Die Möbius- Transformation - mathematik

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Die MöbiusTransformation
1.0
Überblick und Einführung in gebrochene lineare Polynome des Komplexen
Für das Verständnis der Möbius-Transformation werden grundlegende Kenntnisse über komplexe Zahlen,
sowie über komplexen Funktionen benötigt. Ferner sind elementare Kenntnisse aus der (Lineare) Algebra
von Nöten, bspw. der Adjunktensatz oder Wissen über Gruppen.
Eine Klasse der komplexwertigen Funktionen bilden die gebrochen linearen Polynome oder auch MöbiusTransformationen genannt. Genauer:
Definition:
⎛a b ⎞
Sei A:= ⎜
⎟ ∈ GL(2, ^ ), es ist also a, b, c, d ∈ ^ mit ad-bc ≠ 0. Der nicht-singulären Matrix A mit
⎝c d ⎠
az + b
komplexen Koeffizienten, wird das gebrochen lineare Polynom f, mit f(z)=
zugeordnet. Rationale
cz + d
Funktionen mit Zähler- und Nennergrad ≤ 1 nennen wir Möbius-Transformation oder gebrochen
lineare Transformation.
,
Diese Definition stellt keine abschließende und fixe Definition dar, vielmehr entwickeln wir in diesem
Skriptum den Begriff der Möbius-Transformation, d.h. dies ist lediglich der evolutionäre Ausgangspunkt.
Der aufmerksame Leser wird bemerkt haben, dass ab-bc gerade der det(A) entspricht, und die Forderung
ad-bc ≠ 0 deshalb impliziert, dass A invertierbar sein muss (eben nicht-singulär).
Die Funktion f(z) ist unter der Voraussetzung

c ≠ 0, auf ^ \{ −d
} definiert, denn in diesem Falle ist der Nenner von f(z) ungleich 0 (und somit
c
der Funktionswert ungleich ∞ ).
c=0 das lineare Polynom l a b (z) = a z + b und somit auf ganz ^ definiert.
d
d
,
d d
Die Funktion f, und damit alle gebrochen linearen Polynome, ist stetig auf ^ \{N}, wobei N die Menge der
Nullstellen des Nennerterms sind, weil Real- und Imaginärteil reelle, rationale Funktionen und damit
stetig. Um dies zu zeigen, muss man nur die komplexen Zahlen a, b, c, d und z in algebraischer Form
schreiben und etwas umformen.
Die Bildmenge von f ist für
−dw + b
, für alle w ∈ ^ \{ a }.
c ≠ 0 gerade ^ \{ a }. Dies folgt aus der Umkehrfunktion g(w)=
c
c
cw − a
⎛ dw − b ⎞
c=0 ist die Bildmenge ganz ^ , da für jedes w aus ^ gilt f ⎜
⎟ = w.
⎝ a ⎠
Die Umkehrfunktionen für c ≠ 0 kann bspw. wie folgt hergeleitet werden:

az + b
=: w
cz + d
⇒ az+b = w (cz+d)
⇒ az-cwz = dw - b
⇒ z(a-cw) = dw - b
f(z) =
⇒ z=
−dw + b
cw − a
Analog kann man aus
l a , b (z) = w die Umkehrfunktion von l a , b
d d
herleiten. Wir werden im Laufe dieses
d d
Dokumentes versuchen, den Definitions- bzw. Bildbereich zu erweitern.
,
2.0
Die erweiterte komplexe Ebene und die stetige Fortsetzung
Es ist bekanntlich ∞ ∈ ^ , also ist ∞ keine komplexe Zahl. Analog zur reellen Analysis für + ∞ und - ∞
kann man die Operationen von ^ zum Teil auf ^ (auschließlich! mit ∞ ) erweitern, indem man setzt
z+ ∞ :=
,
∞ +z:= ∞ , für alle z ∈ ^
\{0},
∞ ⋅ z:= ∞ , für alle z ∈ ^
z ⋅ ∞ :=
,
z/ ∞ := 0, für alle z ∈ ^
z/0 :=
\{0}.
∞ , für alle z ∈ ^
:= ^ ∪ { ∞ } die
Für diese „Rechenregeln“ existieren topologische Begründungen. Traditionsgemäß wird ^
erweiterte komplexe Ebene genannt. Oftmals wird diese auch mit Hilfe der Riemannschen Zahlenkugel
eingeführt!
Nun werden wir untersuchen, inwieweit die –bereits bekannten- stetigen Funktionen stetige Fortsetzungen
haben, falls man ∞ in Definitions- und/oder Wertebereich zulässt. Bei dieser Untersuchung werden wir
uns auf Polynome P beschränken.
n
Sei also P ein Polynom n-ten Grades mit P(z)= ∑ ak z k , also an ≠ 0, mit komplexen Koeffizienten. Ist n ≥ 1,
k =0
so ist die Abbildung P’:
→^
definiert durch P’(z) = ⎧⎨ P( z ), für z ∈ ^ offensichtlich stetig.
