2.5. Fermi – Dirac Verteilung 2.6. Zustandsdichte
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2.5. Fermi – Dirac Verteilung 2.6. Zustandsdichte
2.5. Fermi – Dirac Verteilung Elektronen und Löcher sind Fermionen (Spin ½) => Pauli Prinzip: Nur ein Teilchen pro Zustand, Fermi-Dirac Verteilungsfunktion (Abb. 2.5.1) f (E) = 1 ⎛ E − EF ⎞ 1 + exp⎜ ⎟ ⎝ kT ⎠ Abbildung 2.5.1: Fermi-Dirac Verteilung Liegt die Fermienergie EF innerhalb eines Bandes (bei Metallen), so sind bei T=0K alle Zustände bis EF bestzt und alle energetisch höherliegenen Zustände leer. Die Fermiverteilung weicht nur innerhalb einer Breite von 2kT um EF nennenswert von 0 bzw. 1 ab. Daher sind nur Elektronen in der Nähe der Fermienergie sind für die Physik von Metallen relevant (Wärmekapazität, Stromtransport, Supraleitung, …). Bei Halbleitern liegt EF normalerweise in der Bandlücke. In diesem Fall kann man für E-EF > 3kT folgende Näherung machen: ⎛ E − EF ⎞ f ( E ) ≈ exp⎜ − ⎟ kT ⎠ ⎝ Boltzmannstatistik Warum? Zustände sind nur mit geringer Wahrscheinlichkeit bestzt, daher ist Pauli-Prinzip nicht mehr relevant. Analoge Näherung für Bose-Einstein Verteilung Î Verdünnte Systeme verlieren ihren Quantencharakter Für den aktiven Bereich eines Halbleiterlasers ist diese Näherung allerdings nicht brauchbar, da dort die Fermienergie nicht in der Bandlücke, sondern in den Bändern liegt. 2.6. Zustandsdichte Wir betrachten einen würfelförmigen Kasten aus Halbleitermaterial mit Kantenlänge L und Volumen V=L3, der mit Ladungsträgen gefüllt ist. Die Wellenfunktionen der Teilchen müssen periodische Randbedingungen erfüllen, d.h. Ψ (x+L, y, z) = Ψ (x, y, z) und analog für die anderen Koordinaten. Die Wellenfunktionen der Teilchen im Kasten sind Blochfunktionen: rr r r ψ n , kr (r ) = u n , kr (r ) exp(ik r ) (2.6.1) r r r r r Die u n , kr (r ) sind periodisch: u n ,kr (r + b ) = u n , kr ( r ) ( b ist Gittervektor des Kristalls) und erfüllen daher automatisch die periodischen Randbedingungen, da die Ausdehnung des Kristalls ein - 45 - ganzzahliges Vielfaches der Gitterkonstanten ist. Für die Komponenten des Wellenvektors ergeben sich folgende Bedingungen: kx = 2πm/L, m = 1, 2, 3, … und analog für ky und kz. Wie in Abb. 2.6.1 dargestellt liegen die Zustände im k-Raum daher äquidistant, jeder Zustand beansprucht ein Volumen von Vk = (2π/L)3. Abbildung 2.6.1: Verteilung der Zustände im reziproken Raum (k-Raum) Für die Dispersion der Blochzustände gilt die quadratische Beziehung: r r h 2k 2 (2.6.2) E (k ) = 2meff Zur Berechnung vieler Eigenschaften des Halbleiters (Stromdichte, Wärmekapazität, ..) muss man über alle vorhandenen Zustände integrieren. Man möchte aber kein mehrdimensionales Integral im k-Raum lösen, sondern nur über die Energie integrieren. Wir müssen daher die konstante Zustandsdichte im k-Raum (D(k) = (L/2π)3 ) in eine von der Energie abhängige Zustandsdichte D(E) umrechnen. Dazu betrachten wir eine Kugel im k-Raum mit Radius kmax. Jeder Zustand kann doppelt besetzt sein (Spin up und Spin down), die Anzahl der Zustände in der Kugel ist daher: N= ∑2 (2.6.3) k < k max Da die Zustände im k-Raum sehr dicht liegen, kann die Summe durch ein Integral ersetzt werden: 1 N= 2d 3k (2.6.4) ∫ Vk k < k max Mit den folgenden Beziehungen kann man substituieren: 2meff 1 dk 3 = 4πk 2 dk , k 2 = 2 E und dk = 2meff / h 2 E −1 / 2 h 2 - 46 - (2.6.5) und erhält ⎛ L ⎞ N = 2⎜ ⎟ ⎝ 2π ⎠ 3 ∫ 4π 2meff h E < E max 2 E 1 2meff dE = V ∫ D( E )dE 2 h2E E < E max (2.6.6) Für die Zustandsdiche ergibt sich daher: 3/ 2 1 ⎛ 2meff ⎞ ⎜ ⎟ D( E ) = E 2π 2 ⎜⎝ h 2 ⎟⎠ (2.6.7) Existieren erst ab einer bestimmten Energie Zustände (z.B. ab EC im Leitungsband), so gilt für die Zustandsdichte: 1 ⎛ 2meff ⎜ D( E ) = 2π 2 ⎜⎝ h 2 ⎞ ⎟⎟ ⎠ 3/ 2 E − EC (2.6.8) 2.7. Ladungsträgerdichten