34 8 RÉGULATION EN TEMPS DISCRET En continu, l

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8 RÉGULATION EN TEMPS DISCRET
En continu, l’opération d’intégration se traduit par une multiplication par 1/p. Ceci conduit à
établir l’équivalence entre variable en p et variable en z.
2 z−1
Te z + 1
1
=
, ou p =
p
2 z−1
Te z + 1
La transposition du correcteur continu C(p) en discret et donc
2 z−1
′
C(p) → C (z) = C p =
Te z + 1
Cette transposition conserve-t-elle la stabilité ?
En faisant un calcul similaire que celui fait pour la transformée en w, on trouve que le demi plan
Re(p) < 0 est transformé en |z| < 1 (voir figure 25 ).
Im(p)
Im(z)
Re(p)
0
1
Re(z)
−1
p=
2 z−1
Te z + 1
Fig. 25 – Transformation de Tustin
Conservation des pôles et des zéros.
Soit le correcteur continu suivant
Q
(p − zi )
Q
C(p) = Kc
(p − pi )
On cherche le correcteur numérique possédant les mêmes pôles et les mêmes zéros. En utilisant la
relation z = epTe , on transforme chaque terme élémentaire du produit par
1
(p − q0 ) → (z − eq0 Te )
Te
Le facteur 1/Te permet d’obtenir un correcteur numérique avec le même gain statique que le
correcteur continu. En effet
– la contribution du terme (p − q0 ) au gain statique (continu) est (p − q0 )|p=0 = −q0
– la contribution du terme (z − eq0 Te ) au gain statique (discret) est (z − eq0 Te )|z=1 = 1 − eq0 Te
En développant 1 − eq0 Te on obtient
1 − eq0 Te = 1 − [1 + q0 Te + (q0 Te )2 + · · · ]
Soit au premier ordre
1 − eq0 Te ≈ −q0 Te
En pratique cette adaptation du gain statique peut ne pas être suffisante (de part l’approximation
−q0
faite au premier ordre). Dans ce cas, on remplace le terme T1e par le terme non approximé 1−e
q0 Te .
D’où le correcteur discrétisé par conservation des pôles et des zéros
Q
Q
Q
(−zi ) (1 − epi Te ) (z − ezi Te )
Q
Q
C(z) = Kc Q
(−pi ) (1 − ezi Te ) (z − epi Te )
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Jean-Matthieu Bourgeot
8.3 Le PID numérique
8.3
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Le PID numérique
Un correcteur PID continu est de la forme
Z
dǫ(t)
1 t
ǫ(t)dt + Td
u(t) = Kp ǫ(t) +
Ti 0
dt
Une de ses transpositions numériques est de la forme :
uk = pk + ik + dk
avec le terme proportionnel
p k = K p ǫk
Le terme intégral (évaluer par la méthode des rectangles)
ik = ik−1 +
Kp Te
ǫk
Ti
Le terme dérivé (évaluer sur deux points)
dk =
Kp Td
[ǫk − ǫk−1 ]
Te
D’où le schéma d’ensemble suivant
Proportionnel
Dérivateur
E(z)
+
-
ǫ(z)
Td z − 1
Te z
Kp
C(z)
retour depuis sortie
du procédé
++
+
Te z
Ti z − 1
U(z)
commande vers
entrée du
procédé
Intégral
Fig. 26 – PID numérique
Remarque 5 On donne ici la version la plus simple d’un correcteur PID, il peut être souhaitable
de rajouter un dispositif d’anti-saturation pour le terme intégral. De remplacer le terme dérivateur,
par un filtre etc.
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36
9
9 RÉALISATION DES CORRECTEURS NUMÉRIQUES
Réalisation des correcteurs numériques
9.1
Notions de stabilité interne
Définition 11 Un système bouclé est stable de manière interne si tout signal borné injecté en
n’importe quel point de la boucle engendre un signal borné en tout autre point.
Théorème 5 Un système bouclé est stable de manière interne si toute fonction de transfert reliant
deux points externes quelconques de la boucle ne possède que des pôles stables.
