Au41_C_chapitre 11

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11. Synthèse fréquentielle des systèmes asservis linéaires continus
1
11.1. Généralités
11.1.1. Retour sur le compromis stabilité - précision
11.1.2. Les méthodes de correction
11.1.3. Correcteur en cascade
11.1.4. Correcteur en réaction
11.1.5. Effet d’un pôle ou d’un zéro
11.2. Réglage d’un gain KC (action proportionnelle)
11.2.1. Méthode de Bode
11.2.2. Méthode de Black-Nichols
11.3. Correcteurs à « avance de phase » (action dérivée)
11.3.1. Transmittance du correcteur à action « PD »
11.3.2. Action d’un correcteur à « avance de phase »
11.3.3. Réglage d’un correcteur à « avance de phase »
11.4. Correcteurs de type intégral
11.4.1. Correcteur à « retard de phase »
11.4.2. Synthèse d’un correcteur « Proportionnel Intégral » (PI)
11.5. Correcteurs à actions combinées
11.5.1. Correcteur sans action intégrale pure
11.5.2. Correcteur PID
11.6. Correcteurs en réaction
11.6.1. Principe d’action des correcteurs en cascade
11.6.2. Correction tachymétrique simple
11.6.3. Correction tachymétrique filtrée
11.1. GENERALITES
11.1.1. RETOUR SUR LE COMPROMIS « STABILITE – PRECISION »
Au chapitre 10 nous avons étudié les critères permettant d’évaluer les performances d’un
système asservi. Ainsi, nous avons montré que pour une obtenir « bonne précision » il faut que :
• la FTBO du système comporte une ou plusieurs intégrations selon le cas et présente un gain
statique K le « plus élevé possible » (bonne précision en régime permanent) ;
• la bande passante du système bouclé soit suffisamment large, pour que le temps de réponse
du système soit faible et que ce système ait une bonne dynamique. Mais la bande passante
doit être limitée afin d’éliminer (filtrer) les bruits et les perturbations, et plus généralement
tous les signaux indésirables.
Par contre pour obtenir « un bon » degré de stabilité il faut :
• une marge de phase Mφ suffisante (généralement comprise entre 40 et 60°);
• une marge de gain Mg confortable (généralement de l’ordre de 8 à 15 dB) d’où un gain
statique faible et par conséquent une bande passante faible d’où une dynamique parfois
insuffisante.
Il est clair que les conditions permettant d’obtenir un système asservi doté d’une « bonne
stabilité » sont antagonistes de celles permettant d’atteindre le « bon niveau » de précision
attendu. Il en résulte que le respect des spécifications du cahier des charges ne peut être en
général acquis simplement par le réglage d’un gain. Dans la plus part des cas il est indispensable
d’insérer, en un point du système judicieusement choisi, un correcteur (compensateur,
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régulateur) dont le rôle consiste à « modeler » les courbes de phase et d’amplitude de la
FTBO(jω) de manière à respecter les marges de gain et de phase imposées.
11.1.2. LES METHODES DE CORRECTION
On distingue :
•
les correcteurs en cascade (ou en série) disposés, au plus prés du comparateur1, dans la
chaîne directe de la boucle de commande, en série avec l’actionneur et le processus; il utilise
le signal d’erreur pour générer le signale de commande ;
•
les correcteurs en réaction disposés dans une chaîne de retour secondaire créée
spécialement.
Le signal issu des correcteurs est appelé le signal de commande. Il excite le processus à travers
les organes de puissance (actionneurs).
Erreur ε(p)
E(p)
Signal de commande
Correcteur C1(p)
(en cascade)
+
_
Amplificateur
+
M(p)
Actionneur
Amplificateur
_
Processus
P(p)
S(p)
Correcteur C2(p)
(en réaction)
Capteur
Compte tenu de :
• l’interdépendance des paramètres de réglage agissant sur la stabilité et la précision,
• l’utilisation simultanée de correcteurs en cascade et en réaction,
la correction d’un système asservi est une opération délicate.
La plupart du temps le choix définitif du correcteur est le résultat d’un processus itératif qui
aboutit en général sur une solution de compromis. Le concepteur doit faire jouer son expérience
pour imaginer « la solution » optimale (coût/efficacité) parmi celles qui sont applicables.
1
Cette contrainte concerne la précision vis à vis des perturbations
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11.1.3. CORRECTEUR EN CASCADE
Le correcteur en cascade de transmittance C(p) délivre un signal de commande m(t) tel que :
m(t ) = f (ε )
On distingue trois actions caractéristiques :
Type d’action
Signal de commande
•
Proportionnelle (P)
: m ( t ) = K c . (t )
•
Intégrale (I)
: m(t ) =
•
Dérivée2 (D)
: m(t ) = Td
1
Ti
t
0
Transmittance
Résultat
C ( p) = K c
K ( ) agit sur la précision
statique ( ) et la bande passante
( ).
( )d
d
(t )
dt
1
Ti p
Annule l’erreur statique mais
introduit un retard de phase qui
réduit d’autant Mφ.
C ( p) = Td p
Stabilise la FTBF par avance de
phase (Mφ ) mais réduit Mg.
C ( p) =
En général le correcteur recherché combine ces trois actions.
11.1.4. CORRECTEUR EN REACTION
Ce type de correcteur ne permet pas d’introduire d’action intégrale dans la chaîne directe de
l’asservissement. Il agit donc essentiellement sur la stabilité et la précision dynamique du
système en boucle fermée.
11.1.5. EFFET D’UN POLE OU D’UN ZERO
L’insertion d’un pôle 1 /(1 + τ c p) dans la fonction de transfert d’un système :
•
introduit une pente (−1) supplémentaire dans le diagramme de BODE asymptotique de la
FTBO( jω ) qui en résulte,
•
apporte un retard de phase ϕ = −arctg(τω ) .
Cet effet est déstabilisant pour le système en boucle fermée.
Par contre l’insertion d’un zéro (1 + τ c p ) dans la fonction de transfert d’un système :
•
introduit une pente (+1) supplémentaire dans le diagramme de BODE asymptotique de la
FTBO( jω ) qui en résulte,
•
apporte une avance de phase ϕ = +arctg(τω ) .
Cet effet est stabilisant pour le système en boucle fermée.
2
Le dérivateur idéal évoqué ici n’est pas physiquement réalisable aussi adopte-t-on pratiquement :
C ( p) =
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Td p
T
avec τ < d
1 + τp
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11.2. REGLAGE D’UN GAIN KC (ACTION PROPORTIONNELLE)
Le gain statique de la FTBO est un paramètre essentiel car il est déterminant à l’égard de la
stabilité, de la rapidité et de la précision du système asservi. C’est aussi un paramètre facile à
régler à partir d’un amplificateur.
11.2.1. METHODE DE BODE
a. Méthode
1. Tracer le diagramme de BODE de FTBO ( jω ) pour Kc = 1 (0dB).
2. Relever la pulsation ωco pour laquelle la marge de phase est égale à la valeur désirée Mφ .
3. Lire la valeur du module FTBO(jωco) et en déduire Kco = 1 / FTBO( jω co )
soit :
Kco dB = −20.log FTBO( jω co ) .
4. Translater verticalement la courbe d’amplitude FTBO( jω ) de Kco dB .
5. Vérifier notamment que la marge de gain Mg est bien suffisante. Avec MATLAB on utilisera
la commande « margin ».
b. Exemple
K (1 + 10 p)
Soit FTBO( p) =
p(1 + p)(1 + 100 p)
Il s’agit de régler le gain statique K afin d’obtenir une marge de phase Mφ = 45°.
Pour résoudre ce problème on utilisera les outils MATLAB.
%
% Script Chap11_1.m
%
SYNTHESE FREQUENTIELLE DES SLC
%
REGLAGE D'UNE ACTION PROPORTIONNELLE
%
Cours Au 41 de J.-L. Cougnon
%
Version du 10 juin 2005
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all;clc;
%
% Description de la FTBO
K=1;
num=K*[10 1];
den=[100 101 1 0];
% Tracé du diagramme de Bode
w=logspace(-3,2,1000);
figure(1) ;bode(num,den,w);grid
title('Diagramme de Bode de la FTBO(jw)')
Le tracé ainsi obtenu et donné ci-après, montre que trois valeurs de K permettent d’obtenir une
marge de phase Mφ = 45°.
