Trigonometrische Funktionen und Hyperbelfunktionen 1

Universität Karlsruhe
Institut für Analysis
Priv.-Doz. Dr. G. Herzog
Dr. C. Kaiser
WS 2006/07
Trigonometrische Funktionen und Hyperbelfunktionen
1 Trigonometrische Funktionen
Funktion
Definitionsbereich
Wertebereich
Ableitung
sin(x)
R
[−1, 1]
cos(x)
cos(x)
R
[−1, 1]
− sin(x)
R \ { π2 + kπ : k ∈ Z}
R
R \ {kπ : k ∈ Z}
R
tan(x) =
cot(x) =
sin(x)
cos(x)
cos(x)
sin(x)
1 + tan2 (x) =
1
cos2 (x)
−1 − cot2 (x) = − sin21(x)
Einige Eigenschaften
a) sin2 (x) + cos2 (x) = 1,
b) sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y),
cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y),
c) sin(−x) = − sin(x),
cos(−x) = cos(x),
d) sin(x + 2π) = sin(x),
sin(x + π) = − sin(x),
sin(x + π2 ) = cos(x),
cos(x + 2π) = cos(x),
cos(x + π) = − cos(x),
cos(x + π2 ) = − sin(x),
e) sin(x) = 0 ⇐⇒ ∃ k ∈ Z : x = kπ,
cos(x) = 0 ⇐⇒ ∃ k ∈ Z : x = π2 + kπ.
Arcus-Funktionen
Funktion
Definitionsbereich
Wertebereich
arcsin(x)
[−1, 1]
[− π2 , π2 ]
arccos(x)
[−1, 1]
[0, π]
arctan(x)
R
(− π2 , π2 )
arccot(x)
R
(0, π)
Ableitung
√ 1
1−x2
1
− √1−x
2
(|x| < 1)
(|x| < 1)
1
1+x2
1
− 1+x
2
— bitte wenden —
2 Hyperbelfunktionen
Funktion
sinh(x) =
cosh(x) =
tanh(x) =
coth(x) =
Definitionsbereich
Wertebereich
Ableitung
R
R
cosh(x)
R
[1, ∞)
sinh(x)
R
(−1, 1)
1 − tanh2 (x) =
R \ {0}
R \ [−1, 1]
ex −e−x
2
ex +e−x
2
sinh(x)
cosh(x)
cosh(x)
sinh(x)
1 − coth2 (x) =
Einige Eigenschaften
a) cosh(x) + sinh(x) = ex ,
b) cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1,
c) sinh(x + y) = sinh(x) cosh(y) + cosh(x) sinh(y),
cosh(x + y) = cosh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y),
d) sinh(−x) = − sinh(x),
cosh(−x) = cosh(x),
Area-Funktionen
Funktion
Definitionsbereich
Wertebereich
Ableitung
Arsinh(x)
R
R
√ 1
x2 +1
Arcosh(x)
[1, ∞)
[0, ∞)
Artanh(x)
(−1, 1)
R
Arcoth(x)
R \ [−1, 1]
R \ {0}
√ 1
x2 −1
(x > 1)
1
1−x2
− x21−1
1
cosh2 (x)
− sinh12 (x)