Interprétation de la compensation de zéros
Soit un système discret modélisé par une fonction de transfert discrète de la forme
G(z) = (z − a)G1 (z)
On souhaite compenser le zéro z = a par un correcteur série K(z) =
E(z)
K(z)
U(z) G(z)
1
K (z)
z−a 1
(voir figure 27)
Y (z)
Fig. 27 – régulateur série
On obtient donc bien après simplification
Y (z)
= K1 (z)G1 (z)
E(z)
Supposons maintenant que l’on fait une petite erreur de modélisation lorsque l’on exprime le
modèle G(z) d’un système réel. En réalité la fonction de transfert du système réel est
G(z) = (z − a⋆ )G1 (z)
où le paramètre a⋆ est proche (mais différent) de sa valeur estimé lors de la modélisation. Dans ce
cas nous avons
z − a⋆
Y (z)
=
K1 (z)G1 (z)
E(z)
z−a
Et la simplification ne peut plus avoir lieu (a 6= a⋆ ). Si le zéro que l’on voulait compenser était
(z)
comportant un pôle instable (donc un
instable |a| > 1 alors on se retrouve avec un système YE(z)
système instable).
9.2
Réalisation physique
Soit la fonction de transfert d’un système discret sous forme de puissance positive de z
G(z) =
b0 z m + b1 z m−1 + · · · + bm
Y (z)
=
n
n−1
z + a1 z
+ · · · + an
U (z)
(30)
où uk = T Z −1 [U (z)] est l’entrée du système et yk = T Z −1 [Y (z)] la sortie. L’équation (30) se réécrit
[b0 z m + b1 z m−1 + · · · + bm ]U (z) = [z n + a1 z n−1 + · · · + an ]Y (z)
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(31)
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9.3 Réalisation pratique de correcteurs numériques
37
En prenant la transformée en z inverse de l’équation (31) on obtient
yk+n + a1 yk+n−1 + · · · + an yk = b0 uk+m + b1 uk+m−1 + · · · + bm uk
d’où
yk+n = b0 uk+m + · · · + bm uk − [a1 yk+n−1 + · · · + an yk ]
{z
} |
|
{z
}
g(ui ), i6k+m
f (yj ), j<k+n
En vertu du principe de causalité, c’est à dire que l’effet ne peut pas précéder la cause qui le
produit, on doit avoir
m6n
Sinon on aurait que la sortie à l’instant k + n serait fonction de la valeur de l’entrée dans le futur
(à l’instant k + m > k + n).
9.3
Réalisation pratique de correcteurs numériques
Obtention de l’équation récurrente à partir de la fonction de transfert discrète
Soit le correcteur suivant
C(z) =
U (z)
b0 z m + b1 z m−1 + · · · + bm
=
n
n−1
z + a1 z
+ · · · + an
ǫ(z)
avec n > m, on souhaite obtenir la relation qui donne la valeur de la commande à appliquer à
l’instant k, en fonction des données aux instants présent et passés : uk = f ct(ui , ǫj ) avec i < k et
j 6 k.
Procédure :
1 Multiplier le numérateur et le dénominateur de C(z) par z −n pour obtenir une fonction de
transfert discrète en puissances négatives de z, d’où
C(z) =
b0 z m−n + b1 z m−1−n + · · · + bm z −n
1 + a1 z −1 + · · · + an z −n
(32)
d’où
m−n
b0 z
+ b1 z m−1−n + · · · + bm z −n ǫ(z) =
1 + a1 z −1 + · · · + an z −n U (z)
2 Obtenir la TZ inverse par l’utilisation du théorème du retard
[b0 ǫk+m−n + b1 ǫk+m−1−n + · · · + bm ǫk−n ] =
[uk + a1 uk−1 + · · · + an uk−n ]
3 En déduire uk
uk = [b0 ǫk+m−n + b1 ǫk+m−1−n + · · · + bm ǫk−n ]
− [a1 uk−1 + · · · + an uk−n ]
.
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