Barrier Option Valuation

Bewertungsformeln für Barrier Options
im klassischen Optionspreismodell von
BLACK, SCHOLES und MERTON
ANDREAS PECHTL
Es wird zunächst die reellwertige Funktion F :
3
+
×
+
×
2
→
x
⎛
⎞
⎜ log y ρ
⎟
υ
F ( x, y, z;τ ,υ , ρ ) := x ⋅ N ⎜
+ ⋅ τ + ⋅ τ ⎟ − z ⋅ e − ρ ⋅τ ⋅ N
2
⎜υ ⋅ τ υ
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
mit
x
⎛
⎞
⎜ log y ρ
⎟
υ
⎜
+ ⋅ τ− ⋅ τ⎟
2
⎜υ ⋅ τ υ
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
eingeführt. Ferner definieren wir den stochastischen Prozeß X = { X θ }θ ≥0 mit
⎛
υ 2 ⎞ ⎪⎫
⎪⎧
X θ = x ⋅ exp ⎨υ ⋅ Wθ + ⎜ ρ − ⎟ ⋅ θ ⎬ , θ ≥ 0 ,
2 ⎠ ⎭⎪
⎝
⎩⎪
wobei W = {Wθ }θ ≥0 einen WIENER-Prozeß bezeichne, so dass die Gleichung
F ( x, y, z;τ ,υ , ρ ) = e − ρ ⋅τ ⋅ E ( X τ − z ) ⋅ 1 [ X τ > y ]
(1.1)
gilt.
Bewertung von gewöhnlichen Kauf- und Verkaufsoptionen
Im klassischen Optionspreismodell wird der Preisprozeß S = {Sθ }θ ≥0 des risikobehafteten
Basiswertes als eine geometrische BROWNsche Bewegung modelliert, i. e.,
⎛ σ 2 ⎞ ⎪⎫
⎪⎧
Sθ = S0 ⋅ exp {Yθ } = S0 ⋅ exp ⎨σ ⋅ Wθ + ⎜ r −
⎟ ⋅θ ⎬ , θ ≥ 0 .
2 ⎠ ⎭⎪
⎝
⎩⎪
Für eine gewöhnliche Kaufoption mit Auszahlungsprofil
( ST − K )
ergibt sich zum Zeitpunkt 0 ≤ t < T der Optionspreis
(
π tBS ( ST − K )
+
)=e
− r ⋅(T − t )
(
)
⋅ E ( ST − K ) ,
+
woraus nach Glg. (1.1) unmittelbar die bekannte Optionspreisformel
(
π tBS ( ST − K )
+
) = F ( S , K , K ;T − t,σ , r ) =
t
+
= ( ST − K ) ⋅ 1[ ST > K ]
St
⎛
⎞
⎜ log K
⎟
σ
r
− r ⋅ T −t
= St ⋅ N ⎜
+ ⋅ T −t + ⋅ T −t ⎟ − K ⋅e ( ) ⋅N
2
⎜σ ⋅ T −t σ
⎟
⎝
⎠
St
⎛
⎞
⎜ log K
⎟
σ
r
+ ⋅ T −t − ⋅ T −t ⎟
⎜
2
⎜σ ⋅ T −t σ
⎟
⎝
⎠
folgt.
Entsprechend erhalten wir für eine gewöhnliche Verkaufsoption mit Auszahlungsprofil
+
( K − ST ) = ( K − ST ) ⋅ 1[ ST < K ] zum Zeitpunkt 0 ≤ t < T die nachstehende Formel,
(
π tBS ( K − ST )
+
)=e
− r ⋅(T −t )
(
⋅ E ( K − ST )
+
)=e
− r ⋅(T − t )
(
⋅ E ( K − St ⋅ exp {YT −t } )
+
)=
⎛
⎧
⎫
+⎞
σ2
= E ⎜ exp ⎨σ ⋅ WT −t −
⋅ (T − t ) ⎬ ( K ⋅ exp {−YT −t } − ST ) ⎟ .
2
⎩
⎭
⎝
⎠
Der Satz von GIRSANOV gestattet dann die Darstellung
π
BS
t
(( K − S ) )
+
T
+
2
⎛⎛
⎞ ⎞
⎧
⎫
σ
= E ⎜ ⎜ K ⋅ exp ⎨σ ⋅ WT −t − r ⋅ (T − t ) −
⋅ ( T − t ) ⎬ − St ⎟ ⎟ .
