Au41_C_chapitre 9
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1 9. Analyse fréquentielle des systèmes asservis linéaires continus 9.1. Introduction 9.2. Tracé approximatif de la FTBF(jω) 9.3. Abaque de Hall 9.3.1. Principes de la méthode 9.3.2. Détermination de l'abaque de Hall 9.4. Abaque de Black-Nichols 9.4.1. Principe 9.4.2. Utilisation 9.4.3. Emploi de MATLAB 9.5. Exemples d’utilisation de MATLAB 9.5.1. Etude d’une boucle de commande complexe 9.5.2. Prise en compte des retards 9.1. INTRODUCTION Considérons un système bouclé à retour unitaire. E(p) S(p) + K.G(p) _ Nous connaissons le lieu de transfert isochrone de KG ( jω ) = FTBO( jω ) et nous nous proposons de déterminer celui de : FTBF ( jω ) = FTBO( jω ) 1 + FTBO( jω ) La méthode de BODE nous indique une voie pour accéder à la représentation de ce lieu, mais elle nous conduit inévitablement à de fastidieux calculs pour factoriser le numérateur et le dénominateur de FTBF ( jω ) . Les méthodes que nous allons examiner permettent de déterminer, sans calcul, les principales caractéristiques de la FTBF ( jω ) à partir du tracé de la FTBO( jω ) . Si le système n'est pas à retour unitaire nous transformons son schéma fonctionnel conformément à la règle suivante : E(p) + S(p) _ K.G(p) ≡ E(p) + _ K.G(p)F(p) S(p) 1 F ( p) F(p) Au41_C_chapitre 9 24/11/2005 Cours de M. Cougnon 2 9. Analyse fréquentielle des systèmes asservis linéaires continus 9.2. TRACE APPROXIMATIF DE LA FTBF(jω) La pulsation ω co telle que FTBO( jω co ) dB = 0dB est appelée pulsation de coupure de la fonction de transfert en boucle ouverte. Soit : FTBF ( jω ) = FTBO( jω ) 1 + FTBO( jω ) ω << ω co FTBO( jω ) >> 1 FTBF ( jω ) dB ≈ 0dB ω >> ω co FTBO( jω ) << 1 FTBF ( jω ) dB ≈ FTBO( jω ) dB On remarque que ω co donne une information sur la bande passante du système en boucle fermée. A dB -1 60 FTBO ( jω ) dB 40 -3 ωco 20 0,01 0,1 1 100 ω en rd/s FTBF ( jω ) dB -20 10 -2 Comme nous l'expliquerons au prochain chapitre la bande passante est un paramètre qui conditionne la précision dynamique du système bouclé. -40 -1 -60 9.3. ABAQUE DE HALL 9.3.1. PRINCIPES DE LA METHODE Plaçons-nous dans le plan de NYQUIST et considérons un système bouclé à retour unitaire. FTBF ( jω ) = X + jY V ( jω ) FTBO( jω ) .= = = Me jα 1 + FTBO( jω ) 1 + X + jY W ( jω ) X 0 C FTBF ( jω 1 ) = M 1 e jα 1 ) j ω1 W( α1 P1 ω1 Au41_C_chapitre 9 1) jω ( V = arg FTBF ( jω ) Soit P1 le point d'affixe FTBO(jω1) = V(jω1). On définit les 2 vecteurs • V(jω1) • W(jω1) = 1+V(jω1). FTBO(jω) -1 M = FTBF ( jω ) α1 M1 = OP1 / CP1 α 1 = arg OP1 − arg CP1 Par de simples mesures de longueurs et d'angles il est possible de déterminer complètement la FTBF pour la pulsation ω1 et d'appliquer cette méthode aux points P2, P3, ... correspondant à ω2, ω3, ... En fait l'utilisation d'un abaque sur lequel sont tracés les points à M = constante et α = constante, simplifie la détermination de FTBF ( jω ) . 