Euler-Winkel: Mehrdeutigkeit

Euler-Winkel: Mehrdeutigkeit
Die Darstellung einer Matrix A = (aij ) ∈ SO3 durch Euler-Winkel α, β, γ ist nicht eindeutig.
So gilt beispielsweise

 
 

cos(α) − sin(α) 0
1
0
0
cos(γ) − sin(γ) 0
A =  sin(α) cos(α) 0 · 0 cos(β) − sin(β) ·  sin(γ) cos(γ) 0
0
0
1
0 sin(β) cos(β)
0
0
1

 
 

cos(α + π) − sin(α + π) 0
1
0
0
cos(γ + π) − sin(γ + π) 0
=  sin(α + π) cos(α + π) 0 · 0 cos(−β) − sin(−β) ·  sin(γ + π) cos(γ + π) 0
0
0
1
0 sin(−β) cos(−β)
0
0
1
Beweis als Übung.
Diese Mehrdeutigkeit macht sich auch beim Bestimmen der Euler-Winkel über Koeffizientenvergleich bemerkbar. Macht man den Ansatz

 

a11 a12 a13
∗
∗
sin(α) sin(β)
!
∗
∗
− cos(α) sin(β) ,
A = a21 a22 a23  = 
a31 a32 a33
sin(γ) sin(β) cos(γ) sin(β)
cos(β)
so findet man zunächst
cos(β) = a33 .
Dadurch ist β nur bis auf sein Vorzeichen eindeutig bestimmt:
β = ± arccos(a33 )
Die Wahl des Vorzeichens von β bestimmt auch das Vorzeichen von sin(β). Beide Möglichkeiten
führen aber zum richtigen Ergebnis!
Die beiden anderen Winkel berechnet man nun wie folgt: Es ist
sin(γ) =
a31
,
sin(β)
cos(γ) =
a32
.
sin(β)
Dadurch ist γ (für gegebenes β) eindeutig bestimmt.
Ebenso ist
sin(α) =
a13
,
sin(β)
cos(α) =
wodurch α (für gegebenes β) eindeutig bestimmt ist.
a23
,
sin(β)