Géométrie dans l`espace

Ch 15 – géométrie dans l’espace
JA
Géométrie dans l’espace.
I. Perspective cavalière
a) Définition
 On appelle plan frontal tout plan vu de face
Une ligne de fuite est une droite perpendiculaire aux plans frontaux
Ex : sur la représentation du cube, les faces ABFE et CDHG sont
situées dans des plans frontaux
Les droites (AD), (BC), (FG) et (EH) sont des lignes de fuites.
 Un solide est représenté en perspective cavalière de caractéristiques (1, ½ ; 30°) lorsque
sur sa représentation :
- les longueurs dans les plans frontaux sont à l’échelle 1
- les longueurs sur les lignes de fuite sont à l’échelle ½
- les lignes de fuite sont parallèles entre elles et l’angle aigu apparent qu’elles font
avec les droites horizontales des plans frontaux est de 30°.
b) Propriétés

le milieu d’un segment dans l’espace est représenté en perspective cavalière par le milieu
du segment de la représentation
deux droites parallèles dans l’espace sont représentées en perspective cavalière par deux
droites parallèles.

II. Construction d’un patron
a) Propriété

Le patron d’un polyèdre est constitué de toutes les pièces planes servant à la
construction de ce polyèdre par pliage. Dans un patron de polyèdre, toutes les longueurs
sont représentées à la même échelle et tous les angles, situés sur une face plane, sont
représentés en valeur réelle.
Exemple : le tétraèdre régulier ABCD est une pyramide dont les quatre faces sont des triangles
équilatéraux.
les échelles sont différentes
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
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Le patron d’un cylindre ou d’un cône est constitué des surfaces planes du solide et du
développement plan des surfaces latérales.
III. AIDE
Perspective cavalière
 les lignes de fuite sont dirigées habituellement vers le haut et vers la droite
 la perspective cavalière déforme les angles qui ne sont pas dans un plan frontal.
Les angles droits paraissent aigus ou obtus, sauf s’ils sont dans un plan frontal. La
perspective cavalière ne conserve pas l’orthogonalité.
 La position d’un point M en perspective cavalière doit être indiquée par le texte. Il
faut se méfier des effets de relief.
 Deux droites peuvent paraître sécantes, mais n’avoir aucun point en commun.
Construction d’un patron
Certains points d’un solide apparaissent plusieurs fois sur un patron : ce sont les points situés
sur les lignes de découpe de ce patron.
Les points A et B sont
représentés 3 fois ; les
points E et F deux fois.
IV. Positions relatives de droites et de plans
Par convention, on représente les plans de l’espace par des parallélogrammes.
Dans l’espace, il suffit de trois points non alignés pour déterminer un plan.
Deux droites sécantes ainsi que deux droites strictement parallèles déterminent un seul plan.
Dans le plan, deux droites qui n’ont pas de point en commun sont parallèles.
Dans l’espace, deux droites qui n’ont pas de point commun ne sont pas forcément parallèles, car
elles peuvent être dans des plans différents.
Lorsque deux plans ont un point en commun, soit ils sont confondus, soit ils ont en commun une
droite passant par ce point.
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La droite d’intersection de deux plans est la droite de tous les points communs aux plans.
a) Définitions



deux droites de l’espace sont coplanaires lorsqu’elles sont contenues dans un même
plan
deux plans sont sécants lorsqu’ils ont une seule droite en commun
une droite de l’espace et un plan sont sécants lorsqu’ils ont un seul point en
commun.
V. Parallélisme dans l’espace
a) Définitions


Ex :

Deux droites de l’espace sont parallèles lorsqu’elles sont coplanaires et qu’elles sont
parallèles dans ce plan.
Une droite et un plan sont parallèles lorsqu’ils n’ont pas de point en commun ou quand
la droite est incluse dans le plan
Deux plans sont parallèles s’ils n’ont aucun point commun ou s’ils sont confondus
M
M et N sont deux points quelconques des arêtes [AB] et [EF]
La droite (MN) et le plan (DCG) sont parallèles
Les plans (ABF) et (DCG) sont parallèles, car ils n’ont aucun
point commun
N
b) Propriétés



Une droite est parallèle à un plan si, et seulement si, elle est parallèle à une droite de ce
plan.
Si une droite est parallèle à deux plans sécants, alors elle est parallèle à la droite
d’intersection des deux plans
Si deux plans passent par deux droites parallèles et s’ils sont sécants, alors la droite
d’intersection des deux plans est parallèle aux deux droites.
Dans le prisme droit, la droite (IJ), qui passe par les milieux I et J
des côtés [AB] et [DE], est parallèle au plan (BCF).
La droite (IJ) est aussi parallèle à la droite (CF), droite
d’intersection des plans (BCF) et (ACF)
Les plans (ACF) et (BCF) passent par les deux droites parallèles
(BE) et (AD), la droite (CF) est ainsi parallèle à ces deux droites


Si un plan coupe deux plans parallèles, alors il coupe ces deux plans suivant deux droites
parallèles.
Deux plans sont parallèles lorsque deux droites sécantes de l’un sont respectivement
parallèles à deux droites sécantes de l’autre.
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VI. Orthogonalité dans l’espace
a) Définitions
Deux droites sont orthogonales lorsque les parallèles à ces deux droites, menées par un point
quelconque de l’espace, sont perpendiculaires.
Les droites (AD) et (HG) sont orthogonales, car les
droites parallèles à ces deux droites, menées par le
point C (c’est à dire (CB) et (CD) sont
perpendiculaires.)
Une droite est orthogonale à un plan lorsque :
- la droite et le plan sont sécants
- la droite est orthogonale (ou perpendiculaire) à deux droites sécantes du plan.
b) Propriétés




Si une droite est orthogonale à un plan, alors elle est orthogonale à toutes les droites de ce
plan.
Deux droites orthogonales contenues dans un même plan sont perpendiculaires
Dans un plan, deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles
Dans l’espace, deux droites perpendiculaires (ou orthogonales) à une même troisième
droite ne sont pas obligatoirement parallèles.
ABCDEF est un prisme droit.
Les droites (BC) et (DF) sont orthogonales à la droite (AD). Elles
ne sont pas contenues dans le même plan, donc elles ne
peuvent être parallèles.
En revanche, les deux droites (BC) et (Ef) sont orthogonales à
la droite (AD). Comme elles sont dans le même plan (BEC),
elles sont parallèles.
VII. Aide
a) Représenter le point d’intersection d’une droite et d’un plan
Méthode :
On ne peut obtenir directement le point d’intersection d’une droite et d’un plan ; il faut d’abord
déterminer le point commun de deux droites.
- trouver un plan dans lequel est contenu la droite
- tracer la droite d’intersection des deux plans
- tracer le point d’intersection de la droite et de la droite commune.
Exemple :
SABC est un tétraèdre. Les points M et N sont respectivement sur les arêtes [SA] et [SC].
Représenter le point d’intersection de la droite (MN) et du plan (ABC)
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La droite (MN) se trouve dans le plan (SAC) .
Les plans (SAC) et (ABC) ont en commun la
droite (AC)
Les deux droites (MN) et (AC) sont
coplanaires, elles se coupent en I
I est le point d’intersection de la droite (MN)
et du plan (ABC)
b) Représenter la droite d’intersection de deux plans sécants
Méthode :
-
Trouver deux droites sécantes contenues respectivement dans chacun des deux
plans.
Placer le premier point commun aux deux plans
Recommencer avec deux autres droites pour obtenir un deuxième point commun
aux deux plans
Tracer la droite passant par deux points communs aux deux plans : c’est la droite
d’intersection des deux plans.