On choisira la valeur de K c la plus élevée (meilleure précision statique). C’est celle à laquelle
correspond la pulsation ωco la plus élevée et donc la bande passante de la FTBF la plus large
(bonne précision dynamique).
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Diagramme de Bode de la FTBO(jw)
100
Magnitude (dB)
50
0
Valeur du gain Kc garantissant
- la meilleure bande passante
- une marge de phase de 45°
- la meilleure précisionstatique
-50
-100
-150
-90
Phase (deg)
Pour 3 valeurs de w on peut obtenir
une marge de phase de 45°
-135
-180
-3
10
-2
10
-1
0
10
1
10
2
10
10
Frequency (rad/sec)
Pour obtenir une bonne lecture on utilise le « zoom ».
-10
Diagramme de Bode de la FTBO(jw)
System: sys
Frequency (rad/sec): 0.799
Magnitude (dB): -20.1
Magnitude (dB)
-15
-20
-25
-30
-35
Phase (deg)
-130
System: sys
Phase (deg): -135
-135
-140
0
10
Frequency (rad/sec)
Par lecture sur le graphe « zoomé » on retient ω co = 0,8 rad/s et K co = 20,1 dB
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6
On détermine précisément K co comme suit :
%
% Détermination précise de Kco
[amp,phi]=bode(num,den,0.8)
Kco=1/amp
KcodB=20*log10(Kco)
%
amp = 0.0984
phi = -135.0687
Kco = 10.1667
KcodB = 20.1436
Vérifions ce résultat.
%
% Vérifions ce résultat
Kco=10;
num=Kco*[10 1];
figure(2);margin(num,den);grid
%
Bode Diagram
Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 45.2 deg (at 0.791 rad/sec)
Magnitude (dB)
5
System: untitled1
Magnitude (dB): -0.0416
0
-5
-125
Phase (deg)
-130
-135
-140
-145
-0.2
-0.1
10
10
0
10
Frequency (rad/sec)
11.2.2. METHODE DE BLACK-NICHOLS
a. Méthode générale
Les différentes étapes de la méthode sont les suivantes.
• Tracer le lieu de BLACK-NICHOLS de FTBO ( jω ) pour K c = 1 (0 dB).
• Translater verticalement ce lieu afin :
− qu’il soit tangent au contour choisi de l’abaque (Pour les servomécanismes, en général on
accepte un pic de résonance de 2,3 dB pour la FTBF ( jω ) ) ;
− ou bien que la marge de phase Mφ soit égale à la valeur désirée (de 30° à 45° en général
pour les servomécanismes on admet souvent 45°);
− ou bien que la marge de gain Mg soit égale à la valeur désirée (en général de 8 à 12dB).
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• Mesurer ce déplacement de la FTBO ( jω ) et en déduire la valeur K co
• Lire la pulsation de résonance ω R , la bande passante donnée par ω c−6dB ou ω c − 3dB
• Vérifier notamment que les marges de phase et de gain sont en accord avec les performances
recherchées.
b. Exemple
Reprenons l’exemple précédent et examinons le tracé du lieu de BLACK-NICHOLS le gain étant
réglé à K c = 1 (0 dB).
%
% Réglage de K avec le lieu de BN
K=1;
num=K*[10 1];
figure(3);nichols(num,den);grid
axis([-180,0,-80,80])
title('Lieu de Black-Nichols de la FTBO(jw)')
%
80
Lieu de Black-Nichols de la FTBO(jw)
System: sys
Gain (dB): 34.2
Phase (deg): -135
Frequency
40 (rad/sec): 0.0137
Open-Loop Gain (dB)
60
0 dB
0.25 dB System: sys
Gain (dB): 3.17
0.5 dB
20
1 dB
Phase (deg): -135
3 dB
6 dB
0
-1 dB
-3 dB
-6 dB
-12 dB
-20 dB
-20
-40
System: sys
Gain (dB): -20.1
Phase (deg): -135
-40 dB
-60
-80
-180
-60 dB
-80 dB
-135
-90
-45
0
Open-Loop Phase (deg)
Réglons le gain à la valeur K c = +20,1 dB et « zoomons » sur la partie utile de la courbe pour
mesurer les propriétés de la boucle fermée.
%
K=10.16;
num=K*[10 1];
figure(4);nichols(num,den);grid
axis([-180,0,-80,80])
title('Lieu de Black-Nichols de la FTBO(jw)')
%
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Lieu de Black-Nichols de la FTBO(jw)
20
1 dB Pulsation de résonance
de la FTBF(jw)
Open-Loop Gain (dB)
10
Pulsation de coupure
à -6dB de la FTBF(jw)
0
-10
-20
System: sys
Gain (dB): 0.0808
Phase (deg): -135
System: sys
Gain (dB): -8.87
Phase (deg): -150
-30
-150
-120
Open-Loop Phase (deg)
Les performances attendues de la FTBF sont lues sur le schéma ci-dessus :
ωc − 6dB ≈ 1,6 rad/s
ωR ≈ 0,8 rad/s
QdB ≈ 2,5 dB
Calculons la FTBF du système et vérifions que les performances réalisées sont en concordance
avec les performances attendues.
%
% Calcul de la FTBF(jw)
ftbo=tf(num,den);
ftbf=feedback(ftbo,1)
figure(5);bode(ftbf,w);grid
title('Lieu de Bode de la FTBF(jw) pour Kc=10.16')
%
Transfer function:
101.6 s + 10.16
------------------------------------------100 s^3 + 101 s^2 + 102.6 s + 10.16
On mesure sur la figure ci-après les valeurs suivantes :
ωc − 6dB ≈ 1,55 rad/s
ωR ≈ 0,74 rad/s
QdB ≈ 2,43 dB
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Lieu de Bode de la FTBF(jw) pour Kc=10.16
10
Magnitude (dB)
0
System: ftbf
Magnitude (dB): -6
System: ftbf
Magnitude (dB): 2.43
-10
-20
-30
-40
0
Phase (deg)
-45
-90
-135
-180
-1
0
10
1
10
10
Frequency (rad/sec)
Examen de la réponse indicielle pour K=5, 10 et 15
Réponse indicielle de la FTBF pour K=5, 10, 15
1.5
Amplitude
1
K=15
K=10
0.5
0
K=5
0
2
4
6
8
10
12
14
Time (sec)
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Ces courbes sont obtenues à partir du script suivant :
%
% Réponse indicielle pour K=5, 10, 15
for i=1:1:3
K=5*i;ftbo=tf(K*[10 1],den);ftbf=feedback(ftbo,1);
figure(6);step(ftbf,20);grid;hold on;
end;
title('Réponse indicielle de la FTBF pour K=5, 10, 15')
hold off
%
11.3. CORRECTEURS A « AVANCE DE PHASE » (ACTION DERIVEE)
Le correcteur à action « proportionnelle dérivée » de transmittance C ( p) , s’insère dans la boucle
de commande derrière le comparateur. C’est un correcteur cascade ; il est en série avec la FTBO
du système non corrigé notée FTBOnc . La FTBO du système corrigé, FTBOc ( p ) , est égale à :
FTBOc ( p ) = C ( p ).FTBOnc ( p )
11.3.1. TRANSMITTANCE DU CORRECTEUR A ACTION « PD »
La correction à avance de phase est une correction de type action « proportionnelle-dérivée »
(PD). La transmittance d’un correcteur PD idéal est donnée par :
C ( p ) = K c (1 + Td p )
L’action dérivée pure n’étant pas physiquement réalisable on adopte :
C ( p) = K 1 +
Td p
1 + (Td + τ ) p
=K
1 + τp
1 + τp
Pratiquement on écrit :
C ( p) = K c
1 + aτp
1 + τp
avec a > 1
Cette transmittance peut être réalisée à partir de différentes technologies (électrique, mécanique,
pneumatique, hydraulique, etc.) selon la nature de la boucle de commande.