^
⎩∞, für z=∞
(Es genügt die Stetigkeit im Punkt
∞ zu zeigen, da P stetig ist.)
Bemerkung:
Eine entsprechende Behauptung für Polynome in z und z ist im Allgemeinen falsch! Derartige
Abbildungen müssen noch nicht einmal einen Grenzwert für z gegen ∞ besitzen.
3.0
Die Inversion als spezielle Möbius-Transformation
Die Funktion
→^
inv: ^
⎧1
*
⎪ z , falls z ∈ ^ ,
⎪
mit inv(z)= ⎨∞, falls z = 0,
⎪0, falls z=∞,
⎪
⎩
⎛0 1⎞
1 az + b
=
, mit ⎜
⎟ , also a=d=0
z cz + d
⎝1 0⎠
und b=c=1, die auf ^* definiert ist und Inversion genannt wird. Der Nachweis der stetigen Fortsetzung
1
kann man mit Hilfe des Folgenkriteriums einfach geführt werden, denn es gilt bspw. lim = 0.
z→∞ z
Durch die Darstellung in Polarkoordinaten ergibt sich die Inversion auf ^* wie folgt:
ist die stetige Fortsetzung der speziellen Möbius-Transformation z 6
1
1
1
1
= iϕ = e−iϕ = [cos(- ϕ )+i ⋅ sin(- ϕ )]
z re
r
r
Für ein Gitter lässt sich die Inversion dann wie folgt veranschaulichen:
Veranschaulichung der Inversion eines Gitters aus der z-Ebene in die w-Ebene. Quelle: wikipedia.de
Die reelle und die imaginäre Achse werden unter inv auf sich selbst abgebildet. Sonstige Geraden (als
Urbildmengen betrachtet) werden auf spezielle Kreise abgebildet, wobei auch eine Gerade in
mit unendlichem Radius betrachtet werden kann.
4.0
als Kreis
^
Die Möbius-Transformation dargestellt als Komposition der Elementartypen
az + b
mit ad-bc ≠ 0.
cz + d
(z)= a z + b , welches wir offensichtlich durch
d
d
Nun kommen wir zurück zur allgemeinen Möbius-Transformation f(z)=
Ist c=0, so gilt a ≠ 0 ≠ d, und f ist das lineare Polynom
la , b
d d
→^
stetig fortsetzen können.
∞ 6 ∞ als Abbildung ^
Ist c ≠ 0 folgt lim
z→∞
az + b
z (a + b z )
a+b z a
= lim
= lim
=
cz + d z→∞ z (c + d z ) z→∞ c + d z c
und
lim
z →− d c
az + b
z (a + b z )
a+b z
= lim
= lim
cz + d z →− d c z (c + d z ) z →− d c c + d z
a − bc d
a − bc d
=
und mit Hilfe der „Rechenregeln“ für die erweiterte komplexe Zahlenebene setzen
c−c
0
d
d
wir f im Punkt − mit − 6 ∞ stetig fort.
c
c
=
Somit erhalten wir insgesamt eine bijektive und stetige Abbildung
→^
^
mit
f*(z) =
az + b
=
cz + d
c (cz + d ) + b −
a bc − ad
1
+
⋅
.
c
c
cz + d
cz + d
d
Das f* tatsächlich stetig ist, insbesondere in den kritischen Punkten − und ∞ , sieht man in dieser
c
Funktionsdarstellung sehr schön.
f*:
a
ad
c
=
Ferner kann man durch diese Darstellung erkennen, dass f* als Komposition der folgenden Funktionen
aufgefasst werden kann:
f* =
lbc −ad a ° inv ° lc,d ,
c
,
c
wobei
→^
lc,d : ^
das fortgesetzte lineare Polynom mit
lc,d (z) = cz+d ist – im Anschluss daran wird
dieses Polynom einer Inversion inv ausgesetzt. Schließlich wird die Funktion f* durch das lineare Polynom
→^
lbc −ad a : ^
c
,
c
mit
lbc −ad a
c
,
(z) =
c
bc − ad
a
z + vervollständigt. Die drei Funktionen lc,d , inv und lbc − ad a ,
,
c
c
c
c
welche entsprechend komponiert die Möbius-Transformation ergeben werden auch Elementartypen
genannt.
nach ^
ist, denn die Komposition stetiger Funktionen
Auch dies zeigt, das f* eine stetige Funktion von ^
ergibt stets wieder ein stetige Funktion.