24/11/2005 Cours de M. Cougnon 3 9. Analyse fréquentielle des systèmes asservis linéaires continus 9.3.2. DETERMINATION DE L'ABAQUE DE HALL a. Détermination du lieu des points P tels que PO/OC = constante = M Le lieu des points P du plan complexe, dont le rapport des distances à deux points fixes P et O est une constante M, est un cercle (Cf. cours de géométrie). Ce résultat s’obtient analytiquement en posant : X + jY X 2 + Y2 2 M= M = 1 + X + jY (1 + X ) 2 + Y 2 M = Cte =1/ sin ψ P 0' C 0 ψ -1 sin ψ = 1/M P' M = Cte =P'0/P'C Soit : X+ M2 2 M −1 rayon = 2 + Y2 = M 2 M2 −1 cercle M M 2 −1 M2 x = − centre M 2 −1 y=0 Si on change M en 1/M on trouve un cercle de même rayon symétrique par rapport à la droite x = −0,5 . Cette droite constitue le cas limite pour M = 1. b. Détermination du lieu des points P tels que α = constante Le lieu des points sous lequel on voit le segment 0C sous un angle constant α est un cercle à points de base 0 et C (Cf. cours de géométrie - arc capable). Ce résultat s’obtient analytiquement en posant : FTBF ( jω ) = X + jY 1 + X + jY α = arg FTBF ( jω ) = arctg Y Y − Y α = arctg X 1 −2 X = arctg 2 Y X + X +Y2 1+ X (1 + X ) Au41_C_chapitre 9 24/11/2005 Y Y − arctg X 1+ X tg(α ) = Y X 2 + X +Y2 =N Cours de M. Cougnon 4 9. Analyse fréquentielle des systèmes asservis linéaires continus α+ 0 C -1 α− -0,5 α− P Soit : 1 N 2 +1 rayon = 2 2 2 N2 1 1 N2 +1 X+ + Y− = cercle x = −0,5 2 2N 4N 2 1 centre y= 2N Les deux familles de courbes, M = constante et α = constante, constituent l’abaque de HALL dont le modèle est donné en annexe A.9.1. c. Utilisation de l'abaque de HALL Le principe consiste à tracer FTBO(jω) dans le plan de NYQUIST et à paramétrer cette courbe en pulsation ω (en rad/s). On lit ensuite, le module et la phase de la FTBF(jω) pour chaque valeur de ω. On lit aussi directement : • le module du pic de résonance au point où FTBO(jω) est tangent au cercle de rapport M (MR) le plus élevé, • la pulsation de résonance ωR au point de tangence. Nous n’avons pas tracé les courbes α = Cte afin de ne pas surcharger le dessin. M1 1/ M1 M2> M1 MR> M2 1/ M2 -1 X 0 C ωR pic de résonance FTBO(jω) 9.4. ABAQUE DE BLACK-NICHOLS 9.4.1. PRINCIPE A l’évidence cet abaque n’est pas d’un emploi facile. Aussi préfère-t-on utiliser un abaque reprenant le tracé des lieux à M et α constants reportés dans le plan de BLACK-NICHOLS. Les contours à M = constante sont gradués en MdB. Le contour M = 1,3 (2,3 dB) est en général mis en évidence pour des raisons que nous préciserons plus tard. Cet abaque est donné en annexe A.9.2. Au41_C_chapitre 9 24/11/2005 Cours de M. Cougnon 5 9. Analyse fréquentielle des systèmes asservis linéaires continus 9.4.2. UTILISATION L’utilisation de cet abaque implique que FTBO(jω) soit tracé dans le plan de BLACKNICHOLS. Cette courbe étant paramétrée en pulsation ω, pour chaque valeur de ω on peut lire le module et la phase de la FTBF(jω) et plus précisément : • le module du pic de résonance au point où FTBO(jω) est tangent au contour de rapport MdB le plus élevé, • la pulsation de résonance ωR au point de tangence, • la pulsation de coupure à –6 dB (notion qui sera précisée plus tard. 9.4.3. EMPLOI DE MATLAB Soit la fonction de transfert H ( p) = K (1 + 10 p) p(1 + p)(1 + 100 p) Traçons le diagramme de BLACK-NICHOLS correspondant pour K=1 et K=12. % % Script Chap9_1.m % ANALYSE FREQUENTIELLE DES SALC % LIEU DE BLACK-NICHOLS % Cours Au 41 de J.