Considérons le circuit électrique RC étudié au chapitre 6.
C( p) = Kc
C
Kca
R1
1 + aτp
1 + τp
avec
R2
E(p)
S(p)
τ=
R1R 2
R1 + R 2
.C et a =
>1
R1 + R 2
R2
Traçons les lieux de BODE et de NYQUIST de cette transmittance.
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Diagramme de BODE
Gain dB
(aKc)dB
C( p ) = K c
Phase deg
(Kc)dB
1/aτ
1 + a τp
1 + τp
1/τ
ωmax
10/τ
40
φmax
20
Frequency (rad/sec)
Lieu de NYQUIST
ωmax
effet utile
φmax > 0
+
0
ω =0
Kc
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aKc
Φ max = arcsin
On vérifiera que :
é
ω = +∞
a −1
a +1
ω max =
et
1
τ a
a
4
6
8
10
12
Φ max
37°
46°
51°
55°
58°
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11.3.2. ACTION D’UN CORRECTEUR A « AVANCE DE PHASE »
L’effet stabilisateur du correcteur à action proportionnelle-dérivée (PD) est dû au zéro que l’on
insère dans la FTBO du système. Ce zéro donne de l’avance de phase i.e. de la pente +1. Il
augmente donc la marge de phase et stabilise ainsi la FTBF
Il convient de choisir correctement les constantes de temps pour que l’effet d’avance de phase
intervienne à la pulsation convenable (c’est dire autour de ωco) afin que la marge de phase évolue
dans le sens souhaité.
Sur le diagramme de NYQUIST représenté ci-dessous on remarque l’effet d’avance de phase du
correcteur PD qui déforme la FTBO(jω).
ωπ1
ωπ2
FTBO corrigée
−1
é
0
Mφ2
Mφ1
ωco1
Zone d'
action du
correcteur PD
ωco2
ω
11.3.3. REGLAGE D’UN CORRECTEUR A « AVANCE DE PHASE »
Il n’existe pas de méthode générale et systématique aboutissant à une solution unique de réglage
pour un correcteur à avance de phase. Un certain nombre de pratiques, plus ou moins efficaces,
permettent toutefois d’ajuster les paramètres du correcteur. Nous allons illustrer ces méthodes
sur quelques cas concrets.
a. Exemple n°1 : asservissement élémentaire de position
ε(p)
E(p)
+
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C(p)
_
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S(p)
K
p(1 + Tp)
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Admettons que le cahier des charges impose la contrainte de précision suivante :
FTBO( jω 0 ) ≥ Gm (précision) et Mφ = 45° (stabilité)
Dans un premier temps choisissons C ( p ) = K c tel que Gm =
Si ω 0 << 1 / T il vient K c ≅
KK c
p(1 + Tp )
Gmω 0
K
p = jω 0
FTBO ( jω ) dB
(−1)
ω’ = KKc
G ( jω ) dB
0 dB
(−2)
ω0
ωc=1/T
log ω
ωco
La marge de phase Mφ est dans ce cas insuffisante. Un simple gain ne convient pas. On peut
insérer un correcteur à avance de phase pour obtenir le résultat recherché.
FTBO( p) =
KKc (1 + aτp)
p(1 + Tp)(1 + τp)
On peut procéder comme suit :
•
régler Kc afin d’obtenir le gain Gm souhaité,
•
choisir aτ = T . Ce choix permet d’éliminer la constante de temps la plus pénalisante,
•
adopter la valeur τ = 1/KKc permettant d’obtenir la marge de phase désirée.
Il existe évidemment d’autres solutions. On dégrossit le réglage des paramètres du correcteur à
partir d’une solution graphique et l’on affine les valeurs avec la boîte à outil (Control System
Toolbox) de MATLAB par exemple.
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FTBO ( jω ) dB
C ( p) =
(−1)
K c (1 + aτp )
(1 + τp )
ω co = KK c =
1
τ
Gm ( jω 0 ) dB
0 dB
ω0
log ω
ωc=1/T=1/aτ
(−2)
Mφ
Mφ==45°
45°
Pour des raisons de faisabilité il est souhaitable de maintenir a ≤ 10 . Ainsi, dans le cas
T
particulier du problème a = = KK cT ≤ 10 . Si cette contrainte n’est pas vérifiée appliquer la
τ
méthode décrite ci-après pour les asservissements de type 2.
b. Exemple n°2 : asservissement de type 2 (e.g. commande d’un satellite)
ε(p)
E(p)
+
C(p)
_
K
S(p)
p 2 (1 + Tp)
Pour C ( p ) = K c ce système de type 2 est évidemment instable en boucle fermée ∀ K c .
L’insertion d’un correcteur à avance de phase dans la FTBO est la solution la plus simple pour
envisager de stabiliser la boucle de commande.
FTBO( p) =
KKc (1 + aτp)
2
p (1 + Tp)(1 + τp)
Ce correcteur « donne » de la pente +1 (action dérivée). Aussi peut-il utilement intervenir dans
les parties du diagramme de BODE de la FTBO non corrigée où le tracé asymptotique du module
présente une pente de (−2).
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15
FTBO ( jω ) dB
Avec C(p) = 1
Avec C(p) ajusté
(−2)
1/τ =1/Τ
(−2)
(−1)
ωco
K
0 dB
log ω
1/aτ
(−3)
KKc
≈ 1 décade
(−3)
Pour régler C(p) on procède comme suit :
•
choisir τ = T ; ce choix permet à C(p) d’agir sur la pente (−2) de la FTBO non corrigée, au
niveau des pulsations les plus élevées. Ainsi on maintient la bande passante et le gain Kc à
leur valeur maximum ( meilleure précision dynamique et statique) ;
•
adopter a = 10 afin d’avoir une avance de phase de 55° par exemple ;
•
régler Kc de telle sorte que ω co = 1 / τ a .
On vérifie que ce réglage donne une Mφ légèrement inférieure à 45°. Pour remédier à cet
inconvénient on devra choisir T < τ ou adopter a > 10 (la mise en pratique de ce dernier choix
peut se révéler délicate). En toute hypothèse on procédera à une étude plus fine avec les outils
disponibles avec la CST3 de MATLAB afin de valider la solution retenue.
Illustrons la méthode en adoptant par exemple le processus suivant :
8
K = 8 s −2
soit FTBO ( p) = 2
T = 0,1 s
p (1 + 0.1 p )
Insérons un correcteur à avance de phase tel que
a = 10
= 0 ,1 s
La FTBO du système corrigé devient :
FTBOc ( p ) =
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2
8 K c (1 + p)
p (1 + 0.1 p)(1 + 0.1 p )
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16
Il s’agit de régler le gain K c du correcteur.
%
% Script Chap11_2.m
%
%
REGLAGE D'UN CORRECTEUR PD
%
%
Version du 3 juillet 2005
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all;clc;
%
% Description du processus
np=[8];
dp=[0.1 1 0 0];
disp('ftbo = ')
ftbo=tf(np,dp)
%
% Description du correcteur C1(p)
Kc=1;
nc1=Kc*[1 1];
dc1=[0.1 1];
cdp1=tf(nc1,dc1);
disp('ftboc1 = ')
ftboc=cdp1*ftbo
figure(1);bode(ftboc,ftbo);grid
title('Diagramme de Bode de la FTBO non corrigée et
corrigée')
%
ftbo =
Transfer function:
8
--------------0.1 s^3 + s^2
ftboc =
Transfer function:
8s+8
---------------------------0.01 s^4 + 0.2 s^3 + s^2
Diagramme de Bode de la FTBO non corrigée et corrigée
150
Magnitude (dB)
100
50
0
-50
-100
-150
-135
Phase (deg)
FTBO corrigée
-180
-225
-270
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
« Zoomons » sur la partie utile du diagramme.
