Cinématique des fluides

Cinématique des fluides
Visualisation des écoulements
Connaître
Le point de vue de Lagrange et le point de vue d’Euler
La définition des lignes de courant et des trajectoires
La propriété d’un écoulement stationnaire pour les lignes de courant et trajectoire
La définition d’un tube de courant
Appliquer
Savoir établir l’équation différentielle des trajectoires pour un champ de vitesse donné
Savoir établir l’équation différentielle des lignes de courant pour un champ de vitesse donné
Technique
Approfondir
Intégrer l’équation différentielle d’une trajectoire en coordonnées cartésiennes ou polaires
Intégrer l’équation différentielle d’une ligne de courant en coordonnées cartésiennes ou polaires
Avoir quelques idées sur les techniques expérimentales de visualisation des écoulements
Définir des lignes d’émission
Dérivée particulaire
Connaître
La notion de dérivée temporelle en représentation de Lagrange et en représentation d’Euler
La formule de la dérivée particulaire d’un champ vectoriel ou scalaire quelconque
L’interprétation des termes de la dérivée particulaire
L’expression de l’accélération dans la représentation d’Euler
(
)
Technique
Calculer v ⋅ grad A pour un vecteur quelconque dans la base cartésienne ou polaire.
Appliquer
Savoir calculer l’accélération d’un champ de vitesse donné, dans la représentation de Lagrange et la représentation d’Euler
Raisonner
Démonstration de la formule de la dérivée particulaire
Exemples de champs de vitesse simples
()
L’interprétation de div ( v ) comme lié à la variation relative du volume d’une particule de
L’interprétation de rot v comme vecteur rotation d’une particule de fluide
Connaître
fluide
La définition d’un écoulement irrotationnel
L’existence d’un potentiel des vitesses pour un écoulement irrotationnel
L’existence d’une équation de Laplace pour un écoulement irrotationnel et incompressible
Technique
Trouver une fonction dont on connaît les dérivées partielles (en coordonnées cartésiennes ou
polaires)
Appliquer
Savoir déterminer le champ de vitesse irrotationnel dérivant d’un potentiel des vitesses donné
Savoir déterminer le potentiel des vitesses d’un champ de vitesse irrotationnel donné
Approfondir
Propriétés simples de l’équation de Laplace
Transport de la masse
Équation de conservation de la masse
La définition d’un débit de masse (ou de volume) comme flux
L’expression du débit de masse (ou de volume) dans le cas d’un écoulement unidimensionnel et incompressible
L’expression d’un vecteur densité de courant dans le cas d’un transport convectif
Connaître
L’équation de continuité de la masse
L’expression de la masse de fluide contenu dans une surface de contrôle fermée et
fixe ainsi que sa variation temporelle
Appliquer
Écrire une équation locale si l’on cherche un champ, écrire une équation intégrale si
l’on cherche un débit
Ne jamais calculer un débit à partir d’une relation locale.
Raisonner
Démontrer l’équation de continuité de la masse
Conséquences
Connaître
Technique
La condition mathématique d’incompressibilité d’un écoulement div v = 0
()
La condition physique pratique d’incompressibilité d’un écoulement v << c
Les propriétés d’un écoulement stationnaire ou incompressible liées à la conservation
du débit de masse
Connaître l’expression de div A dans la base cartésienne
( )
Appliquer
Savoir traduire l’hypothèse d’incompressibilité d’un écoulement unidimensionnel
(soit en détaillant la relation div v = 0 , soit en écrivant le débit de masse D = µSv)
Raisonner
Démontrer la condition mathématique d’incompressibilité div v = 0
()
()
Interactions dans les fluides
Généralités
Connaître
La différence entre forces et densités (par unité de volume ou unité de surface) de
force, en particulier par leur dimension
La définition d’une contrainte et ses composantes (cisaillement, pression)
Quelques densité volumique de force usuelles (gravité, inertie)
Technique
Savoir exprimer l’accélération d’entraînement et de Coriolis.
