Mécanique des fluides résumé

Résumé de cours
Chapitre I
Mécanique des fluides
résumé
I-
Efforts exercés sur une particule fluide
Un domaine matériel S limité par une surface ∂S est en équilibre ou en mouvement sous
l'action d'efforts extérieurs que l'on peut décomposer en deux types :
→
les actions à distance (gravité, inertie...) définies par la densité massique f ;
→
les actions de contact s'exerçant sur ∂S caractérisées par la densité surfacique t en un
point M :
→
→
→
→
t (M, en) = dF/dA. Où en est un vecteur normal à ∂S.
→
→
→
t se décompose en contrainte normale σn sur en et en contrainte tangentielle σt sur et :
→
→
→
t = σn. en. + σt et
l’état de contrainte au point M est décrit par le tenseur des contraintes
→
→
t (M, en) =
1.
τ(M). e .
→
n
soit : tj = Σi
τ
τ(M) tel que :
ij.ni
Pression
→
Une surface dA plongée dans un fluide subit une force de pression dF résultant des
→
collisions moléculaires. La pression p = ||dF|| / dA, est un scalaire défini en chaque point du
fluide, et indépendant de l’orientation de la surface.
→
Si en est le vecteur unitaire de la normale à dA la force de pression s’exprime par :
→
→
dF = - p. en.dA,
L’unité normalisée de pression est le Pascal: 1 Pa = 1 N.m-2.
Pa
bar
mmCE
mmH
atm
Pascal
1
10-5
1,02.10-1
7,50.10-s
9,87.10-6
bar
105
1
1,02.104
7,50.102
9,87.10-1
mm C.E.
9,81
9,81.10-5
1
7,35.10-2
9,68.10-5
mmHg = torr
1,33.102
1,33.1fï3
13,6
1
1,32.10-3
Atmosphère
1,013.105
1,013
1,033.104
7,6.102
1
Conversion des unités de pression.
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Chapitre I
2.
Viscosité
→
La contrainte tangentielle σt va caractériser la force de cisaillement dF s’exerçant sur la
→
surface de séparation des couches fluides : σt = ||dF|| / dA.
y
Le cisaillement de vitesse sera défini par le rapport entre
la variation de vitesse entre deux couches et la distance entre
ces couches ; c’est à dire par le gradient transversal de vitesse.
→
→
u+du
→
→
Si u = u. ex, le gradient de vitesse sera du/dy pour un
cisaillement dans le plan Oxy (figure ci-contre).
u
dA
x
dF
dF
les fluides newtoniens obéissent à la loi de comportement
dite Loi de Newton qui s'écrit dans la situation représentée sur
la figure :
où µ est le coefficient de viscosité dynamique.
σt = µ ∂u/∂y
Ce coefficient dépend de la température et dans une moindre mesure de la pression. On
introduit aussi la viscosité cinématique: ν = µ/ρ.
- La viscosité dynamique µ a comme dimension: [µ] = kg.m-1.s-1 et l’unité S.I. est le
poiseuille (Pl) ou Pa.s. On rencontre aussi la Poise : 1 Po = 0,1 Pl.
- la viscosité cinématique ν = µ/ρ a comme dimension : [ν] = m2.s-1 et l’unité S.I.. est le
myriaStokes (maS t).
Exemples: à 200C et 1 atm:
νeau = 1,008.10-6 m2.s-1
νair sec = 1,51.10-5 m2.s1
µeau = 1,006.10-3 Pl
µair sec = 1,82.10-5 Pi.
La puissance volumique dissipée par les forces de viscosité s'écrit :
P/dV = dP/(dA.dy) = σ .du/dy = µ (du/dy)
d
II-
2
t
statique des fluides
L’équation fondamentale de la statique des fluides est :
→
→
→
grad p - ρ. f = 0.
Où f est est une force de volume par unité de masse.
Si les forces de volume dérivent d’une énergie potentielle ep:
→
→
→
→
f = -grad ep d’où : ρ.grad ep + grad p = 0.
→
→
En hydrostatique : f = g et ρ est uniforme. L’équation de la statique devient: :
p + ρ.g.z = cste = pg
La pression pg est appelée pression motrice. C’est une constante dans un fluide
homogène en équilibre hydrostatique.
Cohard 02
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Chapitre I
Si la surface séparant deux fluides non miscibles n'est pas plane, il existe une différence
de pression entre la face concave (pi) et la face convexe (pe) de l'interface donnée par la loi de
Laplace :
pi - pe = χ (1/R1 + 1/R2). Où R1 et R2 sont les rayons de courbure principaux
Le coefficient de tension superficielle ou interfaciale γ dépend de la nature des fluides en
contact. Valeurs de γ pour quelques liquides en contact avec l’air à 20° :
eau pure : γ =73 mN/m
liquides organiques : γ ≈ 20 - 30 mN/m
mercure: γ = 480 mN/m.