Au41_C_chapitre 11
24/11/2005
Cours de M. Cougnon
17
Diagramme de Bode de la FTBO non corrigée et corrigée
System: ftboc
Frequency (rad/sec): 2
Magnitude (dB)
15
10
5
System: ftbo
Phase (deg)
-120
System: ftboc
Phase (deg): -139
-150
-180
-210
System: ftbo
0.2
0.3
Phase (deg): -19110
10
0.4
10
Frequency (rad/sec)
ωco ≈ 2 rad/s
Sur le diagramme de Bode ci-dessus on vérifie que :
K co1 ≈ −12,7 dB soit 0,2326
Mφ ≈ 41°
Pour affiner ces valeurs on peut faire le calcul suivant :
%
% Vérifions ces résultats
% On calcule le module et l’argument de ftboc(2j)
[amp,phi]=bode(ftboc,2)
Kco1=1/amp
Kco1dB=20*log10(Kco1)
Mphi=180+phi
%
amp =
4.3001
phi =
-139.1849
Kco1 =
0.2326
Kco1dB =
-12.6696
Mphi =
40.8151
On vérifie ce résultat par l’instruction « margin ».
%
% Calculons la marge de gain et la marge de phase
ftboc1=Kco1*ftboc
figure(2);margin(ftboc1)
%
Au41_C_chapitre 11
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18
Bode Diagram
Gm = 18.7 dB (at 8.94 rad/sec) , Pm = 40.8 deg (at 2 rad/sec)
150
Magnitude (dB)
Kco1 = -12,7 dB
wco = 2 rad/s
Marge de gain
100
50
0
-50
-100
-150
-135
Phase (deg)
Marge de phase
-180
-225
-270
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
ω co ≈ 2 rad/s
Ce tracé indique que : Mg ≈ 18,7 dB
Mφ ≈ 41°
On n’obtient pas la marge de phase désirée (Mφ = 45°). Choisissons τ = 0,2s et déterminons la
valeur convenable du gain K co 2 .
%
% Adaptation du correcteur C2(p)
Kc=1;
nc2=Kc*[2 1];
dc2=[0.2 1];
cdp2=tf(nc2,dc2);
ftboc2=cdp2*ftbo;
figure(3);bode(ftboc2);grid
title('Diagramme de Bode de la FTBO corrigée avec C2(p)')
%
Au41_C_chapitre 11
24/11/2005
Cours de M. Cougnon
19
Diagramme de Bode de la FTBO corrigée avec C2(p)
100
System: ftboc2
Magnitude (dB)
50
0
-50
-100
-150
-90
Phase (deg)
-135
System: ftboc2
Phase (deg): -133
-180
-225
-270
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
ωco ≈ 1,2 rad/s
Sur ce diagramme on lit K co 2 ≈ −22,2 dB soit 0,0776 .
Mφ ≈ 47°
Réglons K à la valeur indiquée.
%
% Calculons la marge de gain et la marge de phase pour C2(p)
Kco2=10^(-22.2/20)
ftboc2=Kco2*ftboc2
figure(4);margin(ftboc2)
%
Au41_C_chapitre 11
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Kco2 =
0.0776
Cours de M. Cougnon
20
Bode Diagram
Gm = 20.2 dB (at 6.52 rad/sec) , Pm = 47 deg (at 1.28 rad/sec)
100
Magnitude (dB)
50
0
-50
-100
-150
-90
Phase (deg)
-135
-180
-225
-270
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
3
10
10
Frequency (rad/sec)
%
% Perte de gain statique
DeltaKco=Kco2/Kco1
DeltaKcodB=20*log10(DeltaKco)
%
DeltaKco =
0.3338
DeltaKcodB =
-9.5304
Le gain statique ayant diminué de 9,53 dB (dans le rapport 3) par rapport à la valeur adoptée
pour le précédent réglage, la précision statique diminue dans le même rapport ; la bande passante
de la FTBF sera moindre et le temps de réponse sera plus élevé.
Evaluons les performances des 2 réglages au plans fréquentiels et temporels.
%
% Evaluation des performances
'ftbf1=' ;ftbf1=feedback(ftboc1,1)
'ftbf2=' ;ftbf2=feedback(ftboc2,1)
figure(5);bode(ftbf1,ftbf2,w);grid
title('Diagrammes de Bode des FTBF corrigées')
figure(6);step(ftbf1,ftbf2,6);grid
title('Réponses indicielles des FTBF
corrigées')
%
Au41_C_chapitre 11
24/11/2005
ftbf1 =
Transfer function:
1.86 s + 1.86
----------------------------------------------0.01 s^4 + 0.2 s^3 + s^2 + 1.86 s + 1.86
ftbf2 =
Transfer function:
1.242 s + 0.621
------------------------------------------------0.02 s^4 + 0.3 s^3 + s^2 + 1.242 s + 0.621
Cours de M. Cougnon
21
Réponses fréquentielles :
System: ftbf1
System:
Diagrammes
deftbf2
Bode des FTBF
corrigées
Magnitude (dB)
System: ftbf1
Magnitude (dB): -6
10
0
-10
System: ftbf2
Magnitude (dB): -6
-20
C2(p) C1(p)
-30
0
Phase (deg)
-45
-90
-135
-180
-225
-1
0
10
1
10
10
Frequency (rad/sec)
Récapitulons les résultats obtenus en analyse fréquentielle.
FTBO ( p ) =
8
2
p (1 + 0.1 p )
Correcteur n°1
C1( p ) = 0,2326
Correcteur n°2
1+ p
1 + 0,1 p
C 2( p ) = 0,0776
1+ 2 p
1 + 0,2 p
ω1c − 6dB = 4,46 rad/s
ω 2c − 6dB = 2,88 rad/s
Q1 = 3,89 dB et ω1R = 1,51 rad/s
Q 2 = 2,91 dB et ω 2 R = 0,866 rad/s
Au41_C_chapitre 11
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22
Examinons les réponses indicielles :
System: ftbf1
Peak amplitude: 1.38
Overshoot (%): 38.5
Réponses
At time (sec):
1.44
1.4
System: ftbf2
indicielles
FTBF
Overshootdes
(%): 30.8
At time (sec): 2.22
1.2
corrigées
System: ftbf1
Settling Time (sec): 2.7
System: ftbf2
Amplitude
1
C1(p)
0.8
0.6
C2(p)
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec)
Récapitulons les résultats obtenus en analyse temporelle.
FTBO ( p ) =
8
2
p (1 + 0.1 p )
Correcteur n°1
C1( p ) = 0,2326
Correcteur n°2
1+ p
1 + 0,1 p
C 2( p ) = 0,0776
1+ 2 p
1 + 0,2 p
t1r 5% = 2,7 s
t 2 r 5% = 4,69 s
tp1 = 1,44 s et D11% = 38,5 %
tp 2 = 2,22 s et D12% = 30,8 %
11.4. CORRECTEURS A ACTION « INTEGRALE »
Si les correcteurs à action « proportionnelle dérivée » interviennent sur la stabilité des systèmes
de commande, les correcteurs à « action intégrale » permettent de régler leur précision
statique. Nous savons que pour accroître cette précision il faut augmenter le gain statique de la
FTBO et éventuellement introduire une ou plusieurs intégrations avec les effets néfastes que l’on
sait pour la stabilité.
Au41_C_chapitre 11
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23
11.4.1. CORRECTEUR A « RETARD DE PHASE »
a. Principe
On adopte C ( p ) = K c
1 + τp
avec b > 1
1 + bτp
Cette transmittance peut être réalisée à partir du circuit électrique suivant :
Kc
R1
C
C ( p) = K c
S(p)
R2
E(p)
1 + τp
avec τ = R2. C
1 + bτp
et
b=
R1 + R2
R2
Traçons les lieux de BODE et de NYQUIST de cette transmittance.
Diagramme de BODE
(K) dB
Gain dB
(-1)
(K/b) dB
1/bτ
ωmax
C( p) = K c
1/τ
1 + τp
1 + b τp
10/τ
Phase deg
- 20
- 40
φmax
Frequency (rad/sec)
Au41_C_chapitre 11
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24
Lieu de NYQUIST
Kc /b
Kc
ω = +∞
0
ω = 0+
é
effet utile
effet néfaste
φmax< 0
ωmax
b. Action d’un correcteur à retard de phase
Le correcteur à « retard de phase » intervient sur la FTBO du système en augmentant le gain
aux basses pulsations permettant ainsi d’améliorer la précision statique de la boucle de
commande. Bien évidemment l’effet utile n’est pas le retard de phase qui, comme nous le
savons, est déstabilisant et constitue à ce titre un inconvénient de la méthode.
