11.8.3 IIR-Filter Bei Verwendung von rekursiven Methoden zur

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11.8.3 IIR-Filter
11.8.3 IIR-Filter
Bei Verwendung von rekursiven Methoden zur Berechnung des gefilterten Ausgangssignals aus dem
Eingangssignal läßt sich die Rechenzeit wesentlich reduzieren. Durch die dabei eingeführten
Rückkopplungen kann es jedoch bei ungeeigneter Dimensionierung zu einem unbegrenzten
Aufschaukeln des Ausgangssignals kommen: das Filter wird instabil.
Durch die Einführung von Rückkopplungen ergibt sich eine Übertragungsfunktion, die ganz ähnlich
wie die analoger Systeme aufgebaut ist, allerdings mit folgendem wesentlichen Unterschied: Da das
System diskret ist, reicht das Basisband-Spektrum des Eingangs- und Ausgangssignal nur bis zur
halben Abtastfrequenz und wiederholt sich dann periodisch (mit der Abtastfrequenz). Die
Übertragungsfunktion , als Quotient aus dem Spektrum des Ausgangssignals zum Spektrum des
Einganssignals ist somit auch eine periodische Funktion ( in der Abtastfrequenz).
Es gibt verschiedene Methoden zur Filterentwicklung unter diesen Umständen. Dabei muß der
Periodizität der Übertragungsfunktion Rechnung getragen werden. Eine Methode zur Entfernung
dieser Periodizität ist z.B. die Verwendung der z-Transformation.
Wir behandeln hier die Methode der Bilinear-Transformation. Dabei wird durch eine
Frequenztransformation das Basisbandfrequenzintervall des abgetasteten Signals von 0 bis fA/2 auf
das Frequenzintervall von 0 bis ∞ abgebildet. Dadurch verschwindet bei der transformierten
Übertragungsfunktion die Periodizität. Auf die transformierte Übertragungsfunktion lassen sich somit
die besprochenen, für analoge Filter üblichen Entwicklungsverfahren anwenden (konventionelle
Filtertheorie) und durch Rücktransformation auf das diskrete Filter übertragen.
y(n)
x(n)
t
|Xd(f)|
fA/2
IIR-Filter
f
fA
f
f
fA/2
|H(f‘)|
Bilineartransformation
Frequenztransformation
à analoge Filtertheorie anwendbar
f‘
fg‘
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11-8-3
t
|Yd(f)|
|Hd(f)|
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Die Methode wird an einem Filter zweiter Ordnung erläutert. Filter höherer als zweiter Ordnung
lassen sich durch Kaskadierung von Filtern zweiter und erster Ordnung aufbauen.
Filter zweiter Ordnung
x(n-1)
x(n)
x(n-2)
Getaktete Speicher (Schieberegister)
Multiplikatoren
FIR-Filter 2. Ordnung
x
x
B1
B0
x
B2
y(n)
Summierer
Σ
x
A2
x
A1
y(n-2)
Rückkopplungen
(rekursiver Teil)
y(n-1)
Durch Umzeichnen erhält man die folgende Form:
x(n)
t(n)
Σ
Σ
B0
y(n)
x
B1
A2
x
x
t(n-1)
A2
B2
x
x
t(n-2)
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Durch Einführen einer Zwischenvariable t(n) können wir die Systemgleichungen aufstellen
(Summation der Signale an den beiden Summierern):
y (n ) = B 0 t ( n) + B1 t ( n − 1) + B2 t ( n − 2)
t ( n) = x ( n) + A1 t ( n − 1) + A2 t (n − 2)
⇒
x (n ) = t ( n) − A1 t ( n −1) − A2 t ( n − 2)
Übergang in den Frequenzbereich durch diskrete Fouriertransformation (F.T.D.)
s( n) a
Sd ( f ) =
∞
∞
n = −∞
n = −∞
∑ s (nT A ) exp( − j2π ⋅ f ⋅ nT A ) = ∑ s (n ) exp( − jnθ)
mit der auf die Abtastfreq uenz normierten Frequenzva riblen θ = ωT A = 2π ⋅
f
fA
und unter Anwendung des Verschiebungssatzes
∞
∑ s (n − 1) exp( − jnθ) =
s( n − 1) a
n = −∞
∞
∑ s (n − 1) exp( − j(n − 1)θ) exp( − jθ) = exp( − jθ)S
d
(f )
n = −∞
Y d = B0 Td + B1T d ⋅ exp( − jω ⋅ T A ) + B 2 Td ⋅ exp( − j 2ω⋅ T A )
X d = T d − A1 Td ⋅ exp( − jω ⋅ T A ) − A2 Td ⋅ exp( − j 2ω⋅ T A )
1
exp(-jθ)
Daraus ergibt sich die Übertragungsfunktion
H (e jω ⋅TA ) =
Yd
B + B1 ⋅ exp( − jω ⋅ T A ) + B 2 ⋅ exp( − j 2ω ⋅ T A )
= 0
Xd
1 − A1 ⋅ exp( − j ω⋅ T A ) − A2 ⋅ exp( − j 2ω ⋅ T A )
Da exp( -jω⋅TA) eine mit fA = 1/ TA periodische Funktion ist , ist H(exp( -jω⋅TA)) ebenfalls eine mit
fA = 1/ TA periodische Funktion.
