Correction et amélioration des performances des

Correction et amélioration des performances des SLCI
Nous avons vu les paramètres influents sur les performances des SLCI :
• pour avoir une bonne rapidité, il faut que le système ait un gain de la FTBO élevé,
• pour que le système soit précis, il faut un gain élevé et une FTBO ayant des intégrateurs.
• pour que le système soit stable, il faut que le gain de la FTBO ne soit pas trop élevé si le déphasage
est de –π.
Il n’existe donc pas de solution qui puisse rendre le système stable, précis et rapide à la fois.
1. Principe de la correction des SLCI
Le principe de la correction des systèmes est de modifier la FTBO en amenant son diagramme de Nyquist
vers la forme souhaitée.
Nous venons de voir qu’il n’est pas possible de modifier un système de façon à l’avoir stable et
précis/rapide.
On intercale donc un correcteur dans les zones ou le transfert d’énergie est le plus faible :
E(p)
ε(p)
+
-
S(p)
Correcteur
Processus
Capteur
On améliore ainsi les performances d’un système :
• On améliore la stabilité en augmentant et en diminuant le gain aux hautes fréquences
• On améliore la rapidité et la précision en augmentant le gain aux basses fréquences.
2. Principe de la correction proportionnelle
Une correction proportionnelle est de la forme.
Une correction proportionnelle provoque :
• une translation verticale dans le diagramme de Bode en gain
• une homothétie de centre l’origine dans le diagramme de Nyquist.
Un correcteur qui augmente le gain de la FTBO d’un système provoque généralement :
• un système moins stable,
• un système plus précis,
• un système plus rapide.
Détermination du gain du correcteur :
On détermine le gain du correcteur par réglage :
• soit de la marge de gain.
• soit de la marge de phase.
Exemple : Soit le système de FTBO non corrigée FTBO(p)=
de Nyquist de cette FTBO.
1
. On donne le diagramme
( p +0,22p+1) ( 3p+1)
2
2
1.5
Point critique
Im(FTBO(jω))
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Re(FTBO(jω))
1
1.5
2
Bode Diagram
20
Magnitude (dB)
0
-20
-40
-60
Phase (deg)
-80
0
-90
-180
-270
-1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
Ce système n’est pas stable. Pour le rendre stable, on doit diminuer le gain de manière à ce que le point
critique soit laissé à gauche dans le diagramme de Nyquist. On prend un correcteur proportionnel de
fonction de transfert C ( p ) =K .
Réglage de K par la marge de gain :
On souhaite que le système soit stable avec une marge de gain de 10 dB. Le système non corrigé est tel que
ω-π =1.03 rad/s . Le gain pour ω-π =1.03 rad/s est de 2,07 dB. Le correcteur proportionnel ne modifie pas la
phase, donc pour le système corrigé, ω-π =1.03 rad/s .
On veut que 20log FTBO ( ω-π ) =-10dB . On a donc 20logK+2.07=-10dB , donc K=10
12.07
20
=0,25 .
Bode Diagram
Magnitude (dB)
50
0
-50
-100
-150
0
Système non corrigé
Phase (deg)
Système corrigé K=0,25
-90
-180
-270
-2
-1
10
0
10
1
10
2
10
10
Frequency (rad/sec)
Réglage par la marge de phase :
On veut rendre le système stable avec une marge de phase de 45°. Pour le système non corrigé,
ω0dB =1,06 rad/s et ω0dB'=0,81rad/s et ω-135° =0,94 rad/s . On veut que le gain soit nul pour ω-135° =0,94 rad/s .
Le gain du système non corrigé est de 3,04 pour ω-135° =0,94 rad/s . On veut que : 20log FTBO ( ω-135° ) =0dB .
On a donc : 20logK+3,04=0dB et donc K=10
-
3.04
20
=0,7 .
Bode Diagram
Magnitude (dB)
10
0
-10
-20
-30
-45
Système non corrigé
Phase (deg)
-90
Système corrigé K=0,7
-135
-180
-225
-270
-0.3
10
-0.2
10
-0.1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
0.1
10
0.2
10
0.3
10
1.5
Entrée
Système non corrigé
Système Corrigé K=0,25
Système Corrigé K=0,7
Signaux
1
0.5
0
-0.5
0
10
20
30
Temps (s)
40
50
60
3. Principe de la correction proportionnelle intégrale
Pour rendre un système plus précis, nous avons vu qu’il faut augmenter le nombre d’intégrateurs dans la

1 
FTBO. On prend donc un correcteur de la forme C ( p ) =K 1+
.
