Communications numériques 1. Modulation numérique (a) message

Communications numériques
1. Modulation numérique
(a) message numérique/signal numérique
(b) transmission binaire/M -aire en bande de base
(c) modulation sur fréquence porteuse
(d) paramètres, limite fondamentale
(e) Spectre d’un signal numérique
2. Performances en présence de bruit
(a) en bande de base
(b) sur fréquence porteuse: MDP
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Message numérique/Signal numérique en bande de base
• le message numérique est une suite {dk } de v.a. à valeurs dans {0, 1}
supposées i.i.d. avec P [dk = 0] = 1/2,
• le modulateur associe de façon bijective à chacun des 2K messages de
longueur K un signal à temps continu x(t).
Exemple fondamental : le signal numérique est engendré à partir d’une
impulsion h(t) décalée et modulée par dk :
x(t) =
K
X
dk h(t − kTb )
k=1
où Tb désigne l’intervalle de temps entre l’émission de 2 bits,
Db =
1
Tb
débit binaire en bits/s
2
Transmission binaire/M-aire
On considère un alphabet A fini à M symboles.
Typiquement :
A = {−(M − 1), −(M − 3), · · · , −1, +1, · · · , (M − 3), (M − 1)}
où M = 2m soit m = log2 (M ).
On choisit un ”codage” qui associe, de façon bijective, à toute suite de m bits
du message numérique un symbole ak de l’alpabet A.
Le modulateur fournit le signal numérique :
X
x(t) =
ak h(t − kT ) où T = mTb
k
Par conséquent :
R=
1
Db
=
T
log2 (M )
baud
3
Codage de Gray
message
symbole
100
−7
101
−5
111
−3
110
−1
010
+1
011
+3
001
+5
000
+7
4
Modulation sur fréquence porteuse
Ainsi au k-ième symbole est associé, dans l’intervalle de temps (kT, (k + 1)T )
le signal :
x(t) = A cos(2πf0 t + φk )
où φk ∈ Φ. Il s’en suit que l’enveloppe complexe de x(t) a pour expression :
X
xb (t) = A
ak rectT (t − kT )
(1)
k
avec ak = exp(jφk )
5
01
Message numerique : 01100100
01
10
01
00
00
11
10
Constellation
Signal numerique
Figure 1: Modulation MDP4
6
Autre exemple : MAQ-16
signal numérique MAQ−16
0111 0110 0100 0000 1101
constellation MAQ−16
+3
+1
−1
−3
1000
1010
1011
1001
1100
1110
1111
1101
0100
0110
0111
0101
0000
0010
0011
0001
−3
−1
+1
+3
0
0
T
2T
3T
4T
5T
Figure 2: Modulation MAQ-16
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Paramètres
• L’efficacité spectrale exprimée en bits/s/Hz est définie par :
η=
Db
(bits/s/Hz)
B
où Db désigne le débit binaire et B la bande de fréquence du canal.
• Le rapport signal sur bruit défini par :
ρ=
Eb
N0
où Eb désigne la quantité d’énergie par bit, exprimée en nombre de Joules
par bit, et N0 /2 la densité spectrale du bruit additif, blanc sur le canal,
exprimée en W/Hz. On en déduit que la puissance moyenne du signal est
donnée par Ps = Eb Db et que la puissance du bruit dans la bande B et
donnée par Pb = N0 B. On en déduit le rapport signal sur bruit en
8
puissance :
Eb
Ps
=
η = ρη
Pb
N0
• La probabilité d’erreur par symbole définie par Pe = P (âk 6= ak ) où âk
désigne la valeur choisie par le récepteur et ak le symbole émis.
• On considère aussi le taux d’erreur par éléments binaire (TEEB). Dans le
cas où le rapport signal sur bruit est grand, nous verrons que le TEEB est
donné par :
Pe
TEEB '
log2 (M )
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Remarque
Le concepteur du modulateur est conduit à considérer des alphabets de taille
M > 2 de façon. Il pense ainsi pouvoir augmenter le débit binaire sans
toucher à la bande B en fréquence du canal qui est directement liée au débit
symbole 1/T . On a en effet B ∼ 1/T .