Nun können wir die Ladungsträgerdichen im Halbleiter berechnen: Für Elektronen gilt: ∞ n= ∫ D( E ) f ( E )dE (2.7.1) EC Einsetzen von D(E) und f(E) liefert: ∞ 1 ⎛ 2m ⎞ n = ∫ 2 ⎜ 2e ⎟ 2π ⎝ h ⎠ EC 3/ 2 E − Ec 1 ⎛ E − EF 1 + exp⎜ ⎝ kT Man bekommt als Lösung: n = N C n = NC ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ E − EC ⎞ F1/ 2 ⎜ F ⎟ π ⎝ kT ⎠ 2 ⎛ 2πme kT ⎞ ⎛ E − EC ⎞ F1/ 2 ⎜ F ⎟ ⎟ mit NC = 2⎜ 2 π ⎝ kT ⎠ ⎠ ⎝ h 2 (2.7.2) dE 3/ 2 (2.7.3) ∞ t 1/ 2 dt mit dem Fermi-Dirac Integral (siehe Abb. 2.7.1) F1/ 2 ( x) = ∫ 1 + exp(t − x) 0 - 47 - (2.7.4) Abbildung 2.7.1: Fermi-Dirac Integral aus Funktion von ηF Für x < -3 kann man folgende Näherung des Integrals verwenden: F1/ 2 ( x) ≈ π 2 (2.7.5) exp( x) Für die Elektronendichte ergibt sich damit: ⎛ E − EF ⎞ n = N C exp⎜ − C ⎟ kT ⎠ ⎝ (2.7.6) ⎛ E − EV ⎞ p = NV exp⎜ − F ⎟ kT ⎠ ⎝ (2.7.7) und analog für Löcher: mit ⎛ 2πmh kT ⎞ N V = 2⎜ ⎟ 2 ⎝ h ⎠ 3/ 2 (2.7.8) E F − EC < −3 . Für den aktiven kT Bereich eines Halbleiterlasers ist diese Näherung allerdings nicht brauchbar, da dort die Fermienergie nicht in der Bandlücke, sondern in den Bändern liegt. ηF ist damit positiv und der Wert des Fermiintegrals weicht deutlich von der Näherungsformel 2.7.5. ab. In Abb. 2.7.1 entspricht dies dem linearen Bereich für η F = - 48 - 2.8. Ladungsträgerdichten im Halbleiterlaser In der aktiven Zone eines Halbleiterlasers sind die Ladungsträgerdichten nicht im thermischen Gleichgewicht (durch den Pumpstrom werden laufend Ladungsträger zugeführt). Die Verteilung von Elektronen und Löchern auf die vorhandenen Energiezustände ist damit keine Fermiverteilung mehr (die gilt ja nur im thermischen Gleichgewicht). Man kann jedoch in guter Näherung separate Verteilungsfunktionen für Elektronen und Löcher mit verschiedenen (Quasi-) Fermienergien einführen. Die Ladungsträger eines jeden Bandes sind untereinander im thermischen Gleichgewicht, dies liegt an den kurzen Relaxationszeiten für Intrabandrelaxation. Ladungsträger in den Bändern können durch Emission von LO-Phononen schnell (τ=100 fs) Energie abgeben und energetisch tieferliegende Zustände erreichen. Die Relaxationszeiten zwischen den Bändern (z.B. durch strahlende Rekombination) sind viel grösser (τ=1 ns). a) Volumenhalbleiter Abb. 2.8.1 stellt die oben beschriebene Situation für einen Volumenhalbleiter dar. Bei T=0K (a) sind alle Zustände bis zu den jeweiligen Quasi-Fermienergien besetzt. Bei T>0K (b) bekommt man eine thermische Verbreiterung der Besetzung. Abbildung 2.8.1: Produkt aus Zustandsdichte und Fermiverteilung im Nicht-Gleichgewichtszustand eines Volumenhalbleiters für (a) T=0K und (b) T>0K b) Quantenfilm Abb. 2.8.2 zeigt den entsprechenden Verlauf der Zustandsdichte in einem Quantenfilm. . Bei parabolischer Dispersion der Energie: E (k ) = h 2 (k x2 + k y2 ) 2meff + En (2.8.1) hat die Zustandsdichte hier einen stufenförmigen Verlauf D( E ) = meff 1 H ( E − En ) ∑ d n πh 2 - 49 - (2.8.2) En sind die Energien der quantisierten Zustände im Quantenfilm. Für unendlich hohes π 2h 2 n2 Einschlusspotential berechnen sich diese zu: En = (2.8.3) 2m eff d 2 Abbildung 2.8.2: Zustandsdichte für Volumenmaterial und Quantenfilm (mit unendlich hohem Einschlusspotential). Quasi-Fermiverteilung und Zustandsdichte eines Quantenfilms sind in Abb. 2.8.3 aufgetragen. In ∞ diesem Fall ist das Integral zu Berechnung der Ladungsträgerdichte n = ∫ D( E ) f ( E )dE EC analytisch lösbar, man erhält für die Elektronenkonzentration: kTme ∑ log(1 + exp(E F ,C − En ) / kT ) πdh 2 n und analog für die Löcher: kTmh n= ∑ log(1 + exp(En − E F ,V ) / kT ) πdh 2 n n= (2.8.4) (2.8.5) Abbildung 2.8.3: Produkt aus Zustandsdichte und Fermiverteilung im Nicht-Gleichgewichtszustand eines Quantenfilms für (a) T=0K und (b) T>0K - 50 -