P14M - Examen TP (modélisation et analyse de données)

P14M - Examen TP (modélisation et analyse de données)
10 janvier 2007, Christian Jost et Florence Rémy
Nom :
Prénom :
Vous avez 90 minutes pour répondre aux questions. Tous les documents sont autorisés. α = 0.05
pour les questions statistiques.
1. (traitement signal, 7 points) Télécharger le fichier sig4.txt et visualiser le signal à l’aide de la
fonction signal.R. Le signal sig4 a été échantillonné à une fréquence de 1000Hz. Les unités sont
arbitraires.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Quelle est la durée (en secondes) de cette fraction d’enregistrement ?
Créer un axe des temps approprié pour ce signal.
Afficher le signal en fonction du temps sur une tranche de 0.1 seconde.
Quelle est à l’œil la période principale du signal (en ms) ?
Afin de déterminer précisément cette période :
i. Afficher la fonction d’autocorrélation du signal pour un décalage maximum de 200 lags.
ii. Déterminer le temps correspondant au 1er maximum détecté sur la fonction d’autocorrélation.
Afficher le spectre de puissance du signal (méthode de Welch) à l’aide de la fonction powspec.R
(f) Retrouver la fréquence (en Hz) correspondant à la périodicité trouvée en (1d) et (1e).
(g) Quelles sont les autres fréquences caractéristiques du signal ? Quelle est la puissance relative
(en dB) de chacune de ces fréquences ?
(h) Ce signal a été échantillonné à FS = 1000Hz. Quelle est la fréquence maximale du signal
théoriquement détectable avec cet échantillonnage ?
(i) En utilisant les résultats des questions (1f) et (1g), proposer une fréquence d’échantillonnage
mieux adaptée au signal.
2. (statistique, 6 points) Le fichiers donnees007.rda contient deux jeux de données : thigmo1 est
un data.frame contenant les durées (s) de suivi de bordure droite d’une arène des fourmis Messor
sanctus, et thigmo2 un data.frame du même type de mesure mais en fonction de la courbure
concave de la bordure (“zero”=droite, “six”=disque de diamètre 6cm et “quatre”=disque de
diamètre 4cm). Pour toutes les questions suivantes notez aussi les commandes R utilisées.
(a) Testez si la courbure à un effet sur la durée de suivi de bord et résumez le résultat par une
phrase telle qu’on devrait le rapporter dans un article scientifique (notez les commandes
R).
(b) La fonction survivalCurve permet de tracer la courbe de survie des durées et d’ajuster une
droite à ces données en échelle log-linéaire (commande x=survivalCurve(duree,fitLine=T)).
Estimez le taux de quitter le bord droit (thigmo1). Quelle est l’unité de cette valeur ? Estimez l’erreur standard par un bootstrap (rappel : la commande x$coefficients[[n]],
n=1,2, permet d’extraire les coéfficients de la régression linéaire).
3. (modélisation, 7 points) Dans le modèle de croissance logistique,
dN
N
= rN 1 −
dt
K
le freinage de la croissance par la densité N dépend linéairement de cette densité. Certaines
expériences indiquent que ce freinage se manifeste plus tardivement quand N approche K. Un
modèle prenant cela en compte est la croissance θ-logistique,
θ !
dN
N
= rN 1 −
dt
K
Prenez les valeurs K = 100 et r = 0.5.
(a) Tracez dN
dt en fonction de N pour des valeurs de θ = 1 (et ensuite pour 0.2 et 2). Notez les
commandes R. Quels sont les équilibres ? Sont-ils stables ou instables ?
(b) Calculez pour N0 = 5 et θ = 1.0 une solution (utilisez lsoda ou la méthode l’Euler) pour le
temps t ∈ (0, 20) et tracez cette solution N (t) en fonction du temps. Notez les commandes
R.
(c) Ajoutez à ce graphique les solutions pour θ = 0.2 et 2.0, commentez par rapport aux
expériences mentionnées ci-dessus.
4. (bonus, 2 points) Reprenez la question 2a et testez entre lesquelles des courbures il y a une
différence significative (en conservant un α global de 0.05).
2