Übergangs zur Laplace-Transformation: (Voraussetzung : Für alle Signale wird gefordert, daß: s(n) =
0 für n< 0 )
j ω a p = σ + jω
Y ( p ) B0 + B1 ⋅ exp( − p ⋅ T A ) + B2 ⋅ exp( −2 p ⋅ T A )
H (e p ⋅TA ) = d
=
X d ( p)
1 − A1 ⋅ exp( − p ⋅ T A ) − A2 ⋅ exp( −2 p ⋅ T A )
(11.8-8)
Bem.: In der Regeltechnik wird zur Beseitigung der Periodizität der komplexen Exponentialfunktion
die z- Transformation eingeführt
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p a z = e pTA
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Damit ergibt sich die z - Übertragun gsfunktion :
Yd ( z ) B0 + B1 ⋅ z −1 + B2 ⋅ z − 2
H (z) =
=
X d (z)
1 − A1 ⋅ z −1 − A2 ⋅ z 2
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Frequenztransformation und Bilineartransformation:
Die Funktion y = tan (x ) bildet (umkehrbar, eineindeutig) das Intervall {x| 0 ≤ x ≤ π/2 } in das
Intervall {x| 0 ≤ x ≤ ∞ } ab . Durch geeignete Skalierung der Achsen findet man somit eine
Funktion, die das Frequenzintervall {f| 0 ≤ f ≤ fA/2 } in das Intervall {f‘| 0 ≤ f‘ ≤ ∞ } abbildet:
f
f'
y = tan( x ), mit
x =π
und y = π
⇒
fA
fA
f '=
fA
f
tan( π
)
π
fA
(11.8-9)
f‘
fA/2
f
Aus der Frequenztransformation läßt sich die damit verbundene Transformation der Bildvariable
ableiten:
ω'⋅T A
ω⋅ T A
= tan(
)
2
2
⇒
ω⋅ T A
)
ω
⋅
T
2
2
2
A
2
j ω' = j
tan(
)= j
= j
ω
⋅
T
TA
2
TA
TA
A
cos(
)
2
sin(
2 1 − exp( − j ω⋅ T A )
T A 1 + exp( − j ω⋅ T A )
dann muß es aber auch für alle
2 1 − exp( − p ⋅ T A )
p' = j
TA 1 + exp( − p ⋅ T A )
Umkehrung:
j ω' = j
gilt somit für p ' = j ω' ,
p ' = σ '+ jω' ,
exp( − pT A ) =
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ω⋅ T A
ω ⋅ TA 
1 
) − exp( − j
)
 exp( j
2j
2
2 
=
ω⋅ T A
ω⋅ T A 
1
) + exp( − j
)
 exp( j
2
2
2 
p = σ + jω gelten :
2 − p ' TA
2 + p ' TA
Seite 47
p = jω,
(11.8-10)
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(sog. Bilineartransformation)
Durch Einsetzen der Bilineartransformation in die Übertragungsfunktion des diskreten Filters ergibt
sich eine Übertragungsfunktion in der Variablen p‘ , die eine rationale Funktion in p‘ ist ( Quotient
aus zwei Polynomen zweiten Grades in p‘). Für den Betrag dieser transformierten
Übertragungsfunktion können die üblichen Filter-Approximationsfunktionen (Bessel, Potenz ,
Tschebyscheff,.. ) vorgegeben werden.
Zur Bestimmung der Filterkoeffizienten ist der umgekehrte Weg einfacher: Man gibt die
transformierte Ziel-Übertragungsfunktion vor und transformiert diese in die Übertragungsfunktion des
abgetasteten Systems.
