méthode : montrer qu`un triangle est équilatéral.

Terminale S 3, année 2011-2012
N OMBRES COMPLEXES
Cours – Exemple • 1/2
M ÉTHODE : MONTRER QU ’ UN TRIANGLE EST ÉQUILATÉRAL .
On dispose essentiellement de trois méthodes :
a) on montre que les trois côtés ont même longueur ;
b) on montre que le triangle est isocèle et qu’il a un angle de mesure
π
3
;
c) on montre qu’un des sommets est image d’un autre sommet par une rotation d’angle
sième sommet.
Application. Soit A, B et C les points d’affixes respectives :
p
a = 3 + 2 − 3i
Pour placer le point A, on place le point de l’axe des absp
p
cisses d’abscisse 2 + 3 (en reportant la longueur 3 à
partir de 2) puis on trace la perpendiculaire à l’axe des
abscisses passant par ce point jusqu’à −3 en ordonnée.
√2
3
1
B−2
−1
− π3
Pour placer le point C , on remarque que son argument
est π4 ; il se situe donc sur la droite d’équation y = x. On
place alors sur l’axe des ordonnées le point d’ordonnée
p
p
p
2 3 (en reportant la longueur 3 à partir de 3) puis on
trace la perpendiculaire à l’axe des ordonnées passant par
ce point jusqu’à la droite d’équation y = x.
On obtient le même résultat et on
conclut.
C
3
On souhaite montrer que le triangle ABC est équilatéral.
Pour la construction des points : on commence par obp
tenir précisément une longueur de mesure 3 en traçant
un arc de cercle de rayon 2 et de centre O (pour alléger la
figure, je n’ai pas dessiné le repère (O ,~
u ,~
v ) ), comme indiqué sur le dessin.
On calcule de même les distances
AB et AC :
¯
¯
AC = ¯c − a ¯
r
³p
´2 ³ p
´2
AC =
3−2 + 2 3+3
¯
¯
AB = ¯a − b ¯
r
³p
´2
AB =
3 + 4 + (−3)2
ou − π3 et de centre le troi-
√
2 3
b = −2
p
p
c = 2 3 + 2 3i
a) Première méthode : on calcule les
distances.
¯
¯
BC = ¯c − b ¯
¯ p
¯
p
¯
¯
BC = ¯2 3 + 2 3i + 2¯
¯³ p
´
p ¯¯
¯
BC = ¯ 2 3 + 2 + 2 3i¯
r
³ p
´2 ³ p ´2
BC =
2 3+2 + 2 3
q
p
BC = 28 + 8 3
π
3
1
√
3 2
√
3
3
−1
−2
−3
b) Deuxième méthode : on calcule
deux distances et un angle.
On calcule par exemple AB et BC
(comme précédemment), et on
vérifie alors que le triangle ABC
est isocèle en B . Déterminons
³−−→ −−→´ une
mesure de l’angle BC ; B A :
p
a −b
3 + 4 − 3i
= p
p
c − b 2 3 + 2 + 2 3i
p ¢
¢¡ p
¡p
3 + 4 − 3i 2 3 + 2 − 2 3i
a −b
=
¡ p
¢2 ¡ p ¢2
c −b
2 3+2 + 2 3
p
p ¢
¡
a − b 14 + 4 3 − i 12 + 14 3
=
p
c −b
28 + 8 3
p ¡ p
¢
p
3 4 3 + 14
a − b 14 + 4 3
=
p −i
p
c − b 28 + 8 3
28 + 8 3
p
a −b 1
3
= −i
d’où :
c −b 2
2
µ
¶
³−−→ −−→´
a −b
BC ; B A = arg
[2π]
c −b
³−−→ −−→´
³
p ´
BC ; B A = arg 12 − i 23 [2π]
³−−→ −−→´
π
BC ; B A = − [2π]
3
ce qui permet de conclure.
Remarque : en pratique, on utilise plutôt la première ou la troisième méthode.
2+
A
c) Troisième méthode : on montre
par exemple que le point A est
l’image du point C par la rotation
r de centre B et d’angle − π3 .
On présente ainsi : soit C 0 (d’affixe
c 0 ) l’image de C par r ; on va calculer c 0 , vérifier que c 0 = a, ce qui
prouvera que C 0 et A sont confondus et donc que A est bien l’image
de C par la rotation r .