Sur le diagramme de NYQUIST représenté ci-dessous on observe l’effet du correcteur qui déforme
la FTBO( jω ) aux basses pulsations.
Zone d'
action du
correcteur à retard
ω = +∞
m
ω = 0+
é
−1
Mφ
ω co
0
FTBO
non corrigée
ω
FTBO
corrigée
Il convient de choisir correctement la constante de temps τ afin que l’effet de retard de phase,
Au41_C_chapitre 11
24/11/2005
Cours de M. Cougnon
25
néfaste pour la stabilité, intervienne « loin » de la pulsation de coupure ωco de la FTBO. Ce
correcteur n’agit donc pas sur la bande passante du système bouclé (pas d’effet sur la précision
dynamique), mais, bien réglé, il ne réduit pas de manière importante la marge de phase du
système et les performances de stabilité peuvent être maintenues.
c. Exemple : réglage d’un réseau correcteur à retard de phase
Soit le système de commande suivant :
ε(p)
E(p)
+
8
C(p)
S(p)
(1 + 0,1 p ) 2
_
Le cahier des charges impose des performances de stabilité et de précision caractérisées par :
On note que :
Mφ = 60° et ε P ( ∞) < 0,05
le système est de type 0 (i.e. sans intégration) ;
le gain statique de la FTBO est égal à K ftbo = 8K c ;
le processus étant de type 0 l’erreur de position est égale à ε P (∞) =
Il s’agit de réaliser la synthèse du correcteur C ( p ) = K c
1
;
1 + K ftbo
1 + τp
répondant au besoin.
1 + bτp
Les performances de la boucle de commande non corrigée ( C ( p) = 1 ) sont les suivantes :
• ε P (∞ ) =
1
1
= = 0,111
1 + K ftbo 9
erreur de position élevée > 0,05 (cahier des charges) ;
• Comme le montre le tracé de BODE de la FTBO réalisé ci-dessous la marge de phase est égale
à Mφ = 41,4° et la pulsation de coupure ωco=26,5 rad/s. La marge de phase est inférieure à
celle demandée au cahier des charges (60°).
%
% Script Chap11_3.m
%
%
REGLAGE D'UN CORRECTEUR PI
%
%
Version du 8 juillet 2005
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all;clc;
%
% Description du processus
np=[8];dp=conv([0.1 1],[0.1 1]);
disp('P(p) = ')
Pdp=tf(np,dp)
figure(1);margin(Pdp)
%
Au41_C_chapitre 11
P(p) =
Transfer function:
8
----------------------0.01 s^2 + 0.2 s + 1
24/11/2005
Cours de M. Cougnon
26
Bode Diagram
Magnitude (dB)
20
0
-20
-40
-60
0
Phase (deg)
-45
-90
-135
-180
-1
10
0
1
10
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
Il faut diminuer le gain statique de la FTBO pour obtenir la marge de phase demandée. Par
contre pour obtenir une erreur de position ≤ 0,05 (précision souhaitée) un calcul simple montre
que le gain statique de la FTBO doit être supérieur ou égal à 19 (accroissement dans le rapport
2,375). Telle est la problématique à laquelle il convient de trouver une solution.
Le gain statique de la FTBO est égal à K ftbo = 8K c .
Pour connaître la valeur convenable du gain statique K c du correcteur on utilisera le
« Sisotool » de la « Control System Toolbox » (CST).
%
sisotool('bode',Pdp)
%
Voir le « help » de sisotool
La courbe ci-dessous a été obtenue avec le « Sisotool ». On vérifie que l’on doit régler K ftbo = 4
pour avoir la marge de phase recherchée Mφ = 60° .
Dans ce cas on vérifie que ωco = 17,3 rad/s.
Au41_C_chapitre 11
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Cours de M. Cougnon
27
Open-Loop Bode Editor (C)
20
Magnitude (dB)
0
-20
-40
G.M.: Inf
Freq: Inf
Stable loop
-60
0
Phase (deg)
-45
-90
-135
-180
P.M.: 60 deg
Freq: 17.3 rad/sec
-1
10
0
10
1
2
10
Frequency (rad/sec)
3
10
10
Par contre, pour obtenir la précision souhaitée aux basses pulsations (domaine de la précision
statique) le gain statique de la FTBO doit être égal à 19 (soit 25,6 dB).
1
= 20 = 1 + 8K c
K c = 2,375
ε P (∞ )
1 + τp
Déterminons les autres coefficients du correcteur C ( p ) = K c
1 + bτp
Rappelons le diagramme de Bode du
correcteur.
Notons les pulsations de coupure et
les gains associés.
AdB
Kc
1 + τp
1 + bτp
20 log( K c )
1
τ
0 dB
K
20 log c
b
Au41_C_chapitre 11
24/11/2005
ω
1
bτ
Cours de M. Cougnon
28
FTBO corrigée
Correcteur
K c (1 + τp )
(1 + bτp )
8 K c (1 + τp )
AdB
(1 + bτp )(1 + 0,1 p )
2
≈
8K c
=4
b
8
1
τ
(1 + 0,1 p ) 2
<< ω << 10
FTBO non corrigée
ω
0 dB
10
1
bτ
1
τ
Pour les pulsations ω telles que
1
τ
ωco = 17,3 rad/s
<< ω << 10 rad/s
8K c
=4
b
Adoptons la valeur b = 5
b = 4,75 ;
Choisissons par exemple la constante de temps τ = 5s de telle sorte que :
1
τ
Dans ces conditions
= 0,2 rad/s << ωco = 17,3 rad/s
bτ = 25s il vient alors :
C ( p ) = 2,375
1+ 5 p
1 + 25 p
FTBOc ( p ) = 2,375
1+ 5 p
8
1 + 25 p (1 + 0,1 p) 2
%
% Réseaux correcteur à retard de phase
Krp=2.375;
nrp=Krp*[5 1];
drp=[25 1];
crp=tf(nrp,drp);
ftbocrp=crp*Pdp;
figure(3);margin(ftbocrp)
ftbfcrp=feedback(ftbocrp,1);
figure(4);step(ftbfcrp,30);grid
title('Réponse indicielle du système compensé "RP"')
%
Au41_C_chapitre 11
24/11/2005
Cours de M. Cougnon
29
Bode Diagram
40
Magnitude (dB)
20
0
1/(5tau) = 0.04
-20 Gain statique
=25,6 dB
-40
1/tau = 0.2
La pulsation de coupure wco de la FTBO
n'
est pas affectée par le correcteur
-60
-80
0
Marge de phase = 60°
Phase (deg)
-45
-90
Zone fréquentielle d'
action du
correcteur à retard de phase
-135
-180
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
3
10
10
Frequency (rad/sec)
On trouve dans ce cas Mφ = 61,2° et ωco=16.7 rad/s.
Ainsi réglé on obtient la réponse indicielle suivante :
Réponse indicielle du système compensé "RP"
1
0.9
System: ftbfcrp
Final Value: 0.95
System: ftbfcrp
0.8
0.7
L'
erreur de position en
régime permanent
est de 0,05
Amplitude
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
15
20
25
30
Time (sec)
Au41_C_chapitre 11
24/11/2005
Cours de M. Cougnon
30
On peut s’interroger sur les raisons qui font que le temps de réponse à 5% est élevé (7s) alors
que la bande passante de la FTBF est importante (ωco=16.7 rad/s). Pour répondre à cette question
calculons la FTBF et analysons sa réponse temporelle.