-L. Cougnon % Version du 8 juin 2005 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % clear all;clc; % K=1; num=K*[10 1]; den=[100 101 1 0]; w=logspace(-2,1,500); figure(1);nichols(num,den,w);grid on;hold on axis([-200 0 -60 60]) K=12; num=K*[10 1]; nichols(num,den,w); title('Lieu de Black-Nichols pour K=1 et K=12') hold off % % Zoom sur le lieu de BN K=1; num=K*[10 1]; figure(2);nichols(num,den,w);grid on;hold on axis([-200 -90 -20 20]) K=12; num=K*[10 1]; nichols(num,den,w); title('Zoom sur le lieu de Black-Nichols pour K=1 et K=12') hold off Au41_C_chapitre 9 24/11/2005 Cours de M. Cougnon 6 9. Analyse fréquentielle des systèmes asservis linéaires continus Lieu de Black-Nichols pour K=1 et K=12 60 Open-Loop Gain (dB) 40 0 dB 0.25 dB 0.5 dB 1 dB 20 -1 dB 3 dB 6 dB -3 dB -6 dB 0 -12 dB -20 -20 dB -40 -40 dB -60 -60 dB -180 -135 -90 -45 0 Open-Loop Phase (deg) 20 Zoom sur le lieu de Black-Nichols pour K=1 et K=12 1 dB 1 2 15 Open-Loop Gain (dB) 10 5 0 -5 System: sys Gain (dB): 4.82 Phase (deg): -137 Frequency (rad/sec): 0.0878 6 dB 3 dB System: sys Gain (dB): 0.524 Phase (deg): -137 Frequency (rad/sec): 0.864 wR de la FTBF System: sys Gain (dB): -9 Phase (deg): -153 Frequency (rad/sec): 1.71 -10 wc-6dB de la FTBF -15 -20 -180 -135 System: sys Gain (dB): -7.52 Phase (deg): -124 Frequency (rad/sec): 0.251 -90 Open-Loop Phase (deg) Au41_C_chapitre 9 24/11/2005 Cours de M. Cougnon 7 9. Analyse fréquentielle des systèmes asservis linéaires continus • Commentons ces résultats. Si K = 1 (0 dB) on obtient la courbe n°1 qui : – tangente le contour M = 3dB (pic de résonance de la boucle fermée) pour la pulsation ωR1 = 0,09 rad/s (pulsation de résonance de la boucle fermée), – coupe la ligne -6dB à ωc1-6dB = 0,25 rad/s (pulsation de coupure de la boucle fermée). Si K = 12 (+21,6 dB) on obtient la courbe n°2 qui : – tangente le contour M = 3dB (pic de résonance de la boucle fermée) pour la pulsation ωR2 = 0,88 rad/s > ωR1 (pulsation de résonance de la boucle fermée). – coupe la ligne -6dB à ωc2-6dB = 1,73 rad/s (pulsation de coupure de la boucle fermée). L’augmentation de gain permet d’accroître la bande passante de la boucle fermée. Dans ce cas particulier le pic de surtension n’est pas modifié (3 dB). 9.5. EXEMPLES D’UTILISATION DE MATLAB 9.5.1. ETUDE D’UNE BOUCLE DE COMMANDE COMPLEXE E + _ 0,1 p H1 _ X + 1 1+ p H2 Y 3 1+ p H3 1 1+ 2p 1 1 + 3p H4 H5 Z + S + % % Script Chap9_2.m % ANALYSE FREQUENTIELLE DES SALC % Cours Au 41 de J.