Für Tiefpaß mit bestimmten Koeffizienten a und b folgt:
H ( P' ) =
H ( p) =
1
1 + aP '+bP ' 2
⇒
H ( p' ) =
1
 p' 
p'

1+ a
+ b
ωg '  ωg ' 
1
2 1 − exp( − pT A )  2 
1+a
+b
ωg ' T A 1 + exp( − pT A )  ωg ' T A 
2
2
⇒
 1 − exp( − pT A ) 


1
+
exp(
−
pT
)

A 
2
Nach Umformung (auf Hauptnenner bringen) folgt die Übertragungsfunktion des digitalen Filters :
H ( p) =
B0 + B1 ⋅ exp( − p ⋅ T A ) + B 2 ⋅ exp( −2 p ⋅ T A )
1 − A1 ⋅ exp( − p ⋅ T A ) − A2 ⋅ exp( −2 p ⋅ T A )
mit den Koeffizienten:
W :=
fA
π⋅ fg '
B0 = B2 =
A1 =
1
,
N
(11.8-11)
B1 =
2
( −1 + bW 2 ),
N
2
,
N
A2 = −
N := 1 + aW + bW
2
1
(1 − aW + bW 2 )
N
Das Verfahren soll an einigen Beispielen erläutert werden. Zur Durchführung von Berechnungen und
zur graphischen Darstellung der Ergebnisse, bedienen wir uns wieder MathCad.
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Beispiele:
1. Man entwickle für ein abgetastetes System mit fA = 36,9 kHz einen IIR-Tiefpaß mit der
Bilinear-Transformation unter Zugrundelegung der Butterworth –Charakteristik. Es sei verlangt,
daß aD = 3 dB für f < fg = 1 kHz und a > as = 25 dB für f > fs = 5 kHz.
Lösung mit MathCad. Die mit der Frequneztransformation transformierten Variablen werden mit
einem Index t gekennzeichnet.
fA
f tg
f ts
Ω ts
3
36.9 . 10 . Hz
fA
f
. tan π . g
fA
π
fA
f
. tan π . s
fA
π
f ts
Ω t
3
s
1
3
s
1
f ts = 5.326 10
Ω ts = 5.313
2. n
Ω ts
a
-à
3
5 . 10 . Hz
fs
f tg = 1.002 10
f tg
10. log 1
as
3
1 . 10 . Hz
fg
n
2
a s = 29.018
2
b
1
1
H Ω t
0.2 , 0.3 .. 10
1
a. j. Ω t
b . j. Ω t
2
a Ωt
20. log H Ω t
Dämpfung /dB
0
20
a Ω t
40
60
0.1
1
10
Ω t
transformierte Frequenz/Hz
W
B0
fA
π .f
W = 11.717
Ω
1
a. W
b. W
2
N = 154.864
tg
1
N
B1
B 0 = 6.457 10
Ω
N
3
f
fg
2
N
B2
B 1 = 0.013
α
1
N
A1
2.
b. W
1
N
B 2 = 6.457 10
3
A 1 = 1.76
fg
2. π .
fA
0.1 , 0.2 .. 10
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2
Seite 49
A2
1 .
1
N
A 2 = 0.786
a. W
b. W
2
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B 1. exp( j. α . Ω )
B0
H( Ω )
1
B 2. exp( 2. j. α . Ω ) 1 A 1 A 2
.
A 2. exp( 2. j. α . Ω ) B 0 B 1 B 2
A 1. exp( j. α . Ω )
a( Ω )
20. log( H( Ω ) )
φ (Ω )
arg
B 1. exp( j. α . Ω )
B0
B 2. exp( 2. j. α . Ω ) 1 A 1 A 2
.
A 2. exp( 2. j. α . Ω ) B 0 B 1 B 2
A 1. exp( j. α . Ω )
1
20. log H Ω t
d
τ(Ω )
dΩ
φ (Ω )
10
Gruppenlaufzeit /sec
0
Dämpfung /dB
a Ω t
20
a( Ω )
40
60
0.1
1
1
τ(Ω )
0.1
0.01
10
0.1
1
Ω
10
Ω
Frequenz/ Hz
Frequenz / Hz
Phase
0
φ(Ω )
2
4
0.1
1
10
Ω
Frequenz/ Hz
2. Man entwickle für ein abgetastetes System mit fA = 48 kHz einen IIR-Tiefpaß mit der BilinearTransformation unter Zugrundelegung der Tschebyscheff –Charakteristik. Es sei verlangt, daß a
< aD = 1.25 dB für f< fg = 10 kHz und a > as = 25 dB für f > fs = 14 kHz. Zur Ermittlung der
Pole der Übertragungsfunktion des analogen Referenzfilters verwende man die Formeln aus Kap
9.3.2.
Lösung:
fA
f tg
3
48 . 10 . Hz
fA
f
. tan π . g
fA
π
fg
3
10 . 10 . Hz
fs
4
f tg = 1.172 10
s
1
3
14 . 10 . Hz
fA
f ts
π
50
. tan π .
aD
fs
fA
1.25
dB
a s
4
f ts = 1.991 10
25
s
dB
1
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f ts
Ω ts
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Ω ts = 1.698
f tg
Aufwandabschätzung mit Diagramm aus Saal [3], Anhang.