L’écriture complexe de r est
π
z 0 = e−i 3 (z − b) + b
d’où
π
c 0 = e−i 3 (c − b) + b
³
´
p ´³ p
p
c 0 = 21 − 23 i 2 3 + 2 3i + 2 − 2
p
p
p
c 0 = 3 + 1 + 3i − 3i − i 3 + 3 − 2
p
c 0 = 3 + 2 − 3i
c0 = a
A est bien l’image de C par
r ce qui donne BC = B A et
³−−→ −−→´
BC ; B A ≡ − π3 [2π] ; le triangle
est donc équilatéral.
Terminale S 3, année 2011-2012
N OMBRES COMPLEXES
Cours – Exemple • 2/2
M ÉTHODE : MONTRER QU ’ UN QUADRILATÈRE EST UN CARRÉ .
On dispose ici de plusieurs méthodes, mais il faut toujours commencer par vérifier que le quadrilatère est un parallélogramme (soit en prouvant que deux vecteurs sont égaux, soit en prouvant que les diagonales ont même milieu).
On peut alors prouver que le quadrilatère est un losange et qu’il a un angle droit, ou bien que le quadrialtère est un
rectangle et qu’il a deux côtés adjacents de même longueur.
On peut aussi, et c’est souvent assez rapide, prouver qu’un sommet est image d’un autre par rotation de centre un
troisième sommet et d’angle π2 ou − π2 .
Application.
Soit A, B , C et D les points d’affixes respectives :
C
zA = 3 − i
5
z B = −2
zC = −1 + 5i
− π2
z D = 4 + 4i
On souhaite montrer que le quadrilatère ABC D est un carré.
On commence par montrer que ABC D est un parallélogramme. Deux méthodes :
−−→ −−→
a) Montrons que BC = AD .
−→ = zC − z B
z−
BC
−→ = z D − z A
z −AD
−→ = −1 + 5i + 2
z−
BC
−→ = 4 + 4i − 3 + i
z −AD
−→ = 1 + 5i
z −AD
−→ = 1 + 5i
z−
BC
D
4
−−→ −−→
⇐⇒ BC = AD ⇐⇒ ABC D est un parallélo-
3
2
π
2
B−2
−1
1
~v
~u
O
1
2
3
−1
4
A
−→ = z −−→
z−
AD
BC
gramme.
b) Montrons que les diagonales [AC ] et [B D] ont même milieu. Notons I le mileu de [AC ] et J le milieu de [B D].
zB + zD
z A + zC 2 + 4i
=
= 1 + 2i et de même z J =
= 1 + 2i. I et J sont donc bien confondus. C QFD.
zI =
2
2
2
On va montrer que ABC D est un carré à l’aide de rotations (il n’est évidemment pas nécessaire de faire des deux façons
suivantes).
a) Montrons que C est l’image de A par la rotation r de
centre B et d’angle π2 .
Cette rotation a pour écriture complexe :
π
z 0 = ei 2 (z − z B ) + z B
Notons A 0 l’image de A par r . On a donc :
i π2
0
b) Montrons que B est l’image de D par la rotation r 0 de
centre C et d’angle − π2 .
Cette rotation a pour écriture complexe :
π
z 0 = e−i 2 (z − zC ) + zC
Notons D 0 l’image de D par r 0 . On a donc :
π
z A 0 = e (z A − z B ) + z B
z D 0 = e−i 2 (z D − zC ) + zC
z A 0 = i(3 − i + 2) − 2
z D 0 = −i(4 + 4i + 1 − 5i) − 1 + 5i
z A 0 = 5i − 1
z D 0 = −2
z A 0 = zC
zD 0 = zB
Les points A et C sont confondus, C est bien
l’image de A par r ce qui nous donne B A = BC et
³−−→ −−→´ π
B A ; BC ≡
[2π].
2
Les points D 0 et B sont confondus, B est bien
l’image de D par r 0 ce qui nous donne C D = C B et
³−−→ −−→´
π
C D ; C B ≡ − [2π].
2
Quelque soit la rotation utilisée, on conclut que le parallélogramme ABC D est un
losange (puisqu’il a deux côtés adjacents de même longueur) et un rectangle (puisqu’il a un angle droit), donc un carré.
C
D
5
4
Remarque : pour cette méthode il est indispensable de savoir que ABC D est un
parallélogramme, sans quoi on pourrait avoir la configuration ci-contre où C est
l’image de A par la rotation de centre B et d’angle π2 mais où ABC D n’est évidemment pas un carré.
3
2
π
2
B−2
−1
1
~v
O
−1
~u
1
2
3
4
A