-L. Cougnon % Version du 9 juin 2005 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù clear all;clc; % % FTBO DU SYSTEME % Numérateurs des FT n1=0.1;n2=1;n3=3;n4=1;n5=1; % Dénominateurs des FT d1=[1 0];d2=[1 1]; d3=[1 1]; d4=[2 1]; d5=[3 1]; ù % REDUCTION DU SCHEMA % Réduction de la petite boucle sur H2 [n2bf,d2bf]=cloop(n2,d2); % Réduction de la chaîne 1 en série [ns1,ds1]=series(n2bf,d2bf,n3,d3); % Réduction de la chaîne 2 en série [ns2,ds2]=series(n4,d4,n5,d5); % Mise en parallèle des chaînes 1 et 2 [np,dp]=parallel(ns1,ds1,ns2,ds2); [nftbo,dftbo]=series(n1,d1,np,dp); Au41_C_chapitre 9 24/11/2005 Cours de M. Cougnon 8 9. Analyse fréquentielle des systèmes asservis linéaires continus % % CARACTERISTIQUES DE LA FTBO % Forme "transfer function" ftbo_tf=tf(nftbo,dftbo) Transfer function: 1.9 s^2 + 1.8 s + 0.5 --------------------------------------------6 s^5 + 23 s^4 + 28 s^3 + 13 s^2 + 2 s num/den = 1.9 p^2 + 1.8 p + 0.5 ---------------------------------------------6 p^5 + 23 p^4 + 28 p^3 + 13 p^2 + 2 p % Pour l'obtenir en "p" printsys(nftbo,dftbo,'p') zeros = -0.4737 + 0.1969i -0.4737 - 0.1969i poles = 0 -2.0000 -1.0000 -0.5000 -0.3333 % Calcul des zéros de la FTBO zeros=roots(nftbo) % Calcul des pôles de la FTBO poles=roots(dftbo) Zero/pole/gain: 0.31667 (s^2 + 0.9474s + 0.2632) ----------------------------------------s (s+2) (s+1) (s+0.5) (s+0.3333) % Forme "zpk" de la FTBO ftbo_zpk=zpk(ftbo_tf) K= 0.2500 % Gain statique de la FTBO K=dcgain(tf([1 0],1)*ftbo_tf) % Caractéristiques des zéros % zeta = coefficient d'amortissement % wn = pulsation propre non amortie [wn,zeta]=damp(zeros) % Caractéristiques des poles damp(poles) wn = 0.5130 0.5130 zeta = 0.9234 0.9234 Eigenvalue Damping Freq. (rad/s) 0.00e+000 -1.00e+000 0.00e+000 -2.00e+000 1.00e+000 2.00e+000 -1.00e+000 1.00e+000 1.00e+000 -5.00e-001 1.00e+000 5.00e-001 -3.33e-001 1.00e+000 3.33e-001 Traçons les diagrammes fréquentiels de BODE ET DE BLACK-NICHOLS. % % DIAGRAMME DE BODE de la FTBO % On définit un domaine de pulsation % 1000 points entre 0,01 et 10 rad/s w=logspace(-2,1,1000); figure(1);bode(ftbo_tf,w);grid; title('Diagramme de Bode de la FTBO(jw)') % Marge de gain et marge de phase de la FTBO(jw) figure(2);margin(ftbo_tf) % % DIAGRAMME DE BLACK-NICHOLS DE LA FTBO figure(3);nichols(ftbo_tf,w);grid; title('Diagramme de BLACK-NICHOLS de la FTBO(jw)') figure(4);nichols(ftbo_tf,w);grid; axis([-200 -90 -30 10]) title('Zoom sur le diagramme de BLACK-NICHOLS de la FTBO(jw)') % Au41_C_chapitre 9 24/11/2005 Cours de M. Cougnon 9 9. Analyse fréquentielle des systèmes asservis linéaires continus Diagramme de Bode de la FTBO(jw) 40 Magnitude (dB) 20 System: ftbo_tf Gain Margin (dB): 23.7 At frequency (rad/sec): 1.28 Closed Loop Stable? Yes 0 -20 -40 -60 -80 -90 Phase (deg) -135 System: ftbo_tf Phase Margin (deg): 59.1 Delay Margin (sec): 4.85 At frequency (rad/sec): 0.213 Closed Loop Stable? Yes -180 -225 -270 -2 -1 10 0 10 1 10 10 Frequency (rad/sec) L’utilité et la définition des notions de marge de phase et de marge de gain sont explicitées au chapitre 10. Bode Diagram Gm = 23.7 dB (at 1.28 rad/sec) , Pm = 59.1 deg (at 0.213 rad/sec) Magnitude (dB) 50 0 Marge de gain -50 -100 -150 -90 Phase (deg) -135 Marge de phase -180 -225 -270 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 