 Ti p 
Le but de ce correcteur est d’introduire un gain infini aux basses fréquences, ce qui rend le
système plus précis, mais il diminue la phase de 90°, ce qui peut rendre le système instable.
Bode Diagram
40
Magnitude (dB)
30
20
10
20logK
0
Phase (deg)
-10
0
1
Ti
-45
-90
-1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
2
10
3
10
Détermination des paramètres K et Ti :
On veut que le correcteur de modifie pas la phase dans la zone ou le gain change de signe ou lorsque la
1
phase passe -180°. On va donc placer Ti tel que
≪ ω0dB ou ω-π .
Ti
1
Reprenons l’exemple précédent où FTBO(p)= 2
. L’introduction d’un correcteur
( p +0,22p+1) ( 3p+1)
proportionnel de gain 0,25 stabilise le système avec une marge de gain de 10 dB.
La phase vaut -180° pour une pulsation de ω-π =1.03 rad/s . Prenons Ti =10 s .
Bode Diagram
Magnitude (dB)
50
0
-50
-100
-150
0
Système non corrigé
Phase (deg)
Système corrigé PI
-90
-180
-270
-3
-2
10
-1
10
10
0
1
10
2
10
10
Frequency (rad/sec)
4
Entrée
Système non corrigé
Système Corrigé PI
3
Signaux
2
1
0
-1
-2
0
10
On a bien annulé l’erreur statique.
20
30
40
50
60
Temps (s)
70
80
90
100
4. Principe de la correction dérivée
Le but de la correction dérivée est de rendre un système stable et de le rendre plus rapide.
On utilise un correcteur dont la fonction de transfert est C ( p ) =K (1+Td p ) .Ce correcteur
rajoute de la phase dans la zone des pulsations voisines de
1
.
Td
Bode Diagram
30
Magnitude (dB)
20
10
0
20 log K
-10
1
Td
Phase (deg)
-20
90
45
0
-3
-2
10
10
-1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
Exemple : Reprenons FTBO(p)=
1
. On désire stabiliser le système et avec une erreur
( p +0,22p+1) ( 3p+1)
2
statique de 1/10.
Les exigences de précision imposent K=10.
Choisissons ici Td=8 s. On constate que cela modifie la phase telle qu’elle est toujours supérieure à -180°.
Le système est alors stable.
Bode Diagram
Magnitude (dB)
50
0
-50
-100
-150
90
Système non corrigé
Système Corrigé PD
Phase (deg)
0
-90
-180
-270
-2
-1
10
0
10
1
10
2
10
10
Frequency (rad/sec)
2
Entrée
Système non corrigé
Système Corrigé K=0,25
Système Corrigé PD
1.5
Signaux
1
0.5
0
-0.5
0
10
20
30
Temps (s)
On a ainsi rendu le système plus rapide à précision égale.
40
50
60
5. Correction PID
Les correcteurs PI et PD agissant sur des bandes de pulsations différentes, il peut être judicieux de les


1
+Td p  .
associer en un correcteur PID de fonction de transfert C ( p ) =K 1+
 Ti p

Bode Diagram
40
Magnitude (dB)
30
20
10
0
-10
-20
90
Phase (deg)
45
0
-45
-90
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
Frequency (rad/sec)
6. Correction à avance de phase
Les correcteurs PI purs et PD purs étant irréalisables physiquement, on leur préfère les
correcteurs à
avance et à retard de phase.
1+aTp
Un correcteur à avance de phase est un correcteur de fonction de transfert C ( p ) =
avec
1+Tp
a-1
a>1. On a ϕ m =arcsin
. A précision égale, ce correcteur rend le système plus stable.
a+1
Bode Diagram
15
20 log a
Magnitude (dB)
20
10
5
0
60
Phase (deg)
ϕm
30
0
-4
10
-3
10
1
T
1
1
aT
T a
-2
10
-1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
Ce correcteur est souvent associé à un correcteur proportionnel (gain K).
Réglage de K, a et T :
• On détermine K les exigences de précision.
