Lösung von Blatt 4 Aufgabe 2

Lineare Algebra und Geometrie I – SS 2015
Akad. Rätin Dr. Cynthia Hog-Angeloni
Dr. Anton Malevich
Blatt 4
Lösungshinweise
Aufgabe 4.2 Polardarstellung
a) Schreiben Sie die folgende komplexe Zahlen in Polardarstellung:
√
1 + i 3,
2−i
1 + 8i
−
.
3 − i 5(1 + 3i)
b) Schreiben Sie 1 + i und 1 − i in Polardarstellung.
Zeigen Sie, dass (1 + i)n + (1 − i)n ∈ R für alle n ∈ N ist.
c# ) Es seien z = |z| (cos φ + i sin φ), w = |w| (cos ψ + i sin ψ), w 6= 0, zwei komplexe
Zahlen. Zeigen Sie, dass
z
|z|
=
cos(φ − ψ) + i sin(φ − ψ) .
w
|w|
Was bedeutet das geometrisch für z = 1?
7
(−2+2i)
√
in Polardarstellung dar.
d) Stellen Sie die Zahl z = (1+i
3)5
√
π
π
Lösung.
a) 1 + i 3 = 2 cos + i sin
:
3 √ 3
2−i
1 + 8i
1 1
2
7π
7π
−
= − i=
cos
+ i sin
.
3 − i 5(1 + 3i)
5 5
5
4
4
b) z = (1 + i)n + (1 − i)n . Es gilt
√ √ n
π
nπ
π
nπ (1 + i) = 2 cos + i sin
und (1 + i)n = 2 cos
+ i sin
4
4
4
4
und analog,
√ π
π 2 cos(− ) + i sin(− ) ,
4
4
√ n
nπ
nπ √ n nπ
nπ n
(1 − i) = 2 cos(− ) + i sin(− ) = 2 cos
− i sin
.
4
4
4
4
(1 − i) =
Nun berechnen wir
nπ
nπ √ n nπ
nπ (1 + i) + (1 − i) = 2 cos
+ i sin
+ 2 cos
− i sin
4
4
4
4
√ n
nπ
= 2 · 2 · cos
∈R
4
√
√
d) Es gilt (−2 + 2i) = 2 2 cos 3π
+ i sin 3π
, 1 + i 3 = 2 cos π3 + i sin π3 und
4
4
√
5π
5π
(−2 + 2i)7 = (2 2)7 cos 5π
(denn 7·3π
4 + i sin
4
4 − 2π = 4 ),
√ 5
5π
(1 + i 3) = 25 cos 5π
3 + i sin 3 . Nun
√
5π 5π (−2 + 2i)7
(2 2)7
5π 5π √
cos
−
−
=
+
i
sin
25
4
3
4
3
(1 + i 3)5
√
19π
19π
= 32 2 cos
+ i sin
.
12
12
n
n
√
n
S. 1/1