%
% Examen de la réponse indicielle de
la FTBF
[nbf,dbf]=tfdata(ftbfcrp,'v')
[r,p,k]=residue(nbf,dbf)
zeros=zero(ftbfcrp)
poles=pole(ftbfcrp)
damp(ftbfcrp)
%
FTBF =
Transfer function:
95 s + 19
----------------------------------------0.25 s^3 + 5.01 s^2 + 120.2 s + 20
nbf =
0 0
95
dbf =
0.2500
5.0100 120.2000 20.0000
19
r=
-0.0130 - 9.7564i
-0.0130 + 9.7564i
0.0260
p=
-9.9362 +19.4613i
-9.9362 -19.4613i
-0.1675
k=
[]
zeros =
-0.2000
poles =
-9.9362 +19.4613i
-9.9362 -19.4613i
-0.1675
Eigenvalue
-1.68e-001
-9.94e+000 + 1.95e+001i
-9.94e+000 - 1.95e+001i
Damping
1.00e+000
4.55e-001
4.55e-001
Freq. (rad/s)
1.68e-001
2.19e+001
2.19e+001
On remarque que la FTBF comporte un mode du second ordre rapide caractérisé par les pôles ;
p1, 2 = −9,9362 ± j19,4613
ζ = 0,455
ω n = 21,9 rad/s
et un mode lent du premier ordre caractérisé par le pôle :
p3 = −0,1675
constante de temps de 5,97 seconde
C’est ce mode lent qui, malgré un gain faible (résidu = 0,026), intervient dans la FTBF et freine
la dynamique de la réponse indicielle.
Au41_C_chapitre 11
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Cours de M. Cougnon
31
11.4.2. SYNTHESE D’UN CORRECTEUR « PROPORTIONNEL INTEGRAL » (PI)
a. Principe de réalisation d’un correcteur PI
On adopte la transmittance :
C( p) = K c 1 +
1 + Ti p
1
= Kc
Ti p
Ti p
Cette transmittance peut être réalisée à partir du circuit électrique ci-dessous :
C ( p) =
C2
C1
1 + Ti p
S
1
= −Kc
( p) = − K c 1 +
E
Ti p
Ti p
R
avec K c =
C1
C2
Ti = RC1
et
v−
_
v+
+
∞
E(p)
− S(p)
R'
On placera un inverseur de signe en sortie du
montage pour obtenir + S ( p )
Traçons le lieu de BODE de cette transmittance.
Gain (dB)
40+ (Kc)dB
C ( p) = Kc
1 + Ti p
Ti p
20+ (Kc)dB
(Kc)dB
1/100T
1/100
Ti
Phase deg
1/10T
1/10
Ti
1/T
1/
Ti
10/T
10/
Ti
Frequency (rad/sec)
100/T
100/
Ti
0
-30
-60
-90
.
b. Action d’un correcteur PI
L’insertion d’une intégration dans la FTBO du système de commande a pour effet d’améliorer la
précision statique du système en boucle fermée. Cependant, cette intégration introduit un retard
de phase de 90° (pente −1) qui déstabilise la boucle de commande. Cet effet est compensé par
l’insertion d’un zéro (pente +1).
Au41_C_chapitre 11
24/11/2005
Cours de M. Cougnon
32
ω = ∞+
0
−1
Effet du
zéro
ω = 0+
ω
FTBO
non corrigée
ω
FTBO
corrigée
Effet de 1/p
ω = 0+
c. Exemple : réglage d’un correcteur PI
Soit le système de commande ci-dessous.
ε(p)
E(p)
+
8
C(p)
S(p)
(1 + 0,1 p) 2
_
Le cahier des charges donne les spécifications des performances suivantes :
Stabilité
Précision
ε P ( ∞) = 0
50°< Mφ < 60°
ε v ( ∞) = mimimum à calculer
Déterminons le correcteur C(p) adéquat.
La contrainte de précision sur l’erreur de position impose l’insertion d’une intégration, le
processus n’en comportant pas (processus de type zéro). On adopte donc :
C ( p) = K c
1 + Ti p
Ti p
On dégrossit l’étude selon une approche sommaire (diagramme asymptotique).
On choisit Ti = 0,1 s afin d’obtenir un gain statique maximum et une bande passante de la FTBF
la plus large possible.
Pour obtenir la marge de phase souhaitée il faut diminuer le gain statique et régler en
conséquence K c (utiliser MATLAB).
Au41_C_chapitre 11
24/11/2005
Cours de M. Cougnon
33
AdB
(−1)
Correcteur PI
20 dB
FTBO
Processus
(−2)
0 dB
0,1
1
1/Ti = 10
ω en rad/s
%
% Correcteur PI
npi=[0.1 1];
dpi=[0.1 0];
cpi=tf(npi,dpi);
ftbocpi=cpi*Pdp;
sisotool('bode',Pdp,cpi)
%
On utilise le Sisotool pour mettre au point la valeur du gain du correcteur et on trouve :
K c = 0,0835
Open-Loop Bode Editor (C)
Magnitude (dB)
50
0
-50
G.M.: Inf
Freq: Inf
Stable loop
-100
Phase (deg)
-90
-135
-180
P.M.: 60 deg
Freq: 5.78 rad/sec
-1
10
Au41_C_chapitre 11
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
24/11/2005
2
10
3
10
Cours de M. Cougnon
34
On vérifie à partir de ce tracé que Mφ = 60° et que ωco=5,78 rad/s.
La bande passante de la FTBF est faible. Pour augmenter la bande passante on aura recours à un
correcteur à action combinée (cf. § 11.5) avec lequel on ajoute de « l’action dérivée ».
Par ailleurs le gain statique de la FTBO ( K ftbo = 8 * 0,835 = 6,68 ) permet de déterminer
ε v (∞) = 1 / 6,68 = 0,145
FTBO ( p) = 0,835
%
Kpi=0.0835;
disp('FTBO avec le correcteur PI')
ftbocpi=minreal(Kpi*cpi*Pdp)
figure(5);margin(ftbocpi)
disp('FTBF avec le correcteur PI')
ftbfcpi=feedback(ftbocpi,1);
figure(6);step(ftbfcpi,2);grid
title('Réponse indicielle du système
compensé "PI"')
%
1 + 0,1 p
8
p
(1 + 0,1 p ) 2
FTBO avec le correcteur PI
Transfer function:
66.8
-----------s^2 + 10 s
FTBF avec le correcteur PI
Transfer function:
66.8
-------------------s^2 + 10 s + 66.8
Enregistrons la réponse indicielle de la FTBF.
Réponse indicielle du système compensé "PI"
1.4
System: ftbfcpi
1.2 Overshoot (%): 8.8
At time (sec): 0.48
System: ftbfcpi
System: ftbfcpi
Final Value: 1
Amplitude
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Time (sec)
Au41_C_chapitre 11
24/11/2005
Cours de M. Cougnon
35
11.5. CORRECTEURS A ACTIONS COMBINEES
Pour atteindre les objectifs de performances requis, on est souvent conduit à insérer dans la
FTBO d’un système de commande, un correcteur à action proportionnelle, intégrale et dérivée
(PID).
11.5.1. CORRECTEUR SANS ACTION INTEGRALE PURE
d. Principe d’action
Ce correcteur correspond à la mise en série d’un réseau à avance de phase et d’un réseau à retard
de phase.
1 + T2 p 1 + T3 p
C ( p) = K
avec T1 > T2 > T3 > T4
1 + T1 p 1 + T4 p
AdB
Action
intégrale
20 dB
Action
dérivée
(0)
(0)
(+1)
(−1)
(0)
100
10
0 dB
1/T1
+90°
1/T2
1/T3
ω en rad/s
1/T4
Phase
0°
ω en rad/s
-90°
e. Exemple
Soit le système de commande ci-dessous.