⎜⎝
2
⎩
⎭
⎠ ⎟⎠
⎝
Mit Hilfe von Glg. (1.1) folgt schließlich die ebenfalls bekannte Optionspreisformel
(
π tBS ( K − ST )
+
)=e
− r ⋅(T − t )
⋅ F ( K , S t , St ; T − t , σ , − r ) =
K
⎛
⎞
⎜ log S
⎟
σ
r
− r ⋅ T −t
t
= K ⋅e ( ) ⋅N ⎜
− ⋅ T − t + ⋅ T − t ⎟ − St ⋅ N
2
⎜σ ⋅ T −t σ
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
K
⎛
⎞
⎜ log S
⎟
σ
r
t
⎜
− ⋅ T − t − ⋅ T − t ⎟.
2
⎜σ ⋅ T −t σ
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
Bewertung eines Down-and-In-Calls
Bei der Bewertung von Down-and-In-Calls
( ST − K )
+
⋅ 1[ min 0≤τ ≤T Sτ ≤ H ] zum Zeitpunkt
0 ≤ t < T müssen – solange min 0≤τ ≤t Sτ > H gilt, und der Call deshalb noch nicht aktiviert ist
– für den Basispreis K und die Eintrittsschwelle H die beiden Konstellationen H ≤ K und
H > K unterschieden werden.
Für H ≤ K ergibt sich die Bewertungsformel aus dem Spiegelungsprinzip für den WIENERProzeß (Satz von ERDÖS & KAC) und dem Satz von GIRSANOV zu
(2.1)
(
)
(
)
π tBS ( ST − K ) ⋅ 1 [ min 0≤τ ≤T Sτ ≤ H ] = e − r ⋅(T −t ) ⋅ E ( ST − K ) ⋅ 1[ min 0≤τ ≤T Sτ ≤ H ] =
+
+
⎛
⎞
H2
log
2⋅ 2 +1
⎜
⎟
σ
⎛H⎞
St ⋅ K r
σ
⎜
⎟
=⎜ ⎟
⋅ St ⋅ N
+ ⋅ T −t + ⋅ T −t −
⎜σ ⋅ T −t σ
⎟
2
⎝ St ⎠
⎜
⎟
⎝
⎠
r
⎛
⎞
H2
log
2⋅ 2 −1
⎜
⎟
σ
⎛H⎞
St ⋅ K r
σ
− r ⋅(T − t )
⎜
−⎜ ⎟
⋅ K ⋅e
⋅N
+ ⋅ T −t − ⋅ T −t ⎟ =
⎜
⎟
2
S
σ
T
t
σ
⋅
−
⎝ t⎠
⎜
⎟
⎝
⎠
r
⎛H⎞
=⎜ ⎟
⎝ St ⎠
2⋅
r
σ2
−1
⎛ H2
⎞
⋅F⎜
, K , K ;T − t,σ , r ⎟ .
⎝ St
⎠
Für H > K nutzen wir zur Ermittlung der Bewertungsformel eine hierfür geeignete
Darstellung des Auszahlungsprofils,
( ST − K ) ⋅ 1[ min 0≤τ ≤T Sτ ≤ H ] = ( ST − K ) ⋅ 1[ min 0≤τ ≤T Sτ ≤ H ; ST > K ] =
= ( ST − K ) ⋅ 1 [ min 0≤τ ≤T Sτ ≤ H ; K < ST ≤ H ] + ( ST − K ) ⋅ 1 [ min 0≤τ ≤T Sτ ≤ H ; ST
+
= ( ST − K ) − ( ST − K ) ⋅ 1[ ST > H ] + ( ST − K ) ⋅ 1[ min 0≤τ ≤T Sτ ≤ H ; ST > H ] .
+
> H]=
Hieraus ergibt sich aufgrund der Linearität von Preisfunktionalen für den Fall H > K
unmittelbar die folgende Bewertungsformel,
(
)
(2.2) π tBS ( ST − K ) ⋅ 1 [ min 0≤τ ≤T Sτ ≤ H ] = F ( St , K , K ; T − t , σ , r ) − F ( St , H , K ; T − t , σ , r ) +
+
⎛H⎞
+⎜ ⎟
⎝ St ⎠
2⋅
r
σ2
−1
⎛ H2
⎞
⋅F⎜
, H , K ;T − t,σ , r ⎟ .