Frequency (rad/sec) Au41_C_chapitre 9 24/11/2005 Cours de M. Cougnon 10 9. Analyse fréquentielle des systèmes asservis linéaires continus 40 Diagramme de BLACK-NICHOLS de la FTBO(jw) 0 dB 0.25 dB 0.5 dB 1 dB 20 -1 dB Open-Loop Gain (dB) 3 dB 6 dB -3 dB 0 -6 dB -12 dB -20 -20 dB -40 -40 dB -60 -60 dB -80 -360 -80 dB -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0 Open-Loop Phase (deg) Zoom sur le diagramme de BLACK-NICHOLS de la FTBO(jw) 10 5 6 dB System: ftbo_tf Phase Margin (deg): 59.1 Delay Margin (sec): 4.85 At frequency (rad/sec): 0.213 Closed Loop Stable? Yes Open-Loop Gain (dB) 0 -5 -10 Résonance de la FTBF System: ftbo_tf Gain (dB): 3.22 Phase (deg): -114 Frequency (rad/sec): 0.157 System: ftbo_tf Gain (dB): -8.38 Phase (deg): -139 Frequency (rad/sec): 0.432 -15 -20 -25 -30 System: ftbo_tf Gain Margin (dB): 23.7 At frequency (rad/sec): 1.28 -180Closed Loop Stable? Yes wc-6dB de la FTBF -135 -90 Open-Loop Phase (deg) Au41_C_chapitre 9 24/11/2005 Cours de M. Cougnon 11 9. Analyse fréquentielle des systèmes asservis linéaires continus % % ETUDE GENERALE DE LA FTBF(jw) % Forme transfer function ftbf_tf=feedback(ftbo_tf,1) Transfer function: 1.9 s^2 + 1.8 s + 0.5 -------------------------------------------------------6 s^5 + 23 s^4 + 28 s^3 + 14.9 s^2 + 3.8 s + 0.5 % Extraction des polynômes numérateur et dénominateur [nftbf,dftbf]=tfdata(ftbf_tf,'v') nftbf = 0 0 0 1.9000 1.8000 0.5000 dftbf = 6.0000 23.0000 28.0000 14.9000 % Forme "zpk" ftbf_zpk=zpk(ftbf_tf) 3.8000 0.5000 Zero/pole/gain: 0.31667 (s^2 + 0.9474s + 0.2632) ------------------------------------------------------------(s+2.126) (s^2+1.355s+0.4769)(s^2+0.3525s + 0.08221) % Extraction des zéros, pôles et facteur de gain de la FTBF [z_bf,p_bf,k_bf]=zpkdata(ftbf_tf,'v') z_bf = -0.4737 + 0.1969i -0.4737 - 0.1969i p_bf = -2.1257 -0.6776 + 0.1333i -0.6776 - 0.1333i -0.1762 + 0.2262i -0.1762 - 0.2262i % Caractéristiques des pôles de la FTBF [wn,zeta]=damp(p_bf) k_bf = 0.3167 wn = 2.1257 0.6906 0.6906 0.2867 0.2867 zeta = 1.0000 0.9812 0.9812 0.6147 0.6147 % % Constellation des pôles et des zéros figure(5);pzmap(ftbf_tf) Au41_C_chapitre 9 24/11/2005 Cours de M. Cougnon 12 9. Analyse fréquentielle des systèmes asservis linéaires continus Pole-Zero 0.25 System: ftbf_tf Pole : -0.176 + 0.226i Damping: 0.615 Map Overshoot (%): 8.64 Frequency (rad/sec): 0.287 0.2 0.15 System: ftbf_tf Pole : -0.678 + 0.133i Damping: 0.981 Overshoot (%): 0 Frequency (rad/sec): 0.691 Imaginary Axis 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1 System: ftbf_tf Pole : -2.13 Damping: 1 Overshoot (%): 0 Frequency (rad/sec): 2.13 System: ftbf_tf Zero : -0.474 - 0.197i Damping: 0.923 Overshoot (%): 0.0523 Frequency (rad/sec): 0.513 -0.15 -0.2 -0.25 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 Real Axis Cette transmittance comporte 5 pôles, 1 pôle réel et 2 paires de pôles complexes conjugués, et une paire de zéros complexes. La paire de pôles complexes : p _ bf 1, 2 = −0,176 ± 0,226i = −ζω n ± iω n 1 − ζ 2 constitue le mode