1.
Calcul des forces de pression sur une surface immergées
z
1.1. Efforts sur une surface plane immergée
r
r
r
F = dF = − ρ.g. z.dA.en
∫
∫
A
A
dA
O
A
x
M
Si on définit l’altitude du centre géométrique G de
la paroi par :
zG =
y
1
. z.dA
A A
∫
on obtient un résultat indépendant de l’orientation de la surface :
r
r
F = − ρ.g.zG . A.en
Le point d’application C de cette résultante est appelé centre de poussée. Sa position est
r
r
donnée par l’équation :
CM ∧ dF = 0
z
A
O
Az
x
1.2. Efforts sur une surface quelconque
y
∫
On définit la poussée dans une direction par la
somme des projections des forces élémentaires dans
cette direction :
rr
FZ = dF.eZ = − ρ.g. z.dAZ
A
A
rr
FX = dF .ex = − ρ.g. z.dAX
∫
∫
A
∫
∫
A
Ax
A
r r
où dAZ = dA cos(eZ , en ).
r r
où dAX = dA cos(e X , en ).
Les composantes verticale et horizontales sont calculées à partir de l’équilibre d’un
domaine fluide correctement défini (figure ci-dessus).
Poussée verticale : FZ = PD.et FZ passe par GD. centre de gravité du domaine D (A; Az)
poussée horizontale : La résultante FX des forces élémentaires projetées dans la direction
Ox est égale à la résultante FX’ des forces élémentaires sur la surface AX. Ces deux forces ont
la même ligne d’action qui passe par le centre de poussée de AX.
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Chapitre I
III-
Cinématique des fluides
1.
dérivée particulaire
La variation de la vitesse d’une particule fluide peut varier pour deux raisons (figures a, b):
ds = u.dt
u
t
t+dt
a)
ds = u.dt
u+du
N
M u
M
u+du
Ecoulement permanent non-uniforme :
accélération convective (convergent)
u
t
t+dt
b)
u+du
u
N
u+du
Ecoulement uniforme non-permanent :
accélération locale (conduite cylindrique)
Si N est à une faible distance δs de M, l’accroissement total de vitesse δu de la particule
s'écrit :
δu = ∂u/∂t. δt + ∂u/∂s. δs.
A la limite δt → 0, δs → 0 : as = du/dt = ∂u/∂t + ∂u/∂s.ds/dt = ∂u/∂t + u.∂u/∂s
Plus généralement, le symbole d. /dt qui représente la dérivée matérielle ou particulaire
est égale à :
→ →
dB/dt = ∂B/∂t + Σi ui.∂Β/∂xi = ∂B/∂t + ( u . grad)B
→
→
→ → →
Pour l'accellération B = u on retrouve : as = d u /dt = ∂ u /∂t + ( u . grad). u
→
→ →
→ →
ou encore : as = ∂ u /∂t + grad ( u 2/2) + (rot u )^ u .
2.
Flux d’une grandeur extensive
Soit une grandeur extensive B transportée par le fluide dont la densité massique est :
b = dB/dm
Un élément de surface dA dont l’orientation est donnée par la direction du vecteur unitaire
→
en (sa normale) est plongé dans l’écoulement en un point M où la vitesse du fluide par rapport à
→
dA est ur.
A travers une surface finie A, le flux de la grandeur extensive B s’écrit :
r r
Φ B / A = b.ρ .ur .en .dA
∫
A
3.
Notion de débit
Le débit en masse ou débit-masse ([qm] = kg.s-1) à travers une surface A est la masse du
fluide qui a traversé A pendant l’unité de temps. Il s’exprime par:
rr
m& = q m = ρ .u .en .dA
Cohard 02
∫
A
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Chapitre I
→
→
Où u est la vitesse par rapport à A et en la normale unitaire de la surface A.
De même, le débit en volume ([qv] = m3. s-1) est le flux de volume à travers une surface A
et s'écrit :
rr
qv = u .en .dA
∫
A
Dans une section droite d’un tube de courant, on définit la vitesse de débit ou vitesse
débitante U par:
U=
(∫ ur.er .dA)/ A
A
n
Pour un écoulement permanent, le débit masse se conserve le long d'un tube de courant.
4.
Théorème de transport
Considérons un domaine de contrôle D limité par la surface fermée ∂D coïncidant à
l’instant t avec le système matériel S. En un point de ∂D, la normale extérieure a pour vecteur
→
unitaire e n. Soit b(M, t) la densité massique de la grandeur B transportée par le fluide de
→
vitesse u .
Le théorème de transport pour un domaine de contrôle fixe, s’écrit :
d
b.ρ .dV =
S
dt
∫
∂ (b.ρ )
.dV +
D
∂t
∫
∫
∂D
rr
b.ρ .u .en .dA
Avec le théorème de la divergence il vient :
r 
d
 ∂ (b.ρ )
(
+
ρ
div
b
ρ
u
=
b
dV
.