⎝ St
⎠
Die beiden Teilformeln (2.1) und (2.2) können nun auch zu einer gemeinsamen Formel (2.3),
die unabhängig von den speziellen Konstellationen H ≤ K und H > K ist, zusammengefasst
werden, denn allgemein gilt für das Auszahlungsprofil eines Down-and-In-Calls die folgende
Darstellung,
( ST − K ) ⋅ 1[ min 0≤τ ≤T Sτ ≤ H ] = ( ST − K ) ⋅ 1[ min 0≤τ ≤T Sτ ≤ H ; ST > K ] =
= ( ST − K ) ⋅ 1 ⎡⎣ min 0≤τ ≤T Sτ ≤ H ; K < ST ≤ max { H ; K }⎤⎦ +
+ ( ST − K ) ⋅ 1 ⎡⎣ min 0≤τ ≤T Sτ ≤ H ; ST > max { H ; K }⎤⎦ =
+
= ( ST − K ) − ( ST − K ) ⋅ 1 ⎡⎣ ST > max { H ; K }⎤⎦ + ( ST − K ) ⋅ 1 ⎡⎣ min 0≤τ ≤T Sτ ≤ H ; ST
+
> max { H ; K }⎤⎦ .
Die angekündigte Optionspreisformel (2.3) ergibt sich aus der Linearität des Preisfunktionals,
(2.3)
(
)
π tBS ( ST − K ) ⋅ 1[ min 0≤τ ≤T Sτ ≤ H ] = F ( St , K , K ; T − t , σ , r ) −
+
⎛H⎞
− F ( St , max { H ; K } , K ; T − t , σ , r ) + ⎜ ⎟
⎝ St ⎠
Bewertung eines Down-and-Out-Calls
2⋅
r
σ2
−1
⎛ H2
⎞
⋅F⎜
, max { H ; K } , K ; T − t , σ , r ⎟ .
⎝ St
⎠
Die Bewertung von Down-and-Out-Calls
( ST − K )
+
⋅ 1[ min 0≤τ ≤T Sτ > H ] erfolgt wiederum
zum Zeitpunkt 0 ≤ t < T müssen, solange min 0≤τ ≤t Sτ > H gilt, und der Call deshalb noch
nicht deaktiviert ist.
Zur Ermittlung der Optionspreisformel (2.4) betrachten wir wiederum lediglich eine geeignete
Darstellung des Auszahlungsprofils,
( ST − K )
⋅ 1[ min 0≤τ ≤T Sτ > H ] = ( ST − K ) − ( ST − K ) ⋅ 1[ min 0≤τ ≤T Sτ ≤ H ] .
+
+
+
Aufgrund der Linearität von Optionspreisen kann Glg. (2.4) sofort aus Glg. (2.3) hergeleitet
werden,
(
)
(2.4) π tBS ( ST − K ) ⋅ 1 [ min 0≤τ ≤T Sτ ≤ H ] = F ( St , max { H ; K } , K ; T − t , σ , r ) −
+
⎛H⎞
−⎜ ⎟
⎝ St ⎠
2⋅
r
σ2
−1
⎛ H2
⎞
⋅F⎜
, max { H ; K } , K ; T − t , σ , r ⎟ .
⎝ St
⎠
Bewertung eines Down-and-In-Puts
Die Bewertung von Down-and-In-Puts
( K − ST )
+
⋅ 1[ min 0≤τ ≤T Sτ ≤ H ] zum Zeitpunkt
0 ≤ t < T – solange min 0≤τ ≤t Sτ > H gilt, und der Put deshalb noch nicht aktiviert ist – erfolgt
nun unter Verwendung der Put-Call-Parität,
ST − K = ( ST − K ) − ( K − ST ) .
+
+
Wir erhalten die folgenden Darstellungen des Auszahlungsprofils.
( K − ST ) ⋅ 1[ min 0≤τ ≤T Sτ ≤ H ] = ( ST − K ) ⋅ 1[ min 0≤τ ≤T Sτ ≤ H ] − ( ST − K ) ⋅ 1[ min 0≤τ ≤T Sτ
+
= ( K − ST ) + ( ST − K ) ⋅ (1[ ST > H ] − 1 ⎡⎣ ST > max { H ; K }⎤⎦ ) +
+
+
(
≤ H]=
)
+ ( ST − K ) ⋅ 1 ⎡⎣ min 0≤τ ≤T Sτ ≤ H ; ST > max { H ; K }⎤⎦ − 1[ min 0≤τ ≤T Sτ ≤ H ; ST > H ] .