→^
Wir haben also gezeigt, dass die Möbius-Transformation als bijektive und stetige Funktion f*: ^
aufgefasst werden kann, und sich diese als Komposition von Elementartypen darstellen lassen kann.
5.0
Die Möbius-Gruppe MT, die Gruppe GL(2, ^ ) und deren Beziehungen
Fast man alle Möbius-Transformationen zu einer Menge MT von Funktionen zusammen, so bildet diese
Menge eine Gruppe. Dabei ist die Hintereinanderausführung (Komposition) zweier MöbiusTransformationen wieder eine Möbius-Transformation, wie man wie folgt zeigen kann:
Es seien f1(z)=
a1 z + b1
a z + b2
und f2(z)= 2
zwei Möbius-Transformationen. Dann ist
c1 z + d1
c2 z + d 2
⎛ ⎡ a1 z + b1 ⎤
⎜ a2 ⎢
⎥ + b2
c1 z + d1 ⎦
⎛ a2 z + b2 ⎞ ⎛ a1 z + b1 ⎞
⎣
⎜
f2 ° f1= ⎜
⎟ °⎜
⎟= ⎜
⎡ a z + b1 ⎤
⎝ c2 z + d 2 ⎠ ⎝ c1 z + d1 ⎠
⎜⎜ c2 ⎢ 1
⎥ + d2
⎝ ⎣ c1 z + d1 ⎦
⎞ ⎛ a2 a1 z + a2 b1 + b2 (c1 z + d1 ) ⎞
⎟ ⎜
⎟
c1 z + d1
⎟=⎜
⎟
⎟ ⎜ c2 a1 z + c2 b1 + d 2 (c1 z + d1 ) ⎟
⎟⎟ ⎜
⎟
c1 z + d1
⎠
⎠ ⎝
⎛ a a z + a2 b1 + b2 (c1 z + d1 ) ⎞ ⎛ a2 a1 z + a2 b1 + b2 c1 z + b2 d1 ⎞ ⎛ (a2 a1 + b2 c1 ) z + a2 b1 + b2 d1 ⎞ az + b
=⎜ 2 1
,
⎟ =⎜
⎟ =⎜
⎟=
⎝ c2 a1 z + c2 b1 + d 2 (c1 z + d1 ) ⎠ ⎝ c2 a1 z + c2 b1 + d 2 c1 z + d 2 d1 ⎠ ⎝ (c2 a1 + d 2 c1 ) z + c2 b1 + d 2 d1 ⎠ cz + d
az + b
mit den Koeffizienten a:=(a2a1+b2c1), b:=(a2b1+b2d1),
cz + d
c:=(c2a1+d2c1) und d:=(c2b1+d2d1).
eine Möbius-Transformation z 6
,
Wir können also die Komposition als Verknüpfung auf der Menge der Möbius-Transformationen
verwenden. Die Komposition ist assoziativ, d.h. es gilt (f°g)°h=f°(g°h) für alle Funktionen f, g und h und
damit insbesondere für Möbius-Transformationen.
→^
gibt es, wie wir weiter oben gesehen haben, eine
Zu einer jeden Möbius-Transformation f: ^
−dw + b
Inverse w 6
und offensichtlich ist diese Zuordnung wieder eine Möbius-Transformation.
cw − a
az + b z
Setzt man a=d=1 und b=c=0, so erhält man das neutrale Element der Gruppe z 6
= = z. Setzt
cz + d 1
⎛1 0⎞
⎟.
⎝0 1⎠
man die Koeffizienten in die entsprechende Matrix ein, so erhält man gerade die Einheitsmatrix ⎜
Insgesamt folgt, dass die Menge MT eine Gruppe im algebraischen Sinne bildet.
,
Wir wissen also nun, dass sowohl die Menge MT eine Gruppe ist, welche mit der wohlbekannten Menge
der 2x2-Matrizen GL(2, ^ ) korrespondiert – wie wir wissen ist auch GL(2, ^ ) eine Gruppe. Zu Beginn des
Dokuments wurde eine Abbildung von GL(2, ^ ) in die Menge der Möbius-Transformationen festgelegt,
diese wollen wir nun näher untersuchen.
⎛a b ⎞
az + b
Jeder Matrix A:= ⎜
zugeordnet. Die Zuordnung
⎟ ∈ GL(2, ^ ) wird die Möbius-Transformation z 6
cz + d
⎝c d ⎠
ist ein Gruppenhomomorphismus:
-
Bildet man die Einheitsmatrix E2 der Gruppe GL(2, ^ ) auf die entsprechende MöbiusTransformation ab, so erhalten wir die Einheit der Menge ML, nämlich z.
