Vertiefungs-Aufgaben zu Exponentialfunktionen und Logarithmen

Hochschule Esslingen
Gaukel/Mohr
Vorkurs, Aufgaben
SS 2016
Vertiefungs-Aufgaben zu Exponentialfunktionen und
Logarithmen
Aufgabe 1
- Logarithmen :
Bestimmen Sie (ohne Taschenrechner) die Logarithmen
(a) log2 32 bzw. log4 32
√
(b) log6 3 6 bzw. log3 √13
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
log3
1
9
bzw. log25 15
log10 10000
√
loga q ap
x
ln eey
log5 (50) − log5 (2)
Lösung V1:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
5 bzw. 5/2
1/3 bzw. −1/2
−2 bzw. −1/2
4
p/q
x−y
2
Aufgabe 2
- Rechenregeln für Logarithmen :
Zerlegen Sie so weit wie möglich, d.h. im Argument des Logarithmus soll so wenig wie möglich stehen,
dafür dürfen
3 2 Sie mehrere ln's pro Aufgabenteil ins Spiel bringen.
(a) ln a db4 c
(b)
(c)
(d)
(e)
ln (a2 + a)
ln (u2 + 1)
ln [(u + v)2 ]
ln(9 · x2 )
Lösung V2:
(a)
(b)
(c)
(d)
3 ln(a) + 2 ln(b) + ln(c) − 4 ln(d)
ln(a) + ln(a + 1)
ln(u2 + 1), da geht gar nix
2 ln(u + v)
Vorkurs, AufgabenVertiefungs-Aufgaben Exponentialfunktionen und Logarithmen
2
(e) 2 ln(3) + 2 ln(x)
Aufgabe 3
- Rechenregeln für Logarithmen :
Vereinfachen Sie so, dass zum Schluss pro Aufgabenteil nur noch ein ln dasteht (bzw. nur ein log(. . . )
usw.)
(a) ln 4 − ln 2 + ln 3
√
(b) log7 a3/2 − log7 a + log7 b
(c) ld(x) + ld(y) − ld(z)
(d) − 21 (ln u − 3 ln v)
(e) 3 log3 u + 21 log3 v 4 + 2 log3 w
(f) 31 lg a3m − (m + 1) lg a
Lösung V3:
(a) ln(6)
(b) log7 (ab)
(c) ld( xyz )
(d) ln
q
v3
u
(e) log3 (u3 v 2 w2 )
(f) lg(1/a) bzw. − lg(a)
Aufgabe 4
- Logarithmus-Umformungen :
(a) Können Sie die fehlenden Zwischenschritte angeben loge 5 + ln 4 + lg 3 = ln 20 · 31/ ln(10)
(b) Beweisen oder widerlegen Sie ln(xln y ) = ln(y ln x )
Lösung V4:
(a) loge 5 + ln 4 + lg 3 = ln(5) + ln(4) +
ln 20 · 31/ ln(10)
ln(3)
ln(10)
= ln(20) +
1
ln(10)
· ln(3) = ln(20) + ln 31/ ln(10) =
(b) Korrekt, denn ln(xln y ) = ln(x) · ln(y) = ln(y) · ln(x) = ln(y ln x )
Aufgabe 5
- Gleichungen mit Logarithmen und Exponentialfunktionen :
Skizzieren Sie die Exponentialfunktion y = 3x und die zugehörige Logarithmusfunktion y = log3 (x).
Lösung V5:
Hochschule Esslingen
Gaukel/Mohr
SS 2016
Vorkurs, AufgabenVertiefungs-Aufgaben Exponentialfunktionen und Logarithmen
y
3
y = 3x
1
y = log3 (x)
x
1
Aufgabe 6
- Gleichungen mit Logarithmen und Exponentialfunktionen :
Lösen Sie nach x auf, d.h. es muss dastehen: x = . . . . Bei den beiden letzten Aufgabenteilen muss
man zuerst dafür sorgen, dass nur noch ein x (anstatt zwei x) dasteht.
(a) y = ln(1 − x/2)
(b) y = 21 (exp(2x) − 1)
(c) y =
exp(x)
1+exp(x)
(d) y = ln(x + 1) + ln(x − 1)
Lösung V6:
(a) x = 2 − 2ey
√
bzw. x = ln( 2y + 1)
(b) x = ln(2y+1)
2
y
(c) x = ln( 1−y )
(d) x =
√
ey + 1
Aufgabe 7
- Gleichungen mit Logarithmen und Exponentialfunktionen :
Bestimmen Sie alle x für die gilt
(a) exp(x + 1) = 2
(b) ln(3x − 2) + 1 = 0
(c) exp(x − 1) = exp(x) − 1 (auf gemeinsamen Exponent bringen)
(d) exp(2x) + exp(x) − 2 = 0 (geeignete Substitution überlegen)
(e) 3x−2 = 2x+3
(f) exp(x) − 4 exp(−x) = 0
(g) ln(3x − 2) − 2 ln(2x − 3) = 0 (Denitionsbereich beachten)
(h) 2x + 2x−3 + 3x = − 22+x + 2 · 3x (Tipp: Zuerst umformen in a · 2x = b · 3x )
Lösung V7:
(a) x = ln(2) − 1 = −0.3069
= 0.7893
(b) x = exp(−1)+2
3
(c) x = 1 − ln(e − 1) = 0.4587
Hochschule Esslingen
Gaukel/Mohr
SS 2016
Vorkurs, AufgabenVertiefungs-Aufgaben Exponentialfunktionen und Logarithmen
4
(d) x = 0
(e) x =
ln(72)
ln(3/2)
= 10.5476
(f) x = ln(2) = 0.6931
(g) x = 11/4
(h) x = log3/2 (5 + 18 ) =
Hochschule Esslingen
ln(41)−ln(8)
ln(3)−ln(2)
= 4.0303
Gaukel/Mohr
SS 2016