An dieser Stelle sei bemerkt, dass sich für K ≤ H das Auszahlungsprofil eines Down-and-InPuts offenbar auf das Auszahlungsprofil eines gewöhnlichen Puts reduzieren lässt, i. e.,
( K − ST )
+
⋅ 1[ min 0≤τ ≤T Sτ ≤ H ] = ( K − ST ) .
+
Allgemein ergibt sich die dann die Optionspreisformel
(2.5) π tBS
(( K − S )
T
+
)
⋅ 1 [ min 0≤τ ≤T Sτ ≤ H ] = e − r ⋅(T −t ) ⋅ F ( K , St , St ; T − t , σ , − r ) +
+ F ( St , H , K ; T − t , σ , r ) − F ( St , max { H ; K } , K ; T − t , σ , r ) +
⎛H⎞
+⎜ ⎟
⎝ St ⎠
2⋅
r
σ2
−1
⎛ ⎛ H2
⎞
⎛ H2
⎞⎞
, max { H ; K } , K ; T − t , σ , r ⎟ − F ⎜
, H , K ; T − t , σ , r ⎟ ⎟⎟ .
⋅ ⎜⎜ F ⎜
⎠
⎝ St
⎠⎠
⎝ ⎝ St
Bewertung eines Down-and-Out-Puts
Die Bewertung von Down-and-Out-Puts ( K − ST ) ⋅ 1[ min 0≤τ ≤T Sτ > H ] erfolgt zum Zeitpunkt
+
0 ≤ t < T , solange min 0≤τ ≤t Sτ > H gilt, und der Put deshalb noch nicht deaktiviert ist. Die
Optionspreisformel (2.7) ergibt sich als direktes Pendant zu Glg. (2.6).
(2.6) π tBS
2⋅
r
(( K − S )
T
+
)
⋅ 1 [ min 0≤τ ≤T Sτ > H ] =
−1
⎛ H ⎞ σ2 ⎛ ⎛ H 2
⎞
⎛ H2
⎞⎞
, H , K ;T − t,σ , r ⎟ − F ⎜
, max { H ; K } , K ; T − t , σ , r ⎟ ⎟⎟ +
=⎜ ⎟
⋅ ⎜⎜ F ⎜
⎝ St ⎠
⎠
⎝ St
⎠⎠
⎝ ⎝ St
+ F ( St , max { H ; K } , K ; T − t , σ , r ) − F ( St , H , K ; T − t , σ , r ) .
Offenbar gilt für K ≤ H die Identität
( K − ST )
+
⋅ 1[ min 0≤τ ≤T Sτ > H ] ≡ 0 .
Bewertung von Barrier Options mit Maximum-Nebenbedingung
Bislang haben wir für sämtliche Typen von Barrier Options mit Minimum-Nebenbedingung
die zugehörigen Optionspreisformeln (2.1) – (2.6) im Modell von BLACK, SCHOLES und
MERTON hergeleitet. Mit ( m; n ) ∈ {0;1} × {0;1} lassen sich grundsätzlich alle
Auszahlungsprofile von Barrier Options mit Minimum-Nebenbedingung durch
(( −1)
m
)
+
⋅ ( ST − K ) ⋅ 1 ⎡( −1) ⋅ ( min 0≤τ ≤T Sτ − H ) ≤ 0 ⎤
⎣
⎦
n
erfassen, wobei das Paar ( m; n ) den jeweiligen Optionstyp eindeutig festlegt. Explizit gelten
folgende Identifizierungen.
( 0;0 )
( 0;1)
(1;0 )
(1;1)
Down-and-In-Call
Down-and-Out-Call
Down-and-In-Put
Down-and-Out-Put
In Analogie hierzu lassen sich mit
( j; k ) ∈ {1; 2} × {1; 2} sämtliche
Barrier Options mit Maximum-Nebenbedingung durch
(( −1) ⋅ ( ST − K ))
j
+
k
⋅ 1 ⎡( −1) ⋅ ( max 0≤τ ≤T Sτ − H ) ≤ 0 ⎤
⎣
⎦
Auszahlungsprofile von
erfassen. Es gelten die folgenden Identifizierungen.