dominant de cette fonction de transfert. C’est ce que nous allons vérifier. ftbf _ dom = ωn2 p 2 + 2ζωn p + ωn2 % % Formons le 2d ordre du mode dominant [n_dom,d_dom]=ord2(wn(5),zeta(5)); % On ajuste le gain statique à 1 ftbf_dom=wn(5)^2*tf(n_dom,d_dom) Transfer function: 0.08221 -------------------------------s^2 + 0.3525 s + 0.08221 % Traçons les réponses indicielles figure(6);step(ftbf_tf,ftbf_dom,30);grid title('Réponses indicielles de la FTBF et de la FTBF réduite à son mode dominant') % Analyse de la réponse indicielle figure(7);step(ftbf_tf,30);grid title('Réponse indicielle de la FTBF') Au41_C_chapitre 9 24/11/2005 Cours de M. Cougnon 13 9. Analyse fréquentielle des systèmes asservis linéaires continus Réponses indicielles de la FTBF et de la FTBF réduite à son mode dominant 1.4 1.2 FTBF complète Amplitude 1 0.8 FTBF réduite au mode dominant 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 20 25 30 Time (sec) Ainsi on peut écrire que : FTBF ( p ) = 1 .9 p 2 + 1 .8 p + 0 .5 5 4 3 2 6 p + 23 p + 28 p + 14.9 p + 3.8 p + 0.5 ≅ 1 2 12.17 p + 4.29 p + 1 Réponse indicielle de la FTBF 1.4 System: ftbf_tf Peak amplitude: 1.09 Overshoot (%): 9.25 At time (sec): 13.2 1.2 System: ftbf_tf Settling Time (sec): 17.8 1 Amplitude System: ftbf_tf Final Value: 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 20 25 30 Time (sec) Au41_C_chapitre 9 24/11/2005 Cours de M. Cougnon 14 9. Analyse fréquentielle des systèmes asservis linéaires continus Ainsi la FTBF du système étudié en boucle fermée, peut être assimilée à la fonction de transfert d’un système du deuxième ordre. Cette démarche simplificatrice est évidemment de nature à faciliter les divers calculs auxquels est confronté le concepteur du système. Les performances sont les suivantes : • la pulsation propre non amortie est de 0,287 rad/s. • le coefficient d’amortissement est égal à 0,615. • le dépassement D1% est de l’ordre de 9%. • le temps de réponse à 5% est d’environ 18 s. • le temps de pic est de l’ordre de 13 s. % % ANALYSE FREQUENTIELLE de la FTBF w=logspace(-1,0,100); figure(8);bode(ftbf_tf,w);grid; title('Diagramme de Bode de la FTBF(jw)') % System: ftbf_tf Peak5gain (dB): 0.394 At frequency (rad/sec): 0.156 Diagramme de Bode de la FTBF(jw) System: ftbf_tf Frequency (rad/sec): 0.433 Magnitude (dB): -5.99 Magnitude (dB) 0 -5 -10 Bande passante à -6dB -15 -20 0 Phase (deg) -45 System: ftbf_tf Phase Margin (deg): 116 Delay Margin (sec): 9.09 -135At frequency (rad/sec): 0.223 Closed Loop Stable? Yes -90 -180 -1 0 10 10 Frequency (rad/sec) Les performances sont les suivantes : • la pulsation de coupure à -6dB est 0,52 rad/s. • la bande passante à –6dB est de 0,52 rad/s • le pulsation de résonance est de 0,156 rad/s • le coefficient de surtension est de 0,394 dB Au41_C_chapitre 9 24/11/2005 Cours de M. Cougnon 15 9. Analyse fréquentielle des systèmes asservis linéaires continus % % ETUDE HARMONIQUE DE LA FTBF t=[0:0.1:25]';w0=0.5; Edt=sin(w0*t); Sdtt=lsim(ftbf_tf,Edt,t); [A,phi]=bode(ftbf_tf,w0); Sdtp=A*sin(w0*t+phi*pi/180); figure(9);plot(t,Edt,t,Sdtt,t,Sdtp,'--');grid