Rappel de statique des fluides
La définition de la résultante des forces de pression exercées sur une surface
Le résultat p
n
M
dS
=
0
Σ
(
)
∫∫ 0
Σ
Connaître
Technique
Appliquer
La définition du moment des forces de pression exercées sur une surface
Le théorème d’Archimède
La « densité volumique équivalente » des forces de pression
La relation locale d’équilibre d’un fluide, dans un référentiel galiléen ou non, dans le
cas d’une force quelconque et dans le cas particulier de la pesanteur
La loi de l’hydrostatique
Calculer une intégrale multiple
Intégrer une équation différentielle linéaire à coefficients constants
Savoir calculer la résultante des forces de pression exercées sur une surface, le champ
de pression étant connu (souvent à l’aide de la loi de l’hydrostatique)
Savoir calculer le moment des forces de pression exercées sur une surface, le champ
de pression étant connu (souvent à l’aide de la loi de l’hydrostatique)
Projeter l’équation locale d’équilibre dans le cas d’un champ de pesanteur uniforme
Trouver le champ de pression dans un fluide dans le cas d’un champ de pesanteur
uniforme
Raisonner
Trouver a priori la direction de la résultante des forces de pression exercées sur une
surface, le champ de pression étant connu (souvent à l’aide de la loi de
l’hydrostatique)
Déterminer le point d’application de la résultante des forces de pression exercées sur
une surface, le champ de pression étant connu (souvent à l’aide de la loi de
l’hydrostatique)
Trouver la relation p(z) pour une atmosphère isotherme
Transport de quantité de mouvement
Connaître
Approfondir
L’interprétation qualitative de la force de pression comme liée au transport convectif
de quantité de mouvement
L’interprétation qualitative de la force de viscosité comme liée au transport diffusif de
quantité de mouvement
Interprétation des forces de pression et de viscosité par le modèle cinétique du gaz
Approche des forces de viscosité
Connaître
Les propriétés qualitatives de la force de viscosité s’exerçant sur un élément de surface
L’expression de la force de viscosité s’exerçant sur un élément de surface, pour un
fluide newtonien dans le cas de Poiseuille
L’ordre de grandeur de la viscosité dynamique pour les fluides usuels
La « densité volumique équivalente » des forces de viscosité pour un fluide newtonien dans la géométrie de Poiseuille
La signification des différents termes de l’équation de Navier-Stockes
La définition de la viscosité cinématique
La définition du nombre de Reynolds
L’interprétation du nombre de Reynolds comme rapport de deux termes de l’équation
de Navier-Stokes
Les propriétés qualitatives des écoulements à petits ou grands nombres de Reynolds
Technique
Appliquer
Raisonner
Établir une équation adimensionnée en utilisant des grandeurs caractéristiques
Savoir étudier un écoulement de Poiseuille (champ de vitesse, perte de charge)
Savoir évaluer un nombre de Reynolds pour un écoulement donné
Démontrer l’expression de la « densité volumique équivalente » des forces de viscosité pour un fluide newtonien dans la géométrie de Poiseuille
Adapter la démonstration précédente dans la géométrie de Couette.
Écoulements laminaires et écoulement turbulents
Les différents régimes d’écoulement en fonction du nombre de Reynolds
Connaître
La loi de Stokes
Approfondir
Analyse de la courbe de la traînée en fonction du nombre de Reynolds
Modèle de l’écoulement parfait
Connaître
L’existence et l’origine de la couche limite
La condition à la limite pour la vitesse tangentielle d’un écoulement sur un obstacle
La définition du modèle de l’écoulement parfait
Utilisation du modèle de l’écoulement parfait
La condition à la limite pour la vitesse d’un écoulement parfait sur un obstacle
Approfondir
Établir l’expression de l’ordre de grandeur de la largeur de la couche limite
Équations dynamiques locales dans un écoulement parfait
Équation d’Euler
L’équation d’Euler dans un référentiel galiléen ou non
Connaître
Les conséquences simples de l’équation d’Euler (loi de la statique dans un plan perpendiculaire à l’écoulement, pression dans un jet libre,
Appliquer
Écrire l’équation d’Euler et la conservation du bilan dans l’étude d’un écoulement
stationnaire et/ou incompressible
Raisonner
Démontrer la « deuxième forme » de l’équation d’Euler
Théorème de Bernoulli
Connaître
L’orthographe correcte de Bernoulli
L’énoncé du théorème de Bernoulli « simple » dans le cas d’un écoulement incompressible dans le champ de pesanteur uniforme
Les hypothèses du théorème de Bernoulli
La démonstration du théorème de Bernoulli
Appliquer
Écrire théorème de Bernoulli et la conservation du bilan dans l’étude d’un écoulement
stationnaire et/ou incompressible
Démontrer le théorème de Torricelli
Démontrer l’effet de la pesanteur sur un jet libre rapide
Étudier un débitmètre à effet Venturi
Étudier une sonde de Pitot
Raisonner
Adapter la démonstration du théorème de Bernoulli à un écoulement non stationnaire
Adapter le théorème de Bernoulli à un écoulement irrotationnel
Bilans dans les écoulements
Bilans de quantité de mouvement
Connaître
Appliquer
La différence majeure entre surface fermée et système fermé
L’écriture d’un bilan (de quantité de mouvement, de moment cinétique, d’énergie)
pour un système ouvert en passant par un système fermé clairement défini
L’écriture d’un bilan (de quantité de mouvement, de moment cinétique, d’énergie)
dans le cas d’un écoulement stationnaire
Le calcul de la résultante des forces de pression sur une surface de contrôle fermée
Savoir calculer la force exercée par un écoulement sur un morceau de canalisation
Savoir calculer la force exercée par un jet libre sur une plaque
Savoir calculer une force de poussée
Bilans de moment cinétique
Connaître
Le théorème du moment cinétique pour un système fermé tournant autour d’un axe
fixe
Appliquer
Savoir étudier un système analogue au tourniquet hydraulique
Bilans d’énergie
Connaître
Appliquer
Approfondir
Le théorème de l’énergie cinétique pour un système fermé ou ouvert
Le premier principe de la thermodynamique pour un système fermé ou ouvert
Savoir appliquer le théorème de l’énergie cinétique pour étudier une hélice (hélice
propulsive, éolienne, turbine)
Savoir appliquer le premier principe de la thermodynamique à un système ouvert
(tuyère, détente de Joule-Thomson)
Étudier une onde de choc