(1;1)
(1; 2 )
( 2;1)
( 2; 2 )
Up-and-In-Put
Up-and-Out-Put
Up-and-In-Call
Up-and-Out-Call
Für eine beliebige Barrier Option mit Maximum-Nebenbedingung gilt die allgemeine
Optionspreisformel
(
⎣
)
π tBS ⎡⎢ ( −1) ⋅ ( ST − K ) ⋅ 1 ⎡( −1) ⋅ ( max 0≤τ ≤T Sτ − H ) ≤ 0 ⎤ ⎤⎥ =
j
+
k
⎣
(
(
⎦⎦
)
+
j
k
⋅ E ⎡⎢ ( −1) ⋅ ( ST − K ) ⋅ 1 ⎡( −1) ⋅ ( max 0≤τ ≤T Sτ − H ) ≤ 0 ⎤ ⎤⎥ =
⎣
⎦⎦
⎣
+
j
k
− r ⋅ T −t
= e ( ) ⋅ E ⎡⎢ ( −1) ⋅ ( St ⋅ exp {YT −t } − K ) ⋅ 1 ⎡( −1) ⋅ ( max t ≤τ ≤T St ⋅ exp {Yτ −t } − H ) ≤ 0 ⎤ ⎤⎥ .
⎣
⎦⎦
⎣
=e
− r ⋅(T − t )
Mit
max t ≤τ ≤T
)
1
1
= min t ≤τ ≤T ⋅ exp {−Yτ −t } ergibt sich hierfür die Darstellung
St ⋅ exp {Yτ −t }
St
⎡
⎧
⎫
σ2
St ⋅ K ⋅ E ⎢exp ⎨σ ⋅WT −t −
⋅ (T − t ) ⎬ ×
2
⎩
⎭
⎣
+
⎛
⎡
⎤⎤
⎞⎞
⎞
1
1
j ⎛ 1
k ⎛ 1
× ⎜⎜ ( −1) ⋅ ⎜ − ⋅ exp {−YT −t } ⎟ ⎟⎟ ⋅ 1 ⎢( −1) ⋅ ⎜ − min t ≤τ ≤T ⋅ exp {−Yτ −t } ⎟ ≤ 0 ⎥ ⎥ .
St
⎝ K St
⎠⎠
⎝H
⎠
⎝
⎣
⎦ ⎥⎦
Nach Anwendung des Satzes von GIRSANOV erhalten wir mit
*
τ −t
Y
:= σ ⋅ Wτ −t − r ⋅ (τ − t ) −
(S ⋅ K ⋅e
− r ⋅(T −t )
t
)⋅e
− r ⋅(T − t )
t
2
⋅ (τ − t ) , t ≤ τ ≤ T ,
+
r ⋅(T − t )
Setzen wir nun St* :=
(S ⋅ K ⋅e
σ2
)⋅e (
r ⋅ T −t )
⎛
⎡
1 ⎞⎞
1
1
j −1 ⎛ 1
k −1 ⎛
⋅ E ⎜⎜ ( −1) ⋅ ⎜ ⋅ exp {YT*−t } − ⎟ ⎟⎟ ⋅ 1 ⎢( −1) ⋅ ⎜ min t ≤τ ≤T ⋅ exp {Yτ*−t } −
K ⎠⎠
St
H
⎝ St
⎝
⎝
⎣
1
1
1
, K * := , H * =
und r * := − r , so ergibt sich die Darstellung
St
K
H
(
⋅ E ( −1)
j −1
(
⋅ St* ⋅ exp {YT*−t } − K *
))
+
⋅ 1 ⎡( −1)
⎣
k −1
(
)
⋅ min t ≤τ ≤T St* ⋅ exp {Yτ*−t } − H * ≤ 0 ⎤ .
⎦
Der Term
(
e r ⋅(T −t ) ⋅ E ( −1)
j −1
(
⋅ St* ⋅ exp {YT*−t } − K *
))
+
⋅ 1 ⎡( −1)
⎣
k −1
(
)
⋅ min t ≤τ ≤T St* ⋅ exp {Yτ*−t } − H * ≤ 0 ⎤
⎦
⎤
⎞
⎟ ≤ 0⎥ .
