PCSI 1 EXERCICES : Intégration Page 1 Exercice 1 Soit a, b et c

PCSI 1
EXERCICES : Intégration
Page 1
n
P
k
ln 1 + 2
4. un =
n
k=0
Exercice 1
Soit a, b et c trois réels distincts
Indication
1. Montrer que les formes linéaires définies sur IR2 [X] par
Exercice 4
φa : P 7→ P (a), φb : P 7→ P (b), φc : P 7→ P (c)
Pour n ∈ IN, on pose
forment une famille libre.
Indication
n
X
2kπ
2kπ
un =
sin
n2
n
Solution
∀P ∈ IR2 [X] ,
et vn =
k=0
2. En déduire qu’il existe des scalaires α , β et γ vérifiant
Z
n
X
sin
k=0
2kπ
n2
sin
2kπ
n
Déterminer lim u et en déduire lim v .
Indication
1
P (t) dt = α P (a) + β P (b) + γ P (c)
0
Exercice 5
Soit λ un nombre réel.
Indication
1. Montrer que pour |λ| =
6 1, on peut définir
3. Calculer α , β et γ .
Indication
Z
2π
I(λ) =
ln λ2 − 2 λ cos x + 1 dx
0
Exercice 2
Soit P ∈ IR[X] tel que
R1
0
P 2 (t) et dt = 0. Montrer : P = 0.
Indication
Indication
2. Simplifier
Exercice 3
n−1
Y
x − exp
2ikπ
n
.
k=0
Déterminer les limites des quantités suivantes
3
n
1 P
k
1. un =
n k=0 n
Indication
3. Calculer I(λ) en utilisant une limite de sommes de Riemann.
Indication
Indication
2. un =
n
1 P
k 2 sin
3
n k=0
kπ
n
Exercice 6
Pour tout n ∈ IN , on définit la fonction fn par :
Indication
v
uY
u n
k
n
t
3. un =
1+
n
fn (x) = n2 x (1 − x)n .
1. Pour x donné dans
k=1
Indication
Lycée Privé Sainte Geneviève (JMC)
lim fn (x). Déterminer f .
[0, 1] , on pose f (x) = n→∞
Indication
1
21 avril 2012
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1
Z
Z
n→∞
0
1
Indication
fn (x) dx .
f (x) dx et lim
2. Comparer
Page 2
0
Solution
Exercice 8
Indication
En vous inspirant d’un dessin, déterminer
Z π/2
lim
sinn x dx.
n→∞
Exercice 7
0
Solution
Indication
Soit a, b et c trois réels distincts.
Exercice 9
Soit f ∈ C([0, π ], IR) telle que
Z π
Z
f (t) cos t dt =
1. Etant donné h un réel non nul et k un réel quelconque, montrer que
Z
h
0
(x + h)(x − h)(x − k) dx
π
f (t) sin t dt = 0
0
−h
1. Montrer qu’il existe une valeur α ∈ ]0, π [ tel que f (α) = 0.
Indication
est nul si et seulement si k = 0.
Indication
2. Établir que f s’annule une seconde fois sur
Solution
Z
b
(x − a)(x − b)(x − c) dx = 0 ⇐⇒ c =
2. En déduire :
a
Solution
]0, π[ .
Indication
a+b
2
Solution
Exercice 10
Indication
Solution
Etant donné λ un réel, on pose (quand c’est défini)
Z 2π
I(λ) =
ln λ2 − 2 λ cos x + 1 dx
3. Établir
0
Z
b
∀P ∈ IR3 [X ],
a
b−a
a+b
P (t) dt =
P (a) + P (b) + 4 P
6
2
Indication
1. Comparer I(λ) et I(−λ).
Indication
Indication
Solution
2. Exprimer I( λ1 ) et I(λ2 ) en fonction de I(λ).
∗
4. Déterminer le rang de la famille de formes linéaires de (IR3 [X ])
Indication
Solution
3. Démontrer que I(λ) tend vers 0 quand λ tend vers 0 .
Z
P 7→ P (a), P 7→ P (b), P 7→ P (c), P 7→
b
!
Indication
P (t) dt
a
4. En déduire la valeur de I(λ) .
Indication
Lycée Privé Sainte Geneviève (JMC)
Solution
2
Solution
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Page 3
Exercice 11
Exercice 14
Pour démontrer l’irrationalité de π , on raisonne par l’absurde en supposant qu’il
existe (a, b) ∈ IN×IN∗ vérifiant : π = a/b. Et pour n ∈ IN on pose :
Etant donné f ∈ C(IR) et n un entier naturel on définit Fn par
Z x
n
Fn (x) =
(x − t) f (t) dt
Z
π
In =
sin x.Pn (x) dx avec
Pn (X) =
0
0
1
(b X − a)n X n
n!
1. Montrer que Fn est dérivable et expliciter sa dérivée.
Indication
1. Montrer que le polynôme Pn , ainsi que tous ses dérivés, prend des valeurs
entières en 0 et a/b.
2. En déduire que Fn est n + 1 fois dérivable et donner la valeur de ses n
premières dérivée en 0 et sa dérivée d’ordre n + 1 .
Solution
2. Établir In ∈ Z et prouver que In est non nul.
3. Montrer lim In = 0 et aboutir à une contradiction.
n→∞
Exercice 15
Dans cet exercice on cherche à déterminer les fonctions f ∈ C(IR) telles que
Z x
∀x ∈ IR, f (x) +
(x − t) f (t) dt = 1
Exercice 12
Pour f ∈ C(IR) étudier la continuité et la dérivabilité des applications :
1. x 7→
R1
0
0
(x − t) f (t) dt
1. Montrer que f est dérivable, puis qu’elle est indéfiniment dérivable
Indication
Indication
2. x 7→
Rx
0
(x − t) f (t) dt
2. Déterminer toutes les fonctions vérifiant cette relation.
Indication
Indication
3. x 7→
R1
0
Solution
Exercice 16
f (x + t) cos t dt
Indication
Pour x ∈ IR∗ , on pose : f (x) =
Solution
Z
3x
x
cos t
dt
t
1. Étudier la parité de la fonction f .