ε(p)
E(p)
+
C(p)
_
8
S(p)
(1 + 0,1 p) 2
Le cahier des charges donne les spécifications des performances à respecter :
60°< Mφ ; 20 rad/s << ωco ; tr 5% < 7 s ; ε P (∞) ≤ 0,05
Au41_C_chapitre 11
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36
Déterminons le correcteur C ( p ) = K c
1 + aτp 1 + Tp
;
1 + τp 1 + bTp
On utilise le « Sisotool » de la FTBO non corrigée et l’on procède comme suit :
réglage du gain statique à la valeur de 2,4 pour obtenir la précision recherchée ;
insertion du pôle et du zéro correspondant au correcteur à retard de phase ;
insertion du pôle et du zéro correspondant au correcteur à avance de phase ;
ajustement des pôles et des zéros pour répondre au cahier des charges ; pour faciliter
cette opération on visualise la réponse indicielle ;
Il est possible alors d’ajuster définitivement le gain.
Nous adopterons par exemple le correcteur C ( p ) = 5
1 + 0,1 p 1 + 2,5 p
1 + 0,01 p 1 + 25 p
Les performances de la boucle de commande sont les suivantes :
Marge de phase
Pulsation de coupure
Temps de réponse à 5%
Précision statique
Cahier des charges
60°< Mφ
20 rad/s << ωco
t r 5% < 7 s
ε P (∞) ≤ 0,05
Obtenue avec C(p)
60°< Mφ = 85°
ωco = 36 rad/s
tr 5% = 3,8 s
ε P (∞) ≈ 0,025
Au41_C_chapitre 11
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37
11.5.2. CORRECTEUR PID
a. Mode d’action du correcteur PID
Le correcteur PID idéal admet comme transmittance :
1
C ( p) = Kc (1 +
+ Td p)
Ti p
On adoptera en pratique la forme :
C ( p) = Kc (1 +
T p
1
+ d )
Ti p 1 + τp
Dans l’hypothèse ou les zéros de C(p) sont réels et si Ti >> Td >> τ on peut écrire :
C ( p) ≈ K c
(1 + Ti p)(1 + Td p)
Ti p(1 + τp)
AdB
Action
intégrale
20 dB
(−1)
Action
dérivée
(+1)
(0)
0 dB
1/Ti
+90°
(0)
K/Ti
1/Td
1/τ ω en rad/s
Phase
0°
ω en rad/s
-90°
b. Méthodes de réglage d’un correcteur PID
Lorsque la transmittance du processus n’est pas connue sous sa forme analytique la méthode
proposée par ZIGLER et NICHOLS donne de bons résultats pour le réglage pratique d’un PID.
Au41_C_chapitre 11
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Cours de M. Cougnon
38
Méthode de la boucle ouverte (essai indiciel)
On réalise un essai indiciel et l’on mesure les paramètres L et a.
On approche la réponse
indicielle réelle par :
a
P ( p ) = e − Lp
p
1
0.9
Réponse indicielle du processus
0.8
Amplitude
0.7
Connaissant L et a on peut
déterminer les paramètres du
PID.
0.6
a = tg α
0.5
0.4
Ce choix minimise le critère
IAE :
0.3
α
0.2
0.1
0
0
J=
L
1
2
3
4
5
Temps (secondes)
∞
0
ε (t ) dt
6
Méthode de la boucle fermée (limite de pompage)
Si la boucle ne peut être ouverte :
• on installe le régulateur en neutralisant les actions intégrale et dérivée ;
• on augmente alors le gain Kc jusqu’à Kco valeur limite pour laquelle des oscillations
entretenues apparaissent.
• on mesure la période To des auto-oscillations.
s(t)
e(t)
PID
ε(t)
+
_
Kco
K
Ti = Td = 0
Au41_C_chapitre 11
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G1 ( p)
t
pα
Processus
Cours de M. Cougnon
39
Valeur des paramètres du correcteur
Valeurs des paramètres
C(p)
Essai indiciel
Kc
Kc =
1
aL
1
Ti p
Kc =
0,9
aL
Ti = 3,3L
1
+ Td p
Ti p
Kc =
1,2
aL
Ti = 2 L
Kc 1 +
Kc 1 +
Limite de pompage
K c = 0,5K co
K c = 0,45K co
Td = 0,5L
Ti = 0,83To
K c = 0,6 K co
Ti =
T0
2
Td =
T0
8
11.6. CORRECTEURS EN REACTION
11.6.1. PRINCIPE D’ACTION DES CORRECTEURS EN CASCADE
a. Principe général
Les correcteurs en cascade traitent le signal d’erreur par actions dérivée et intégrale. En général
ils interviennent peu dans l’élimination des bruits et des perturbations qui affectent le processus.
Les correcteurs en réaction, placés dans une boucle secondaire, permettent d’intervenir à ce
niveau.
Considérons une boucle de commande dans laquelle la transmittance H2(p) présente des
imperfections qui nuisent aux performances du système asservi.
E(p)
+
ε(p)
H1(p)
_
+
H2(p)
H3(p)
S(p)
_
C(p)
Sans correcteur la fonction de transfert en boucle ouverte est donnée par :
FTBO( p) = H 1( p ) H 2( p) H 3( p)
Avec le correcteur elle devient la fonction de transfert en boucle ouverte corrigée est égale à :
H 2( p )
FTBOc ( p ) = H 1( p )
H 3( p )
1 + C ( p ) H 2( p )
•
•
H 1( p ) H 3( p )
C ( p)
Si C ( p ) H 2( p ) << 1 il vient FTBOc ( p ) ≈ H 1( p ) H 2( p ) H 3( p )
Si C ( p ) H 2( p ) >> 1 il vient FTBOc ( p ) ≈
Le diagramme de BODE de la FTBO(jω) est déterminé approximativement comme indiqué ciAu41_C_chapitre 11
24/11/2005
Cours de M. Cougnon
40
après.
• Pour ( C ( p ) H 2( jω ) >> 1)
FTBOc ( jω ) ≈
[H1( p)H 2( p) H 3( p)
A dB
H 1( p ) H 3( p )
C ( p)
]
p = jω dB
[C ( jω ) H 2( jω ) max ]dB
p = jω
• Pour ( C ( p ) H 2( jω ) << 1)
H 1( p ) H 3( p )
C ( p)
FTBOc ( jω ) ≈ H 1( p ) H 2( p ) H 3( p ) p = jω
p = jω dB
ω1
log ω
ω2
On notera que c’est l’inverse de C ( p) qui intervient dans la FTBO corrigée. Ainsi pour obtenir
un effet intégrateur sur la FTBO, C(p) doit être de type dérivateur. Pour préciser cela admettons
que H 2( p) soit un simple gain A et que C(p) soit un système du premier ordre.
H'
2( p ) =
De plus si
λA >> 1
λA
ω <<
τ
A
1+
λA
1 + τp
H '(
2 p) =
=
A(1 + τp )
A
1 + τp
=
1 + λA + τp 1 + λA 1 + τ p
1 + λA
1 + τp
λ
(action proportionnelle-dérivée)
Nous obtenons ainsi une correction du type à avance de phase. On note que ce procédé conduit à
une diminution de gain statique qu’il faut compenser par une augmentation du gain de H1(p) par
exemple pour conserver les performances en précision de l’asservissement.
b. Synthèse de C(p)
Revenons au cas général. Supposons que, pour obtenir les performances requises, la FTBOc ( p )
doive être égale à :
FTBOc ( p ) = H 1( p )W ( p ) H 3( p )
Il est possible de déterminer la transmittance du correcteur à installer:
W ( p) =
H 2( p)
H 2( p ) − W ( p )
soit C ( p) =
1 + C ( p) H 2( p)
W ( p ) H 2( p )
Cette solution est attrayante ; encore faut-il que le correcteur C(p) ainsi obtenu soit
physiquement réalisable !
Au41_C_chapitre 11
24/11/2005
Cours de M. Cougnon
41
11.6.2. CORRECTION TACHYMETRIQUE SIMPLE
a. Présentation théorique
Pour illustrer les avantages d’un retour fondé sur l’injection d’un signal égal à la dérivée du
signal de sortie nous présenterons la correction tachymétrique encore désignée « contre-réaction
tachymétrique » (CRT). Ce mode de correction est utilisé couramment pour la réalisation des
servomécanismes. Les amortisseurs de tangage et de lacet que l’on trouve dans les dispositifs de
pilotage des avions et missiles relèvent de cette technique. Aussi démontrerons-nous l’intérêt de
ce type de compensation en examinant la commande d’un asservissement élémentaire de
position. Le capteur C ( p) = λp est une génératrice qui, calée en bout d’arbre, donne un signal
électrique proportionnel à la vitesse de rotation du moteur de l’asservissement.