⎠
⎦
lässt sich also als Optionspreis einer Barrier Option mit Minimum-Nebenbedingung
interpretieren. Konkret korrespondiert jeweils eine ( j; k ) -Barrier-Option mit MaximumNebenbedingung mit einer ( j − 1; k − 1) -Barrier-Option mit Minimum-Nebenbedingung.
Mit Hilfe von Glg. (2.3) ergibt sich die nachstehende Preisformel für einen Up-and-In-Put.
(
)
π tBS ( K − ST ) ⋅ 1[ max 0≤τ ≤T Sτ ≥ H ] = St ⋅ K ⋅ e − r ⋅(T −t ) ⋅ F ( St* , K * , K * ; T − t , σ , r * ) −
+
+ St ⋅ K ⋅ e
(
)
− St ⋅ K ⋅ e − r ⋅(T −t ) ⋅ F St* , max { H * ; K * } , K * ; T − t , σ , r * +
− r ⋅(T − t )
⎛ H* ⎞
⋅⎜ * ⎟
⎝ St ⎠
2⋅
r
*
σ2
−1
⎛ H *2
⎞
⋅ F ⎜ * , max { H * ; K *} , K * ; T − t , σ , r * ⎟ .
⎝ St
⎠
Durch Rücksubstitution erhalten wir schließlich die explizite Preisformel,
(3.1) π tBS
(( K − S )
+
T
)
⋅ 1 [ max 0≤τ ≤T Sτ ≥ H ] = e − r ⋅(T −t ) ⋅ F ( K , St , St ; T − t , σ , − r ) −
⎛
⎞
⎧S ⋅K
⎫
−e − r ⋅(T −t ) ⋅ F ⎜ K , max ⎨ t
; St ⎬ , S t ; T − t , σ , − r ⎟ +
⎩ H
⎭
⎝
⎠
⎛H⎞
+ e − r ⋅(T −t ) ⋅ ⎜ ⎟
⎝ St ⎠
2⋅
r
σ2
−1
⎛
⎞
⎧H ⋅K H2 ⎫ H2
⋅ F ⎜⎜ K , max ⎨
;
; T − t , σ , −r ⎟⎟ .
⎬,
St ⎭ S t
⎩ St
⎝
⎠
Mit Hilfe von Glg. (2.4) ergibt sich die nachstehende Preisformel für einen Up-and-Out-Put.
(
)
(
)
π tBS ( K − ST ) ⋅ 1 [ max 0≤τ ≤T Sτ ≤ H ] = St ⋅ K ⋅ e− r ⋅(T −t ) ⋅ F St* , max { H * ; K *} , K * ; T − t , σ , r * −
+
− St ⋅ K ⋅ e
− r ⋅(T − t )
⎛H ⎞
⋅⎜ * ⎟
⎝ St ⎠
*
2⋅
r*
σ2
−1
⎛ H *2
⎞
⋅ F ⎜ * , max { H * ; K *} , K * ; T − t , σ , r * ⎟ .
⎝ St
⎠
Durch Rücksubstitution erhalten wir schließlich die explizite Preisformel,
(3.2) π tBS
(( K − S )
T
+
)
⎛
⎞
⎧S ⋅K
⎫
⋅ 1 [ max 0≤τ ≤T Sτ ≤ H ] = e − r ⋅(T −t ) ⋅ F ⎜ K , max ⎨ t
; St ⎬ , St ; T − t , σ , − r ⎟ −
⎩ H
⎭
⎝
⎠
⎛H⎞
−e − r ⋅(T −t ) ⋅ ⎜ ⎟
⎝ St ⎠
2⋅
r
σ2
−1
⎛
⎞
⎧H ⋅K H2 ⎫ H2
⋅ F ⎜⎜ K , max ⎨
;
; T − t , σ , − r ⎟⎟ .
⎬,
St ⎭ St
⎩ St
⎝
⎠
Mit Hilfe von Glg. (2.5) ergibt sich die nachstehende Preisformel für einen Up-and-In-Call.
(
)
π tBS ( ST − K ) ⋅ 1[ max 0≤τ ≤T Sτ ≥ H ] = St ⋅ K ⋅ F ( K * , St* , St* ; T − t , σ , r ) +
+
(
(
))
+ St ⋅ K ⋅ e − r ⋅(T −t ) ⋅ F ( St* , H * , K * ; T − t , σ , r * ) − F St* , max { H * ; K *} , K * ; T − t , σ , r * +
+ St ⋅ K ⋅ e
− r ⋅(T − t )
⎛H ⎞
⋅⎜ * ⎟
⎝ St ⎠
*
2⋅
r*
σ2
−1
⎛ ⎛ H *2
⎞
⎛ H *2
⎞⎞
⋅ ⎜⎜ F ⎜ * , max { H * ; K * } , K * ; T − t , σ , r * ⎟ − F ⎜ * , H * , K * ; T − t , σ , r * ⎟ ⎟⎟ .