⎛ a b2 ⎞ ⎛ a1 b1 ⎞
Dem Produkt ⎜ 2
⎟⎜
⎟ der Matrizen A1 und A2 aus GL(2, ^ ) entspricht genau der
⎝ c2 d 2 ⎠ ⎝ c1 d1 ⎠
Komposition zweier Möbius-Transformationen f2° f1 mit f1(z)=
a1 z + b1
a z + b2
und f2(z)= 2
.
c1 z + d1
c2 z + d 2
Es gilt also f2(A2)° f1(A1) = f(A2A1) = f(A), und damit folgt, dass die Abbildung von GL(2, ^ ) nach ML ein
Gruppenhomomorphismus ist.
,
Bemerkung:
⎪⎧⎛ a 0 ⎞
⎪
*⎫
⎟ a ∈ ^ ⎬ . Diese Menge ist ebenfalls ein Normalteiler
⎪⎩⎝ 0 a ⎠
⎭⎪
Der Kern dieses Gruppenhomomorphismus ist ⎨⎜
von GL(2, ^ ) und isomorph zur multiplikativen Gruppe ^* .
Beispiel:
⎛1 1 ⎞
⎛1 −1⎞
z +1
z −1
und f2(z)=
, entsprechend sind A1= ⎜
⎟ und A2= ⎜
⎟ . Da die
1
1
−
z −1
z +1
⎝1 1 ⎠
⎝
⎠
Voraussetzungen erfüllt sind, muss also f2(A2)° f1(A1) = f(A2A1) = f(A) gelten. Dies überprüfen wir durch
einfaches Nachrechnen:
⎛1 −1⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎛ 0 2 ⎞
Zunächst berechnen wir das Matrizenprodukt A2A1 = ⎜
⎟⎜
⎟ =⎜
⎟ . Durch die Komposition
⎝1 1 ⎠ ⎝1 −1⎠ ⎝ 2 0 ⎠
Es seien f1(z)=
⎛ ⎛ z +1⎞ ⎞ ⎛ ⎛ z +1− z +1⎞ ⎞
⎟
⎜ ⎜ z −1 ⎟ −1 ⎟ ⎜ ⎜
2
z − 1 ⎠ ⎟⎟ 2 z − 1
⎛ z −1 ⎞ ⎛ z +1 ⎞
⎝
⎠ ⎟ =⎜⎝
f2(z)° f1(z) = ⎜
=
, also b=c=2 und a=d=0.
⎟°⎜
⎟ = ⎜ z +1
1
1
z
+
+
z
−
2z
⎞ ⎟ z −1 2z
⎜⎛
⎞ ⎟ ⎜⎛
⎝ z +1 ⎠ ⎝ z −1 ⎠
1
+
⎟
⎜ ⎜ z −1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜
z − 1 ⎠ ⎟⎠
⎠ ⎠ ⎝⎝
⎝⎝
,
Bemerkung:
⎫
⎪⎧⎛ a 0 ⎞
⎧ az
⎫
*⎪
a ∈ ^* ⎬ bzw. ⎨⎜
⎟ a∈^ ⎬ .
⎩a
⎭
⎪⎩⎝ 0 a ⎠
⎭⎪
Der Kern dieses Gruppenhomomorphismus ist ⎨
⎫
⎪⎧⎛ a 0 ⎞
*⎪
*
⎟ a ∈ ^ ⎬ ist ein Normalteiler von GL(2, ^ ) und isomorph zur multiplikativen Gruppe ^ .
⎪⎩⎝ 0 a ⎠
⎪⎭
Die Menge ⎨⎜
Beweis:
Wir beweisen nur einen Teil der Aussagen.
Es sei f:GL(2, ^ ) → ML die Abbildung, welche jeder Matrix eine Möbius-Transformation zuordnet (vgl.
Definition – hier ist die Zuordnung gerade umgekehrt, was allerdings der Sache keinen Abbruch tut).
Wir erinnern uns, wie die Menge Kern(f) definiert ist:
Kern(f)={A ∈ M22( ^* )| f(A)=Id}.
Es müssen also alle Matrizen gefunden werden, dessen zugeordnete Möbiustransformation gerade der
Einheitsmatrix entsprechen. Mit Hilfe des obigen Beispiels sollte dies kein Problem mehr sein, denn es gilt
⎡⎛ a 0 ⎞ ⎤
⎡⎛ 1 0 ⎞ ⎤
az
z
⎟ ⎥ = a = 1 = z = f ⎢⎜
⎟ ⎥ . Natürlich ist Kern(f) eine Untergruppe von GL(2, ^ ).
⎣⎝ 0 a ⎠ ⎦
⎣⎝ 0 1 ⎠ ⎦
schließlich f ⎢⎜
,