• On ajuste ωm de manière à ce qu’elle corresponde à la pulsation de coupure de la FTBO
corrigée ω0dBc . Cette pulsation correspond au critère de rapidité du cahier des charges. Si cette
pulsation n’est pas imposée, on choisit usuellement la pulsation pour laquelle on souhaite l’apport
maximal de phase.
1 + sin ϕm
• La marge de phase imposée Mϕc =45°=ϕ ( ω0dBc ) +180°+ϕm . On en déduit ϕm et donc a =
.
1 − sin ϕm
1
• On calcule enfin T=
.
ω0dBc a
10
Exemple : Soit un système de FTBO ( p ) =
. Ce système est stable avec une marge de phase de 52°
p (1+0,1p )
(marge de gain infinie).
Bode Diagram
Magnitude (dB)
50
0
-50
Phase (deg)
-100
-90
-135
Mφ°
-180
-1
10
0
10
1
2
10
3
10
10
Frequency (rad/sec)
On souhaite le corriger de manière à avoir :
• une marge de phase de 45°
• une erreur de traînage de 1%
• une pulsation de gain nul égale à ω0dBc = 50 rad/s .
Pour que l’erreur de traînage soit de 1%, on doit avoir un gain de 100 en FTBO. On prend K=10. Le système
est encore stable mais la marge de phase baisse à 18° ( ω0dB =31,2 rad/s ).
Bode Diagram
Magnitude (dB)
100
50
0
-50
-100
-90
Phase (deg)
Système corrigé K=10
-135
Mφ°
-180
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
On souhaite une marge de phase de 45° et φ ( ω0dBc ) =-168° donc on choisit a=
1+sinφ m 1 + sin 33°
=
= 3, 4 .
1-sinφ m 1 − sin 33°
On choisit T=
1
ω0dBc a
=0,013 s .
Bode Diagram
Magnitude (dB)
100
50
0
-50
-100
-90
Système corrigé K=10
Phase (deg)
Système corrigé avance phase
-135
Mφ°
Mφc°
-180
-1
10
0
1
10
10
2
10
3
10
4
10
Frequency (rad/sec)
7. Correction à retard de phase
Un correcteur à retard de phase est un correcteur de fonction de transfert C ( p ) =
b>1. Il améliore la précision du système en conservant la marge de stabilité.
Ce correcteur est souvent associé à un correcteur proportionnel (gain K).
1+Tp
avec
1+bTp
Bode Diagram
Magnitude (dB)
0
-5
-10
-15
-20
0
Phase (deg)
1
bT
1
1
T
T b
-30
φm
-60
-4
10
-3
-2
10
10
-1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
Réglage de K, b et T :
• On ajuste K avec les exigences de précision.
• On impose usuellement une phase de -5,7° pour le correcteur pour ω0dBc .
•
ϕ ( ω0dBc ) doit être égale à −180° + Mφ°+5,7° , on en déduit ω0dBc . On trouve ainsi la valeur qui doit
•
être compensée par le correcteur 20log b. On en déduit b.
 1+Tjω 
On calcule enfin T tel que Arg 
 =-5,7°
 1+bTjω 
On a ϕ m =arcsin
1-b
.
1+b
Exemple :
Reprenons l’exemple précédent FTBO ( p ) =
100
. On souhaite avoir
p (1+0,1p )
• une marge de phase de 45°
• l’erreur de traînage soit de 1%.
On prend K=1.
La marge de phase est de 18° pour ω0dB =31,2 rad/s .
ϕ ( ω0dBc ) doit être égale à -180°+45°+5,7°=129,3°. On en déduit que ω0dBc =8,12 rad/s . Le correcteur doit
20
20
baisser le gain de environ 20dB, soit b=10 =10 .
On en déduit T=1,1 s.
Bode Diagram
100
Système corrigé K=10
Magnitude (dB)
Système corrigé retard phase
50
0
-50
Phase (deg)
-90
-120
-150
Mφc°
Mφ°
-180
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
Retenir de manière générale :
•
L’augmentation du gain entraîne une augmentation de la précision et de la rapidité mais diminue la
stabilité.
•
L’action dérivée à avance de phase permet, à précision égale, de rendre le système plus stable.
•
L’action intégrale à retard de phase permet, à stabilité égale, de rendre le système plus précis.