1. Perspective cavalière

1. Perspective cavalière
1.1 vocabulaire de base
Pour dessiner un solide à l'aide de la perspective cavalière il faut distinguer:
le point de vue :
C'est l'endroit où se trouve l'observateur. Pour que l'objet soit représenté avec un certain effet de volume il faut
que l'observateur soit placé un peu à droite ou à gauche sur une droite horizontale (parallèle à la droite
d'horizon) et un peu au dessus ou au dessous sur une droite verticale (perpendiculaire à la droite d'horizon).
les plans frontaux:
Ce sont les plans situés dans un plan perpendiculaire à notre regard , vu de face
les fuyantes ou lignes de fuite :
On appelle fuyante ou ligne de fuite toute droite perpendiculaire aux plans frontaux .
1.2 Propriétés géométriques conservées sur des faces frontales
Les dimensions (longueurs, largeurs, hauteurs, rayons,...) sont conservées.
Les angles ont leur mesure réelle.
En résumé , ces faces sont dessinées dans leurs formes réelles, à l'échelle.
Remarque : le parallélisme est conservé: des faces qui contiennent des droites parallèles, sont dessinées avec des droites parallèles
1.3 Propriétés géométriques conservées sur des faces fuyantes
Les segments verticaux sont représentés par des segments verticaux dont les longueurs sont les vraies
longueurs.
Le parallélisme est conservé : des faces qui contiennent des droites parallèles, sont dessinées avec des droites
parallèles.
Le partage en segment égaux, sur les segments fuyants, est conservé et notamment le milieu.
Attention : les mesures des angles ne sont pas conservées .
En particulier , deux segments perpendiculaires situés sur une face fuyante ne pas perpendiculaires sur le dessin .
ABCDEFGH est un cube .
H
E
G
F
D
A
C
B
1.4 Eléments caractéristiques d'une perspective cavalière
Angle de fuite: c'est l'angle a que font toutes les droites fuyantes d'une face fuyante, avec l'horizon du
dessinateur.
Coefficient de fuite: c'est le nombre r par lequel nous multiplions les dimensions réelles des segments
fuyants (sur les droites fuyantes) pour obtenir leurs dimensions sur le dessin.
Le couple (r ; a) caractérise donc la perspective cavalière employée .
Remarques : usuellement , l'angle de fuite est 30° et le coefficient de fuite est


1
2
.
1
; 45 °
, mais elle a pour inconvénient de faire se
2
confondre les fuyantes et les diagonales de la face avant d'un cube .
Exemple :
1
; 30 ° .
Tracer un cube d'arête 6 cm en perspective cavalière caractérisée par
2
Tracer un cube dont les sommets de la face inférieure sont situés sur les milieux des
arêtes de la face supérieure du premier cube .
L'AFNOR recommande d'utiliser la perspective