E(p)
+
ε(p)
A
_
+
Kv
p(1 + τp)
_
S(p)
λp
τ
Kv
τe =
1 + Kvλ
A
Kv
Ae K v
p(1 + τp)
FTBOc ( p) = A
=
avec
=
Kvλ
A
1 + Kvλ
p(1 + τ e p)
τ
1+
Ae =
p 1+
p
(1 + τp)
1 + Kvλ
1 + Kvλ
On observe que la constante de temps τ (constante de temps mécanique du moteur) est réduite
dans le rapport (1 + Kv λ ) . C’est effet est bénéfique puisqu’il permet, comme nous allons le
vérifier ultérieurement, d’élargir la bande passante et d’améliorer ainsi, à marge de phase
constante, la précision dynamique de l’asservissement. Le gain statique diminue dans la même
proportion mais cette perte de gain peut être compensée en modifiant le gain A.
Déterminons la nature du correcteur en cascade Cc(p) équivalent permettant d’obtenir une
FTBO(p) identique à celle obtenue avec la correction tachymétrique.
FTBO ( p) = ACc ( p)
Cc ( p ) =
Kv
A
=
p (1 + τp)
1 + Kvλ
1
1 + K vλ
Kv
p 1+
τ
1 + K vλ
p
(1 + τp )
1+
τ
1 + Kvλ
p
Ainsi la correction tachymétrique est équivalente à l’insertion en série d’un réseau correcteur à
avance de phase. Il est légitime de se poser la question suivante : « pourquoi donc utiliser un
capteur de vitesse coûteux (génératrice tachymétrique = machine tournante) alors qu’un réseau
électrique à avance de phase, formé à partir de composants à bas prix, donnerait un résultat
identique ? ». Tout l’intérêt de ce type de correction réside dans la désensibilisation efficace du
système aux couples perturbateurs. De plus la correction tachymétrique réduit l’effet des
résonances mécaniques et augmente la raideur de la transmission moteur-charge.
b. Calcul d’une correction tachymétrique
Au41_C_chapitre 11
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Cours de M. Cougnon
42
Soit l’asservissement élémentaire de position ci-dessous. Le cahier des charges impose le respect
des performances suivantes :
Mφ ≈ 45° pour ω co = 8 / τ
ε P ( ∞) = 0
Déterminons le retour tachymétrique C ( p) = λp adéquat.
ε(p)
E(p)
+
A
+
_
Kv
p(1 + τp)
_
S(p)
λp
Sans CRT, réglons le gain A à la valeur A0 afin que Mφ ≈ 45°.
Si l’on raisonne sur un tracé asymptotique :
ω<
ω>
1
τ
1
τ
FTBO ≈
FTBO ≈
AK v
ω
AK v
si
ω=
1
τ
FTBO = 1(0dB)
τω 2
A0 =
1
τK v
Si, sans CRT, on désire respecter la contrainte de pulsation de coupure de la FTBO imposée par
8
le cahier de charges ωco =
on accroît le gain :
τ
ω>
1
τ
FTBO ≈
AK v
τω
2
si
ω=
8
A'
0=
τ
FTBO = 1(0dB)
64
= 64 A0
τK v
( A'0 )dB = ( A0 )dB + 36dB
Si l’on tient compte de l’atténuation de 3 dB apportée par le premier ordre à sa pulsation de
1
cassure , la valeur exacte des gains est :
τ
Sans CRT
A0 =
2
τK v
et avec CRT
A'
0=
64 2
τK v
La marge de phase Mφ est alors égale à 7°. Cette valeur est inacceptable. Il convient dès lors de
prévoir un correcteur.
Au41_C_chapitre 11
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Cours de M. Cougnon
43
FTBO ( jω ) dB
(−1)
ω '= A'
0 Kv =
A'
0 Kv
p(1 + τp)
ωc 0 =
(−1)
τ
8
τ
Mφ = 7°
36dB
A'
0
C ( p)
0 dB
64
log(ω )
Mφ = 45°
(−2)
1
τ
Mφ = 45°
La structure de C ( p) se déduit intuitivement du schéma ci-dessus. En raisonnant sur les
diagrammes asymptotiques des modules selon le principe exposé au § 11.6.1.b on écrit :
A'
0 = 8
C ( p ) τp
C ( p) =
A'
0τ p
8
C ( p) =
8 2
p
Kv
Pour être plus précis dans ce cas particulier sachant que :
FTBOc ( p ) =
A
1 + λK v
Kv
ωco =
p 1+
τ
p
1 + λK v
1
8
τe
=
τ
=
1 + λK v
τ
=
Ae K v
avec
p (1 + τ e p )
τe =
τ
1 + λK v
Ae =
A
1 + λK v
λK v = 7
Par ailleurs :
Ae0 K v
p (1 + τ e p )
Ae0 =
Ainsi :
p = jω c 0
A'
A'
0
= 0
8
1 + λK v
C ( p ) = λp =
Au41_C_chapitre 11
=1
7
7 A'
0τ p
p=
Kv
64 2
24/11/2005
Ae0 =
A'
0=
8 2
τK v
64 2
τK v
C ( p) ≈
A'
0τ p
13
Cours de M. Cougnon
44
11.6.3. CORRECTION TACHYMETRIQUE FILTREE
Reprenons l’exemple précédent et calculons l’erreur de vitesse ε v (∞) du système réglé pour que
Mφ ≈ 45°, sans et avec correction tachymétrique :
1
τ
=
• système non corrigé ε v (∞) =
A0 K v
2
τ
ε (∞ )
1
8
• système corrigé
ε'
=
=
= v
v (∞ ) =
Ae0 K v A'
8
8 2
0 Kv
Ce résultat montre que la précision du système bouclé est améliorée dans le rapport 8. Ce résultat
est intéressant. Toutefois le rapport des gains avec CRT et sans CRT étant égal à 64
( A'0 / A0 = 64) il est à penser que l’on n’exploite pas au mieux les possibilités offertes par le
dispositif. En effet si aux basses fréquences (régime statique) on neutralise la CRT (i.e. λ = 0 ) le
gain statique est égal à A'
0 K v auquel cas l’erreur est égale à :
1
τ
ε "v (∞) =
=
A'
64 2
0 Kv
L’erreur est 64 fois plus faible que celle obtenue sans CRT.
On conçoit le correcteur C(p) selon les principes du § 11.6.1.b de la façon suivante :
FTBO ( jω ) dB
A'
0 Kv
p(1 + τp)
(-1)
ωc 0 =
(-2)
8
τ
(-1)
0 dB
1
T
A'
0
C ( p)
log(ω )
1
(-2)
τ
Le calcul de C(p) est le suivant (calcul simplifié élaboré à partir du tracé asymptotique) :
A'
0 = α 1 + Tp
C ( p)
p2
A'
0
=1
C ( p) ω = 8
αTτ
8
=1
α=
8
Tτ
A'
0 = 8 1 + Tp
C ( p ) Tτ p 2
τ
Au41_C_chapitre 11
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Cours de M. Cougnon
45
C ( p) =
2
A'
0 τ Tp
8 1 + Tp
Soit en définitive :
C ( p ) ≈ λp
Tp
1 + Tp
Pour obtenir ce résultat on place un filtre passe haut après le capteur de vitesse qui pour les
pulsations basses se comporte comme un coupe circuit et élimine l’action de la CRT.
λ
Vg
dω
dt
C
Génératrice
R
θ
Les tracés asymptotiques ci-dessous expliquent le résultat obtenu.
A dB
Filtre passe-haut
(0)
log ω
(+1)
Tp
1 + Tp
1
T
(+1)
A dB
Filtre passe-haut
et dérivateur
log ω
(+1)
1
(+2)
Au41_C_chapitre 11
λTp 2
1 + Tp
λ
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Au41_C_chapitre 11

Transcription

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