berechnung hypothek restschuld

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Aufgabe T8.1: Hypothekentilgung
Ein Hypothek über 220.000 € soll über 30 Jahre wie folgt getilgt:
¾ der Zinssatz für die ersten 10 Jahre ist mit 4,5 % festgeschrieben,
¾ es wird vertraglich geregelt, daß zum Ende des 10. Jahres eine Sondertilgung von 20.000 € erfolgt;
¾ für die Restschuld werden als Option 5 % Zinsen in Aussicht gestellt
(a) Stellen Sie das Problem am Zahlungsstrahl dar.
(b) Berechnen Sie die Annuität bei 4,5 % Verzinsung und einer Laufzeit von 30 Jahren.
[13.509,14 €]
(c) Wie hoch sind die Monatszahlungen während der ersten 10 Jahre?
[1.098,91 €]
(d) Wie hoch ist die Restschuld am Ende des 10. Jahres nach der Sondertilgung?
[155.687 €]
(e) Berechnen Sie die Annuität ab dem 11. Jahr.
[12.492,73 €]
(f) Wie hoch ist die Restschuld am Ende des 20. Jahres?
[96.465,53 €]
Lösung T8.1: Hypothekentilgung
(a) Zahlungsstrahl:
z
a
b
b
r=1,05
q=1,045
t
1.
2.
10.
30.
m1t081lös
S0=220T
S10
m
m
Teilaufgabe (c):
p=1,0036748
t
12.
1.
a
{
}
(b) S30 = 220000q 30 − a + a ⋅ q + ... + a ⋅ q 29 = 220000q 30 − a
→ a = 220000q30
1− q
1 − q30
1 − q 30
=0
1− q
= 13.509,14 €
(c) Es seien p = 12 q = 1, 0036748094 der Zinssatz bei monatiger Verzinsung und m die Monatszahlung:
a = m ⋅ p + m ⋅ p + ... + m ⋅ p
2
→ m=
12
1 − p12
= m⋅ p
1− p
a 1− p
⋅
= 1.098,91 €
p 1 − p12
(d) S10 = 220000q10 − a
1 − q10
− z = 175.687, 00 − 20.000, 00 = 155.687, 00 €
1− q
2
(e) Es sei r = 1,05 der Zinsfaktor ab dem 11. Jahr:
b = S10 ⋅ r 20
1− r
1 − r 20
= 12.492, 73 €
(f) Die Restschuld nach 20 Jahren beträgt:
S 20 = S10 ⋅ r10 − b ⋅
1 − r10
=253.597,72 − 157.132,19 = 96.465,53 €
1− r
Aufgabe T8.2: Differenzierbarkeit
Gegeben ist die abschnittsweise definierte Funktion
für 0 < x ≤ 1
⎧ ln x
f ( x) = ⎨
2
⎩( x − a ) + b für x > 1
Wie müssen die Koordinaten (a,b) des Scheitelpunktes der Parabel lauten, so daß f(x) im ganzen
Definitionsbereich differenzierbar ist?
Lsg.:[( 1 2 , − 1 4 )]
Lösung T8.2: Differenzierbarkeit
Die Funktion ist für x ≠ 1 überall differenzierbar, zu untersuchen ist daher nur der Punkt x0 = 1!
Notwendige Bedingungen:
1.
Stetigkeit:
!
!
lim− f ( x ) = f ( x 0 ) = lim+ f ( x )
x →1
x →1
→ 0 = 0 = 1 − a + b (I)
2.
Differenzierbarkeit:
!
lim− f '( x ) = lim+ f ' ( x )
x →1
lim−
x →1
x →1
1
x
!
= lim+ (2 x − 2a )
x →1
1 = 2 − 2a (II)
→ a=
1
2
eingesetzt in (I) ergibt sich:
b=−
und damit:
für 0 < x ≤ 1
⎧ ln x
⎪
2
f ( x ) = ⎨⎛
1⎞
1
x
−
−
für x > 1
⎜
⎟
⎪⎝
2⎠
2
⎩
1
2
3
Aufgabe T8.3: Graphische Konstruktion der 1. Ableitung
Skizzieren Sie die Ableitungsfunktion f ′( x ) der folgenden Funktion y = f ( x) direkt in der unten stehenden
Graphik.
f (x)
x
kla1w03
Lösung T8.3: Graphische Konstruktion der 1. Ableitung
f (x)
loa1w03