2. Positions relatives de plans et de droites dans l'espace
2.1 Règles de bases
Deux points distincts de l'espace définissent une droite et une seule .
l Trois points non alignés définissent un plan et un seul .
l Toute droite dont deux points distincts appartiennent à un plan est incluse dans ce plan .
l
2.2 Positions relatives de deux plans
Deux plans distincts de l'espace (P1) et (P2) sont :
l soit parallèles ;
l soit sécants .
Dans ce dernier cas , (P1) et (P2) se coupent suivant une droite .
Exemple : ABCDEFGH est un cube .
On note I le centre de ABCD et J le centre de EFGH .
E
H
J
F
G
A
D
I
B
C
2.3 Positions relatives de deux droites
Deux droites coplanaires sont :
l soit sécantes ;
l soit parallèles .
Deux droites non coplanaires ne sont ni parallèles , ni sécantes .
Exemple : On considère un tétraèdre ABCD .
A
On note I , J et K les milieux respectifs de [AB] , [BC] et [BD] .
On note L et M les points situés sur [AC] et [AD] respectivement
1
1
AL= AC
AM = AD .
et tels que :
et
4
4
L
M
I
1. Donner la position relative des droites ci-dessous :
a) (AB) et (IJ) ;
b) (BK) et (CD) ;
c) (JK) et (AC) ;
d) (AB) et (LM) ;
e) (IL) et (BC) .
2. Justifier que les points L , M , J et K sont coplanaires .
B
J
K
C
D
2.4 Droite parallèle à un plan
Une droite (D) est parallèle à un plan (P) si elle est contenue dans (P) ou si elle n'a aucun point d'intersection
avec (P) .
Exemple : dans l'exemple précédent , les droites ....... et ....... sont parallèles au plan (ACD) .
2.5 Position relative d'une droite et d'un plan
Soit (P) un plan de l'espace et (D) une droite .
Si (D) n'est pas incluse dans le plan (P) , alors (D) et (P) sont :
l soit sécants et l'intersection de (P) et de (D) est un point ;
l soit strictement parallèles .
Exemple : ABCDEFGH est un cube .
On note I le centre de EFGH .
1. Tracer le point d'intersection de la droite (AI) et du plan
(CDH) .
H
2. Tracer la droite d'intersection des plans (ABI) et (CDH) .
G
I
E
F
D
C
A
B
3. Propriétés
3.1 Plans parallèles
Si deux droites sécantes d'un plan (P1) sont parallèles à deux droites sécantes d'un plan (P2) , alors les plans
(P1) et (P2) sont parallèles .
l Si deux plans sont parallèles , alors toute droite contenue dans l'un des deux plans est parallèle à l'autre
plan .
A
Exemple : On considère un tétraèdre ABCD .
l
On note I , J et K les milieux respectifs de [AB] , [BC] et [BD] .
On note L et M les points situés sur [AC] et [AD] respectivement
1
1
AL= AC
AM = AD .
et tels que :
et
4
4
L
M
I
1. Montrer que les plans (IJK) et (ACD) sont parallèles .
B
2. Montrer que la droite (CM) est parallèle à (IJK) .
J
K
C
D
3.2 Droite parallèle à un plan
Si deux droites (D) et (D') sont parallèles , alors la droite (D) est parallèle à tout plan contenant (D') .
Exemple : en reprenant la figure et les données précédentes , on peut dire que la droite (JK) est parallèle aux
plans ............. et ............. .
3.3 Théorème d'incidence
On considère deux plans plans parallèles (P1) et (P2) .
Si (P3) est un plan sécant à (P1) , alors :
l il est également sécant à (P2) ;
l la droite d'intersection de (P1) et de (P3) est parallèle à la droite d'intersection de (P2) avec (P3) .
A
Exemple : On considère un tétraèdre ABCD .
On note I , J et K les milieux respectifs de [AB] ,
[BC] et [BD] .
L
M
I
Les plans (IJK) et (ACD) sont parallèles .
Le plan (BCD) est sécant avec (IJK) et la droite
d'intersection de ces deux plans est ..........
On en déduit qu'il est également sécant avec (ACD) et
la droite d'intersection de ces deux plans est .......... .
B
J
K
C
D
3.4 Théorème du toit
Soient deux droites (D1) et (D2) parallèles .
On considère deux plans sécants (P1) et (P2) de telle sorte que :
l (P1) contient (D1)
l (P2) contient (D2) .
Dans ces conditions , la droite d'intersection de (P1) et de (P2) est parallèle aux droites (D1) et (D2) .
Exemple : ABCDEFGH est un cube .
H
On note I et J les milieux respectifs des segments
[AD] et [BC] .
La droite d'intersection du plan (ABF) et du plan
(EIJ) est la droite ........ .
G
E
F
Tracer la droite d'intersection des plans (ACF) et
(EBG) .
D
C
I
A
J
B
4. Conséquences pour les tracés en perspective cavalière
4.1 Intersection d'une droite et d'un plan
Principe général : Pour déterminer l'intersection d'une droite (D) et d'un plan (P) , il suffit de trouver un plan
contenant à la fois (D) et une droite (D ') (non parallèle à (D)) contenue dans (P) .
Le point d'intersection de (D) et du plan (P) est obtenu en considérant le point d'intersection de (D) et de (D ') .
Exemple : ABCD est un tétraèdre .
D
M est le milieu du segment [AD]
et N le point du segment [CD] tel que :
3
DN = DC .
4
Tracer P, le point d'intersection de la droite (MN) et du plan
(ABC) .
M
N
C
A
B
4.2 Intersection de deux plans
Méthode 1 : on suppose que (P1) et (P2) sont deux plans sécants et que l'on connaît :
l deux points A et B communs aux deux plans
Dans ce cas , la droite d'intersection de (P1) et de (P2) est la droite passant par A et B .
Méthode 2 : on suppose que (P1) et (P2) sont deux plans sécants et que l'on connaît :
l deux droites parallèles (D1) et (D2) contenues respectivement dans (P1) et (P2) ;
l un point A commun à (P1) et (P2) .
Dans ce cas , la droite d'intersection de (P1) et de (P2) est la parallèle à (D1) (ou (D2)) passant par A .
Exemple 1 : ABCDEFGH est un cube .
Exemple 2 : SABCD est une pyramide à base
rectangulaire .
H
S
G
E
F
D
C
B
A
A
B
Tracer la droite d'intersection des plans (AEC) et
(ADF) .
C
D
Tracer la droite d'intersection des plans (SAB) et
(SCD) .