deux
r
vecteurs i et j passant par O qui
définissent les unités respectivement
« horizontales » et « verticales »
Coordonnées cartésiennes
Coordonnées
cartésiennes
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Coordonnées cartésiennes
à tout point A correspond un unique
couple (x,y) de nombres appelés
coordonnées de A. On a
Coordonnées
polaires
OA = x i + y j
x est l' abscisse de A et y est son ordonnée.
Coordonnées polaires
Coordonnées polaires
Les coordonnées polaires d'un
point M du plan (d'origine O)
sont la donnée conjointe de :
la distance à l'origine r = OM
un angle θ = (Ox,OM)
Passage de cartésien à
polaires
Passage de
cartésien à polaire
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Passage de cartésien à
polaires
Dans l’espace
x = r cos θ
y = r sin θ
r=
x2 + y2
cos θ = x/r
sin θ = y/r
Coordonnées
cartésiennes
Pour munir le plan d'un repère, on
prend dans ce plan un point O appelé
origine etrlesr représentants
de trois
r
vecteurs i , j et k passant par O
qui définissent les unités et les
directions, respectivement « gauchedroite », « avant-arrière » et « verticale »
Coordonnées cartésiennes
Coordonnées cartésiennes
à tout point A correspond un unique
couple (x,y,z) de nombres appelés
coordonnées de A. On a
OA = x i + y j + z k
x est l'abscisse de A, y est son ordonnée et
z est sa cote (ou sa hauteur).
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Coordonnées cylindriques
Coordonnées
cylindriques
Dans l'espace à trois dimensions,
un point M est repéré par
la distance r de l'origine à sa
projection sur Oxy ;
l'angle θ que fait la projection du
vecteur sur le plan Oxy par
rapport à Ox ;
la hauteur h du point par rapport
au plan Oxy.
Coordonnées cylindriques
Passage cylindriques-cartésien
Le passage des coordonnées
cylindriques aux coordonnées
cartésiennes (x,y,z) se fait par :
x = r cos θ
y = r sin θ
z=h
r=
x2 + y2
cos θ = x/r
sin θ = y/r
h=z
Coordonnées sphériques
Coordonnées
sphériques
Les coordonnées
sphériques d'un point M de
l'espace est la donnée
conjointe de :
la distance r = OM,
deux angles θ, et φ
permettant de repérer le
point M sur la sphère de
centre O et de rayon r.
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Passage sphérique-cartésien
Coordonnées sphériques
Le passage des coordonnées
sphériques aux coordonnées
cartésiennes (x,y,z) se fait par :
x = r sin φ cos θ
y = r sin φ sin θ
z = r cos φ
r=
x2 + y2 + z 2
cos φ = z / r
cos θ = x / r sin φ
sin θ = y / r sin φ
Exemples
Exemples
Quelles sont les coordonnées cartésiennes
d’un point M de coordonnées sphériques
(r , θ , ϕ ) = (10,
Quelles sont les coordonnées cartésiennes
d’un point M de coordonnées sphériques
π π
(r , θ , ϕ ) = (10,
, )
4 3
x = r sin φ cos θ =
y = r sin φ sin θ =
z = r cos φ = 5
π π
, )
4 3
5 6
2
5 6
2
5