1 Den Trick verstehen a) Till rechnet erst einmal fünf

1 Den Trick verstehen
a) Till rechnet erst einmal fünf Beispiele.
Schreibe auch mehrere Beispiele auf und rechne sie aus.
Kommst du mit Tills Weg auch auf den Trick?
b) Merve hat eine andere Idee, um dem Trick auf den Grund zu gehen.
Sie schreibt Tills Rechnung in einem einzigen Term auf.
Dann vereinfacht sie den Term schrittweise.
„So erkenne ich, dass immer 9 herauskommt.“
• Erkläre Merves Rechenweg schrittweise.
• Führe ihn auch mit anderen Zahlen durch, zum Beispiel mit 85.
• Was erkennst du?
• Warum ist es nützlich, wenn man so umständlich rechnet?
2 Zahlen mit Stellenwerten aufschreiben
So viele Beispiele
finde ich verwirrend.
Kann man das nicht
für eine x-beliebige
Zahl aufschreiben?
a) Merve hat x Zehner und y Einer.
Welcher der Terme beschreibt die Gesamtzahl?
Gut zu wissen:
Zwischen Zahlen
und Variablen
kann man den
Malpunkt
weglassen. xy
bedeutet also x·y
(und nicht x + y).·
x·y
x+y
10x + y
10xy
x + 10y
Probiere mit dem Beispiel 37 aus. Was ist x, was ist y?
Was passiert, wenn du für x und y in die Terme einsetzt und ausrechnest?
b) Mit welchem Term kannst du Zahlen wie 939, 848 oder 252 beschreiben?
3 Quadratische Formeln
Beim Rechnen mit Termen und Variablen kommt es immer wieder vor, dass
man zwei Summen miteinander multipliziert:
(40 + 7)·(60 + 3) oder allgemein
Neues Wort:
ausmultiplizieren
(a + b)·(c + d)
a) Erkläre am Malkreuz, wie man den Term ausrechnen kann.
Man nennt das auch „ausmultiplizieren“.
b) Erkläre am Malkreuz und
am Rechteckbild, wie
man einen Term wie
oben allgemein
ausmultipliziert:
Fasse dein Ergebnis als Gleichung
zwischen zwei Termen zusammen:
(a + b)·(c + d) =
Beschreibe die Termrechnung auch mit Worten.
c) Vergleicht eure Ergebnisse und übertragt sie in den Wissensspeicher.
d) Wenn beide Faktoren gleich sind, werden die Ergebnisse besonders einfach:
(a + b)·(a + b) = (a + b)2 =
Neues Wort:
binomische
Formel
Zeichne dazu auch ein Malkreuz und ein Rechteckbild.
Welche Besonderheiten ergeben sich dabei?
Man nennt die Formel auch „binomische Formel“. Ein BI-NOM bedeutet, dass
in der Formel ZWEI-NAMEN, also zwei Variablen vorkommen.
5 Quadrieren im Kopf
a) Untersuche die Quadrate von mindestens fünf Zahlen, die auf fünf enden.
Welches Muster entdeckst du?
Was hat Till möglicherweise entdeckt?
b) Ole, Pia und Till haben verschiedene Ideen.
Versuche, jede einzelne Idee zu verstehen, und vergleiche sie.
Wie hängen die drei Erklärungen unten zusammen?
➊ Ole verwendet sein Quadrat- ➋ Pia schlägt vor, die
bild, um die Rechnung zu
Zahl wieder mit Zehnern
untersuchen.
und Einern zu schreiben.
Wie könnte man
das Ergebnis von
(40 + 5)(40 + 5)
am Bild erklären?
Welchen Wert haben die
einzelnen Flächen?
Wie schreibt sie die
Zahlen 10, 25, 35, ...
allgemein mit x auf?
➌ Till erinnert sich an das Malkreuz und verwendet dabei auch
gleich ein x.
x • 10
x • 10
5
Versuche, Pias Term zu
quadrieren.
Welches Ergebnis bekommt er?
c) Kannst du den Trick nun erklären? Verwende dazu die Ideen aus b), die du
am besten verstanden hast.
d) Schreibe den Rechentrick, den du gefunden hast, für jemand auf, der ihn
auch lernen möchte.
• Beschreibe in Worten, wie man rechnen muss.
• Begründe, warum der Trick funktioniert.
5
6 Multiplizieren im Kopf
a) Welches Muster hat er wohl
entdeckt?
Beschreibe es in Worten.
b) Beschreibe den Rechentrick, der sich aus diesen
Beobachtungen ergibt.
• Welche Rechnungen kann man nun im Kopf
einfacher rechnen?
• Wie geht man dabei vor?
• Bei welchen Zahlen geht das?
Gut zu wissen:
Du hast schon früher Gleichungen zwischen Termen aufgeschrieben,
z. B.: (a + b) • h = a • h + b • h
c) Die Entdeckung, dass man die Multiplikation 13 • 7 auch durch eine andere Rechnung
ersetzen kann, kann man auch knapp so aufschreiben: Term 1 = Term 2
Welche Terme sollten auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens stehen?
d) Klappt der Trick auch für andere Zahlen?
Probiere es aus, z. B. mit (18 – 2) • (18 + 2) oder (100 + 5) • (100 – 5).
Schreibe zu deinen Untersuchungen auch jeweils Terme auf.
e) Mit dieser Idee hat der Rechenkünstler auch einen anderen Rechentrick erfunden.
Statt 39 • 39 rechnet er zum Beispiel 38 • 40. Dann muss man nur 38 • 4 im Kopf rechnen.
• Erkläre, wie es weitergeht. Wie bekommt er dann das Ergebnis von 39 • 39?
• Wie würde er 35 • 35 rechnen? Vergleiche mit dem Rechentrick aus Aufgabe 5.
f) Schreibe in deinen Worten auf: Was bedeutet eine Gleichung, bei der auf beiden Seiten
ein Term mit einer Variablen steht? Gib ein Beispiel.