title('Réponse de la FTBF à Edt=sin(0.5*t)') figure(10);plot(Edt,Sdtt,Edt,Sdtp);grid title('Figures de Lissajous') % Réponse de la FTBF à Edt=sin(0.5*t) 1 Réponse totale de la FTBF (régime transitoire + régime permanent) 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 Régime permanent Signal d'entrée Edt=sin(0,5t) -0.8 -1 0 5 10 15 20 25 Il s’agit dans cet exemple d’illustrer une utilisation de l’instruction « lsim ». On a représenté : • la réponse complète (régime transitoire + régime permanent) de la FTBF à une entrée sinusoïdale e(t ) = sin(0,5 * t ) ; • le régime permanent de la FTBF à cette même entrée. Le régime transitoire est évidemment la différence de ces deux signaux. On observe que le régime transitoire s’annule (s’éteint) au bout d’une vingtaine de secondes. On rappelle qu’en analyse harmonique on suppose que le régime transitoire est éteint. Traçons les figures de Lissajous (Cf. chapitre 8.2.2.) Au41_C_chapitre 9 24/11/2005 Cours de M. Cougnon 16 9. Analyse fréquentielle des systèmes asservis linéaires continus Figures de Lissajous 0.6 0.4 Sdtpmax 0.2 0 Edtmax -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 9.5.2. PRISE EN COMPTE DES RETARDS Soit une boucle de commande à retour unitaire admettant pour transmittance de la chaîne directe l’expression : FTBO ( p ) = 1,5 p 3 + 1,9 p 2 + 1,8 p + 0,5 5 4 3 2 6 p + 23 p + 28 p + 13 p + 2 p e −τp On désire tracer le lieu de BLACK-NICHOLS pour différentes valeurs du retard pur .=0 s, 0.2 s, 0.4 s, et 0.6 s). % % Script Chap9_3.m % ANALYSE FREQUENTIELLE DES SALC % EFFET D’UN RETARD PUR DANS LA FTBO % Cours Au 41 de J.-L. Cougnon % Version du 10 juin 2005 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all;clc; % % FTBO sans retard ftbo=tf([1.5 1.9 1.8 0.5],[6 23 28 13 2 0]); Au41_C_chapitre 9 24/11/2005 Cours de M. Cougnon 17 9. Analyse fréquentielle des systèmes asservis linéaires continus % % Soit un retard pur de « tau » secondes en série avec ftbo for jj=1:3 tau=0.2*jj; [amp,phi,w]=nichols(ftbo); amp=squeeze(amp); phi=squeeze(phi); n=max(size(w)); for ii=1:n phiret(ii)=phi(ii)-tau*w(ii)*180/pi; end nichols(ftbo,'r');hold on; plot(phiret,20*log10(amp),'b');grid axis([-240 0 -60 40]) end title('Diagramme de Black-Nichols') hold off % Diagramme de Black-Nichols 40 0 dB 30 0.25 dB 0.5 dB 20 1 dB 3 dB 6 dB 10 Open-Loop Gain (dB) -1 dB -3 dB 0 -6 dB -10 tau = 0,6 s tau = 0,4 s tau = 0,2 s -20 -30 -40 -20 dB -40 dB tau = 0 s -50 -60 -12 dB -60 dB -225 -180 -135 -90 -45 0 Open-Loop Phase (deg) Nous verrons qu’inséré dans la FTBO, un retard pur déstabilise la FTBF car il diminue la marge de phase et la marge de gain. Au41_C_chapitre 9 24/11/2005 Cours de M. Cougnon 9. Analyse fréquentielle des systèmes asservis linéaires continus 18 ANNEXE A.9.1. ABAQUE DE HALL Au41_C_chapitre 9 24/11/2005 Cours de M. Cougnon 9. Analyse fréquentielle des systèmes asservis linéaires continus 19 ANNEXE A.9.2. ABAQUE DE BLACK-NICHOLS Au41_C_chapitre 9 24/11/2005 Cours de M. Cougnon