Mais en augmentant M , les niveaux d’amplitude vont se rapprocher et en
présence de bruit, à RSB constant, la probabilité d’erreur va augmenter.
Réciproquement en réduisant le débit on pouvait espérer diminuer la
probabilité d’erreur.
Ainsi on a longtemps cru que le seul moyen de réduire la probabilité d’erreur
pour une bande de fréquence et un RSB donnés, était de réduire le débit.
Shannon (1948) a montré que si Db < C où
C = B log2 (1 + RSB)
bits/s
alors il existe un modulateur asymptotiquement sans erreur.
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Ce qui est remarquable est que, au-dessous d’une certaine valeur du débit, et
donc de l’efficacité, il est possible de rendre Pe aussi faible que l’on veut.
Ainsi, sur le canal gaussien sans mémoire, la courbe :
2η − 1
η = log2 (1 + ρη) (bits/s/Hz) ⇔ ρ =
η
(2)
donne une limite fondamentale aux transmissions sûres. Nous avons
représenté figure 3 la courbe donnant ρ en dB en fonction de η en bits/s/Hz.
11
25
ρ (dB)
20
15
10
5
0
−1.6
−5
η (bits/s/Hz)
0
2
4
6
8
10
Figure 3: Limite fondamentale de transmission sur le canal AGB, ρ en dB
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Spectre des signaux numériques
x(t) =
X
ak h(t − kT )
(3)
k
Si ak forment une suite aléatoire, à valeurs dans un alphabet A de taille M , et
que cette suite est stationnaire au second ordre,
X
X
1
1
2
2jπf kT
2
Sx (f ) = |H(f )|
+ 2 |ma |
Ra (k)e
|H(k/T )|2 δ(f − k/T )
T
T
k
k
|
{z
} |
{z
}
c (f )
Sx
d (f )
Sx
(4)
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Signal binaire NRZ
Le signal binaire Non Retour à Zéro (NRZ) est obtenu à partir d’une
impulsion rectangulaire de durée T et d’amplitude A et de l’alphabet
{−1, +1}. La puissance est :
Rx (0) = A2
et la d.s.p. est donnée par :
sin2 (πf T )
Sx (f ) = A T
(πf T )2
2
14
0
−5
−10
−15
−20
−25
−30
−6
−4
−2
0
2
4
6
Figure 4: Spectre en dB du signal NRZ, de puissance égale à 1, en fonction de f T .
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Signal NRZ AMI (Alternate Mark Inversion)
Le signal AMI est obtenu d’un alphabet ternaire {−1, 0, +1}, avec lequel on
code les bits 0 par le symbole 0 et les bits 1 alternativement par +1 et −1.
Alors Ra (0) = 1/2, Ra (±1) = −1/4 et Ra (k) = 0 pour |k| ≥ 2. On suppose
que h(t) est une impulsion rectangulaire NRZ de durée T .
La puissance moyenne est :
Rx (0) = A2 /2
et la d.s.p. a pour expression :
4
sin
(πf T )
Sx (f ) = A2 T
(πf T )2
16
0
−5
−10
−15
−20
−25
−30
−6
−4
−2
0
2
4
6
Figure 5: Spectre en dB du signal AMI, de puissance égale à 1, en fonction de f T .
On note que :
Sx (0) = 0
P
Une CS est que la somme courante | ak | soit bornée.
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Signal MDP
L’enveloppe complexe du signal a pour expression :
X
xb (t) =
ak h(t − kT )
k
où h(t) est l’impulsion rectangulaire NRZ d’amplitude A et où ak = ejφk avec
φk ∈ {0, 2π/M, . . . , 2(M − 1)π/M } sont les symboles de codage. On en déduit
que :
ma = 0, Ra (k) = δ(k)
La d.s.p. de xb (t) a pour expression :
sin2 (πf T )
Sxb (f ) = A T
(πf T )2
2
La puissance de x(t) est Rx (0) = A2 /2 et sa d.s.p. est :
1
1
Sx (f ) = Sxb (f − f0 ) + Sxb (f + f0 )
4
4
18