Refelxionsfaktor im DB ρmax = 50 % ----> a(ρ)= 4.8 dB
as + a(ρ) = 30 dB bei 1/ Ωts = 1/1.698 = 0.59
-----> 4. Ordnung
Ergebnis läßt sich mit den Formeln aus 9.3.2 verifizieren:
a D
10
ε
10
ε = 0.578
a ts
10. log 1
Ω t
0.1 , 0.2 .. 2.0
1
2
4
ε . 8. Ω ts
2
8. Ω ts
a Ω t
2
1
a ts = 28.203
10. log 1
2
4
ε . 8. Ω t
2
8. Ω t
2
1
0
a Ω t
20
40
0.1
1
10
Ω t
Bestimmung der Pole der Übertragungsfunktion mit den Formeln aus 9.3.2 :
Pν = Σν + j Ω ν
v4
Σ 1
Σ 2
Σ 3
Σ 4
γ 1
j
1.
arsinh
4
1
v 4 = 0.329
ε
π .
sinh v 4
Σ 1 = 0.128
8
3. π .
sin
sinh v 4 Σ 2 = 0.31
8
5. π .
sin
sinh v 4 Σ 3 = 0.31
8
7. π .
sin
sinh v 4
Σ 4 = 0.128
8
sin
2
Σ 1
2
Ω 1
γ 2
2
π .
cosh v 4
8
3. π .
Ω 2 cos
cosh v 4
8
5. π .
Ω 3 cos
cosh v 4
8
7. π .
Ω 4 cos
cosh v 4
8
Ω 1
cos
2
Σ 2
Ω 2
1
γ 1. γ 2
H Pt
Pt
H Ω t
a Ω t
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2
2. Σ 1. P t
2
γ 1 . Pt
2
j. Ω t
2. Σ 1. j. Ω t
20. log H Ω t
2. Σ 2. P t
γ 1. γ 2
γ 1 . j. Ω t
γ 2
2
2. Σ 2. j. Ω t
Seite 51
γ 2
Ω 1 = 0.974
Ω 2 = 0.404
Ω 3 = 0.404
Ω 4 = 0.974
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20
0
a Ω t
20
40
0.1
1
10
Ω t
Koeffizienten des Referenzfilters:
2. Σ 1
1
a1
b1
γ 1
γ1
.
2Σ 2
1
a2
b2
γ 2
γ2
Berechnung der Koeffizienten des digitalen Filters:
fA
W
W = 1.303
π . f tg
fA
W
W = 1.303
π . f tg
2
2
N 1 1 a 1. W b 1. W
N 1 = 3.104
N 2 1 a 2. W b 2. W
1
1
B 01
B 01 = 0.322
B 02
N1
N2
2
2
B 11
B 11 = 0.644
B 12
N1
N2
1
1
B 21
B 21 = 0.322
B 22
N1
N2
2 .
2 .
2
2
A 11
1 b 1. W
A 11 = 0.489
A 12
1 b 2. W
N1
N2
1 .
1 .
2
A 21
1 a 1. W b 1. W
A 21 = 0.777 A 22
1 a 2. W
N1
N2
fA
48
f
1 , 2 .. 22
B 01
H 1( f )
1
B 02
H 2( f )
f
j. 2. π .
fA
f
j. 2. π .
fA
f
B 12. exp j. 2. π .
fA
A 11. exp
f
j. 2. π .
fA
20. log H 1( f ) . H 2( f )
1
a ( f)
B 11. exp
A 12. exp
B 21. exp
f
j. 4. π .
fA
f
j. 4. π .
fA
f
B 22. exp j. 4. π .
fA
.
B 01
A 21. exp
A 22. exp
f
j. 4. π .
fA
52
1
.
1
B 02
A 11
B 11
A 12
B 12
N 2 = 10.682
B 02 = 0.094
B 12 = 0.187
B 22 = 0.094
A 12 = 1.042
2
b 2. W
A 22 = 0.416
A 21
B 21
A 22
B 22
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Dämpfung /dB
50
0
a ( f)
50
100
1
10
100
f
Frequenz/ kHz
φ ( f)
arg H 1( f ) . H 2( f )
Phase
5
φ ( f) 0
5
1
10
100
f
Frequenz/ kHz
1 .d
φ ( f)
2. π d f
1
Gruppenlaufzeit /sec
τ ( f)
0.1
τ ( f)
0.01
1 10
3
1
10
f
Frequenz / kHz
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Springer, 1992
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Saal, R. : Handbuch zum Filterentwurf
Hüthig, 1988
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Cambridge Univ. Pr., 1989
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Vieweg, 1990
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Tietze, U.; Schenk, C. : Halbleiter-Schaltungstechnik,
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Wangenheim, Lutz von: Aktive Filter in RC- und SC-Technik, Grundlagen
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