.
.
.
.)dV

∫
∫
S
D
dt
 ∂t

5.
Equation de continuité
la conservation de la masse du fluide s'exprime localement :
Cette expression peut encore s’écrire:
→ → →
∂ρ/∂t + ρ.div u + u . gradρ = 0.
r
∂ρ
+ div(ρ .u.) = 0
∂t
Pour un fluide isovolume div u =0, on obtient:
→ →
∂ρ/∂t + u . gradρ = 0. ou encore dp/dt = 0.
→
Pour un de fluide à masse volumique constante ρ = cste on obtient : div u = 0 .
Cohard 02
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Chapitre I
6.
potentiel de la vitesse
→
Le modèle de champ de vitesse irrotationnel (rot u = 0) décrit très fidèlement les
écoulements lorsque l’effet de la viscosité est négligeable. Les champs irrotationnels possèdent
un potentiel scalaire Φ(x, y, z, t)
→ →
u = gradΦ (conventionnellement, pas de signe en mécanique des fluides)
→
L'équation de conservation div u = 0, peut alors s'écrire : ∆Φ = 0 (équation de Laplace).
→
De même pour les écoulements isovolume la vitesse dérive d'un potentiel vecteur Ψ tel
→ → →
que :
u = rot Ψ
→
→
Dans le plan Ψ = Ψ(x,y) ez où Ψ(x,y) est la fonction de courant
Les lignes Ψ = cste donne l'équation des lignes de courants.
7.
étude dans le plan complexe
Pour les écoulements plan, Les points M(x, y) du plan peuvent être repérés par le
complexe z = x + iy, Le vecteur vitesse en M représenté par le complexe V = u + iv , et le
potentiel complexe f(z) = Φ + iΨ
Pour que la fonction f(z) soit holomorphe (dérivable par rapport à z), il faut que:
∂Ψ/∂x = - ∂Φ/∂y et ∂Ψ/∂y = ∂Φ/∂x.
Alors : df/dz = ∂Φ/∂x - i.∂Φ/∂y = u – iv = /V (conjugué de V).
Toute fonction holomorphe permet de définir un champ de vitesse susceptible d’être celui
d’un écoulement irrotationnel à vitesse conservative. Il est souvent commode d’utiliser la forme
polaire : z = r.exp(iθ)
Exemples :
f(z) = U0.z définit un écoulement uniforme de vitesse U0
f(z) = ln z définit une source de débit q (m2s-1, débit dans le plan)
f(z) = -(iΓ/2π).ln z définit un vortex ou tourbillon de circulation Γ (irrotationnel sauf au point
singulier à l’origine : concentration infinie de rotationnel)
f(z) = U0.(z + a2/z) définit un courant de vitesse U0 dévié par un profil circulaire de rayon a
source
8.
tourbillon
Profil circulaire
Transformation conforme
Soit La fonction z(Z), définie, continue, bijective, holomorphe et à dérivée non nulle dans le
domaine considéré qui transforme le profil p(z) en P(Z) = p(z(Z)). Si l'écoulement autour de p
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Chapitre I
est défini par le potentiel f(z), alors par transformation conforme, l'écoulement autour de P sera
défini par le potentiel F(Z) = f(z(Z)).
Exemple : transformation de Joukovski
IV-
Dynamique des fluides
1.
Théorème des quantités de mouvement
Considérons un système matériel S coïncidant à l’instant t avec le domaine de contrôle D
limité par la surface fermée ∂D. En un point de ∂D, la normale extérieure a pour vecteur unitaire
→
en. La densité massique de la quantité de mouvement transportée par le fluide est b(M, t) = u et
→
→
la densité massique de moment cinétique s’écrit : b(M, t) = r ^ u.
Le torseur cinétique du domaine S est associé au torseur des forces appliquées à S et au
domaine coïncidant D, par la relation fondamentale de la dynamique:
d/dt.∫S ρ.u.dV = [ f ]D + [ t ]∂D
→
→
→
d/dt .∫S ρ. r ^ u.dV = [ r ^ f ]D + [ r ^ t ]∂D où [ f ]D et [ t ]∂D sont les forces de
volume et de contact appliquées au volume de contrôle.
→
→
→
→
→
→
→
→
Ces deux relations constituent les théorèmes globaux d’Euler.
le premier théorème ou théorème des quantités de mouvement pour un écoulement
permanent sur un domaine de contrôle fixe D :
→
→
→
u2
∫∂D u.dqm = [ f ]D + [ t ]∂D
Le théorème des quantités de mouvement appliqué à un tube de
→
courant en écoulement permanent où u est uniforme dans chaque section
(figure ci-contre). Donne :
→
→
→
→
A2
→
q.( u2 - u1) = P + Π + R.