⎠
⎝ St
⎠⎠
⎝ ⎝ St
Durch Rücksubstitution erhalten wir schließlich die explizite Preisformel,
(
)
(3.3) π tBS ( ST − K ) ⋅ 1 [ max 0≤τ ≤T Sτ ≥ H ] = F ( St , K , K ; T − t , σ , r ) +
+e
+
− r ⋅(T − t )
⎛ ⎛ S ⋅K
⎛
⎞⎞
⎞
⎧S ⋅ K
⎫
⋅⎜ F ⎜ K, t
, St ; T − t , σ , −r ⎟ − F ⎜ K , max ⎨ t
; S t ⎬ , St ; T − t , σ , − r ⎟ ⎟ +
H
⎠
⎩ H
⎭
⎝
⎠⎠
⎝ ⎝
⎛H⎞
+ e − r ⋅(T −t ) ⋅ ⎜ ⎟
⎝ St ⎠
− r ⋅ T −t ⎛ H ⎞
−e ( ) ⋅ ⎜ ⎟
⎝ St ⎠
2⋅
2⋅
r
σ2
r
σ2
−1
−1
⎛
⎞
⎧H ⋅K H2 ⎫ H2
⋅ F ⎜⎜ K , max ⎨
;
; T − t , σ , −r ⎟⎟ −
⎬,
St ⎭ S t
⎩ St
⎝
⎠
⎛ H ⋅K H2
⎞
⋅ F ⎜ K,
,
; T − t , σ , −r ⎟ .
St
St
⎝
⎠
Mit Hilfe von Glg. (2.6) ergibt sich die nachstehende Preisformel für einen Up-and-Out-Call.
(
)
π tBS ( ST − K ) ⋅ 1 [ max 0≤τ ≤T Sτ ≤ H ] =
+
*
− r ⋅(T −t ) ⎛ H ⎞
= St ⋅ K ⋅ e
⋅⎜ * ⎟
⎝ St ⎠
( (
2⋅
r*
σ2
−1
⎛ ⎛ H *2
⎛ H *2
⎞⎞
*
*
*⎞
⋅ ⎜⎜ F ⎜ * , H , K ; T − t , σ , r ⎟ − F ⎜ * , max { H * ; K *} , K * ; T − t , σ , r * ⎟ ⎟⎟ +
⎠
⎝ St
⎠⎠
⎝ ⎝ St
)
)
+ St ⋅ K ⋅ e− r ⋅(T −t ) ⋅ F St* , max { H * ; K *} , K * ; T − t , σ , r * − F ( St* , H * , K * ; T − t , σ , r * ) .
Durch Rücksubstitution erhalten wir schließlich die explizite Preisformel,
(
)
(3.4) π tBS ( ST − K ) ⋅ 1 [ max 0≤τ ≤T Sτ ≤ H ] =
+
2⋅
r
−1
⎛ ⎛ H ⋅K H2
⎛
⎞⎞
⎞
⎧H ⋅K H2 ⎫ H2
⋅⎜ F ⎜ K,
,
; T − t , σ , − r ⎟ − F ⎜⎜ K , max ⎨
;
,
; T − t , σ , − r ⎟⎟ ⎟ +
⎬
⎜ ⎝
⎟
St
St
St ⎭ St
⎠
⎩ St
⎝
⎠⎠
⎝
⎛
⎞
⎧S ⋅K
⎫
⎛ S ⋅K
⎞⎞
− r ⋅ T −t ⎛
+ e ( ) ⋅ ⎜ F ⎜ K , max ⎨ t
; St ⎬ , St ; T − t , σ , − r ⎟ − F ⎜ K , t
, St ; T − t , σ , − r ⎟ ⎟ .
H
⎩ H
⎭
⎝
⎠⎠
⎠
⎝ ⎝
− r ⋅ T −t ⎛ H ⎞
= e ( ) ⋅⎜ ⎟
⎝ St ⎠
σ2