Exercice 13
Indication
Soit a et b deux réels vérifiant a < b.
1. Étudier la continuité et la dérivabilité de u(x) =
cos(x t) dt .
ln(3) cos 3x 6 f (x) 6 ln(3) cos x
a
Indication
Solution
Z
2. Étudier la continuité et la dérivabilité de v(x) =
Solution
2. Établir qu’au voisinage de 0+ on a :
b
Z
et en déduire que f possède une limite en 0.
b
Indication
cos(x t2 ) dt.
Solution
3. Déterminer le développement limité à l’ordre 4 de f en 0 .
a
Indication
Lycée Privé Sainte Geneviève (JMC)
Solution
Indication
3
Solution
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2. En déduire, pour n > 2 , une expression de In en fonction de In−1 , puis les
valeurs de I2 et de I3 .
Exercice 17
Limite et développement limité à l’ordre 4 en 0 de
Indication
1+2x
Z
f (x) = x 7→
1+x
dt
ln t
3. Calculer directement I2 et I3 avec un changement de variable trigonométrique.
Indication
Solution
Indication
Exercice 18
Exercice 22
Pour x ∈ IR , calculer
Calculer
Z
sin2 x
arcsin
Z
√ t dt +
0
Solution
cos2 x
arccos
√ t dt
Z
Solution
1
x9
dx ,
1 + x10
−1
0
Solution
Indication
1
Z
x9
dx et
1 + x10
0
Z
1
2
1
dx.
x (1 + x10 )
Solution
Indication
Exercice 19
Z
Pour n et p entiers naturels, on pose In,p (x) =
Exercice 23
xn lnp x dx.
Primitives de polynômes en sin et cos .
Établir une relation entre In,p et In,p−1 et en déduire une méthode de calcul
de In,p en fonction de n et de p.
Solution
Indication
1. Calculer
Z
sin x dx,
Exercice 20
Z
Calculer
Z
x arctan
1
x+1
sin3 x dx,
Z
cos4 x dx.
Indication
2. Etant donné p et q deux entiers, comment calculer
Z
dt
.
(1 + t2 )n
1. En utilisant une intégration par parties de
Z
R
2p+1
sin
t2
dt, exprimer cette
(1 + t2 )n
quantité en fonction de In−1 .
Lycée Privé Sainte Geneviève (JMC)
sin4 x cos3 x dx,
dx.
Solution
Indication
Z
cos2 x dx
Indication
Exercice 21
Z
Soit In (t) =
Z
2
q
x cos x dx,
cosp x dx,
Z
cos
2p+1
Z
sinp x dx
q
x sin x dx,
Z
sin2p x cos2q x dx
Indication
Solution
4
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EXERCICES : Intégration
Exercice 24
et en déduire la valeur moyenne de cette fonction sur une période.
Indication
Primitives de fractions rationnelles en sh et ch .
1. Trouver une expression des primitives des fonctions
Page 5
1
1
et
.
sinh
cosh
Indication
Exercice 27
Calculer
Solution
Z
2. Soit f une fraction rationnelle en sh et ch . Quel changement de variable
permet de ramener le calcul des primitives de f au calcul des primitives
d’une fraction rationnelle ?
I(x) =
Indication
cos x
dx
sin x + cos x
Z
et
J(x) =
sin x
dx.
sin x + cos x
Indication
Exercice 25
Exercice 28
Primitives de fractions rationnelles en sin et cos
Z
Z
2
1. Calculer
tan x 1 + tan x dx et en déduire
tan3 x dx.
Calculer
Z
Indication
Z
2. Calculer
√
dx
·
1 − x2 (1 + x2 )
Commencer par un changement de variable trigonométrique permettant de supprimer le radical puis utiliser l’exercice 25.(4.)
Donner un sens à
Z 1
1
√
dx.
2
2
−1 1 − x (1 + x )
dx
en utilisant le changement de variable t = tan x/2 .
sin x
Z
dx
En déduire
.
cos x
Indication
Z
dx
avec le changement de variable t = cos x .
3. Calculer
sin3 x
Indication
Z
dx
4. Calculer
avec le changement de variable t = tan x .
cos4 x
Indication
et en déterminer la valeur.
Solution
Exercice 29
Soit a un réel strictement positif.
1. Résoudre par rapport à t l’équation x = a sh t .
2. Calculer
Z √
5. Soit f une fraction rationnelle en sin et cos . Quel changement de variable
permet de ramener le calcul des primitives de f au calcul des primitives
d’une fraction rationnelle ?
Indication
a2 + x2
dx.
x2
Exercice 30
Exercice 26
Calculer
Z
En utilisant la méthode vue en 25.(5.), calculer une primitive de
f : x 7→
Lycée Privé Sainte Geneviève (JMC)
Solution
1
.
2 + cos x
0
5
1
√
x ln x + 1 + x2
√
dx.
1 + x2
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Page 6
Exercice 31
Soit deux réels a et b vérifiant a < b.
Z bp
1. Calculer I =
(x − a)(b − x)
a
(mettre le trinôme (x − a)(b − x) sous forme canonique puis utiliser un
changement de variable trigonométrique permettant de supprimer le radical)
2. Pouvez vous retrouver ce résultat sans calcul ?
Exercice 32
Calculer
Z
0
π/2
dx
cos4 x + sin4 x
On pourra poser t = tan 2x .
Lycée Privé Sainte Geneviève (JMC)
6
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