Les forces appliquées au domaine D sont :
→
les forces volumiques P ;
→
les forces de pression sur les parois et les bases du tube, soit Π ;
les forces de parois exercées par les surfaces solides en contact
u1
→
avec le tube de courant, soit R.
2.
Equation d’Euler
L’équation fondamentale de la dynamique des fluides appliquées à des fluides nonvisqueux donne l’équation d’Euler :
→
→
→ → →
→
→
ρ d u /dt = ρ.{∂u/∂t + (u. grad) u} = ρ. f - gradp.
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Chapitre I
→
→
Dans le cas où les forces volumiques sont dues à la pesanteur : f = - grad (g.z) et si ρ
est uniforme :
→
→
ρ du/dt + grad (p + ρ.g.z) = 0
Les équations dynamiques intrinsèques pour l’écoulement permanent de fluide parfait
incompressible dans le champ de pesanteur, s'écrivent avec pg = p + ρ.g.z :
u. ∂u/∂s + g. ∂z/∂s + 1/ρ.∂pg/∂s = 0
u2/R + g. ∂z/∂r + 1/ρ.∂pg/∂r = 0
3.
(équation tangentielle)
(équation normale).
Relation de Bernoulli
Pour un écoulement permanent de fluide parfait dans le champ de pesanteur sur une ligne
de courant, on a :
u2/2 + ∫ dp/ρ + g.z = cste.
Avec ρ = cste on obtient la relation de Bernoulli :
ρ.u2/2 + p + ρ.g.z = cste
→
Si de plus l'écoulement est irrotationnel (rot u ) = 0, la constante est la même dans tout
l'écoulement.
Pour les écoulement irrotationnel non permanent de fluide incompressible, La relation de
Bernoulli peut se généraliser :
ρ.u2/2 + pg + ρ.∂Φ/∂t = cste
x
où Φ(x,t) = ∫0 v.dx est le potentiel de vitesse
4.
Charge d'un écoulement
La charge h dans une section de conduite ou de tube de courant est l'énergie mécanique
moyenne du fluide par unité de poids :
h = pg/ρ.g) + α.U2/(2g),
où le coefficient d'énergie cinétique a tient compte du profil de vitesse dans la section; en
régime laminaire α = 2, en régime turbulent α ≈ 1.
Par définition, la perte de charge entre deux sections de conduite, correspondant à
l'énergie dissipée par les frottements, est égale à la différence de charge entre les deux
sections :
∆hf 12 = h1 - h2
Pour les pertes de charge régulière, on définit le coefficient de perte de charge unitaire
ou linéaire Λ par :
Λ = (∆h/L) . D/(U2/(2.g.)),
où L est la longueur et D le diamètre de la conduite. Ce coefficient est en général fonction
du nombre de Reynolds Re = U.D/ν et de la rugosité relative des parois ε/D. Pour les grands
nombres de Reynolds, Λne dépend que de ε/D.
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Chapitre I
La perte de charge d’une singularité, est caractérisée par le coefficient de perte de
charge singulière ξ tel que:
∆ h = ξ.U2/(2.g).
où U est la vitesse de débit dans une section de référence.
Ce coefficient adimensionnel ξ est fonction de la géométrie de la singularité et du nombre
de Reynolds.
La présence sur une ligne de courant d'une machine produit un transfert d'énergie
mécanique. Si Y est l'énergie massique transférée, la puissance mécanique transférée est :
P = Y.qm où qm est le débit masse.
Ce transfert peut être caractérisé par un gain positif ou négatif de charge entre les
sections d'entrée et de sortie de la machine :
h1 - h2 = H; d'ou : P = g.qm.H
5.
Nombre de Reynolds
Le nombre de Reynolds Re est construit à partir d'échelle de longueur L et de vitesse
caractéristique de l'écoulement. Il est proportionnel au rapport des forces d’inertie sur les forces
de viscosité. Re = L.U/ν.
C'est un indicateur du régime d'écoulement. Le nombre de Reynolds critique Rec = U.D/ν
correspondant à la transition laminaire-turbulent dans une conduite cylindrique circulaire a une
valeur de l'ordre de 2500.
6.
Equation de Navier-Stokes
L'équations de Navier-Stokes établie dans le champ de pesanteur pour les fluides
→
newtoniens incompressibles (div u=0) s'écrit :
→
→
→
→
→
→ →
ρ.du/dt = - grad (p + ρ.g.z) + µ.∆u = - grad (p + ρ.g.z) - µ.rot rot u.
Les conditions de contact à la paroi pour un fluide visqueux imposent que :
La vitesse normale à la paroi est nulle : condition d'imperméabilité.
La vitesse tangentielle est nulle : condition d'adhérence.
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