Géométrie dans l`espace – Exercices

Géométrie dans l'espace – Exercices
A. Introduction
Nécessité des pointillés
B
C
D
A
H
La figure représente un cube ABCDEFGH.
En observant attentivement cette figure, on peut voir apparaître
deux cubes différents :
- soit c'est la face ADFE qui est au premier plan
- soit c'est la face BCGH qui est au premier plan.
G
Pour éviter ce genre de confusion, on a adopté la convention
suivante : les arêtes cachées sont dessinées en pointillés.
F
E
On devra donc choisir l'un des deux dessins suivants :
B
C
D
A
H
B
D
A
H
G
F
E
E
La face ADFE est au premier plan.
Les arêtes [EH], [BH] et [HG] sont cachées
donc représentées en pointillés.
C
G
F
La face BCGH est au premier plan.
Les arêtes [DA], [DC] et [DF] sont cachées
donc représentées en pointillés.
Interprétation des figures en perspective
B
C
D
A
H
E
G
F
La figure représente un cube ABCDEFGH en perspective
cavalière.
Les 6 faces sont des carrés.
Questions :
- comparer les longueurs des segments [AC] et [BD]
- les droites (AC) et (BD) sont elles perpendiculaires ?
- quel est le point d'intersection des droites (BC) et (DF) ?
- dans le plan, deux droites qui n'ont aucun point commun sont
parallèles; en va-t-il de même dans l'espace ?
- marquer le point I milieu de [DF]; quelle est la nature du
triangle IFG ?
Conclusion : il faut bien distinguer ce qu'on voit et mesure sur la figure en perspective et ce qui se
passe dans la réalité.
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Exercice 1
G
H
E
ABCDEFGH est un cube.
 et HFA
 ?
Quelles sont les mesures des angles HFE
F
Pour trouver, déterminer la nature des triangles HFE et HFA.
D
C
A
B
Exercice 2
H
G
F
E
D
C
A
ABCDEFGH est un pavé droit (parallélépipède rectangle) tel
que AB = BC = 4cm et AE = 3cm.
Quelle est la nature du triangle EBD ?
(on pourra calculer les longueurs des côtés)
B
B. Intersections de droites et de plans
Dans un cube
B
C
D
A
H
G
F
E
ABCDEFGH est un cube.
1. Déterminer les intersections des plans suivants :
- (ABC) et (CFG)
- (BDF) et (EHG)
- (ABF) et (CHG)
2. Les faces opposées d'un cube sont parallèles.
Expliquer pourquoi la droite (BD) est parallèle au plan (EFG), puis
pourquoi la droite (AC) est aussi parallèle au plan (EFG).
Peut-on dire que deux droites parallèles à un même plan sont
parallèles entre elles ?
A partir d'un tétraèdre
A
I
J
D
B
C
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ABCD est un tétraèdre.
1. I est un point de [AB] et J est un point de [AC].
La droite (IJ) coupe le plan (BCD) en un point E.
Construire le point E et justifier la construction.
2. I est toujours un point de [AB], mais cette fois J est un point
de la face ACD. La droite (IJ) coupe le plan (BCD) en E.
Construire le point E et justifier la construction.
3. I est un point de la face ABC et J est un point de la face ACD.
La doite (IJ) coupe le plan (BCD) en E.
Construire le point E et justifier la construction.
Section d'un cube
B
C
D
A
ABCDEFGH est un cube.
On appelle I le milieu de [AB] et J le point de [AE] tel que
AE
AJ =
.
3
On veut construire l'intersection du plan (FIJ) avec le cube.
1. Quelles sont les intersections du plan (FIJ) avec les faces ADFE et
ABHE ?
2. Que peut-on dire de l'intersection de (FIJ) avec la face DFGC ?
F
E
Tracer la droite (FK) qui est cette intersection, K étant un point de
[CG].
3. Tracer la droite (KL) intersection de (FIJ) avec la face BCGH, L étant un point de [BC].
4. Terminer la construction de l'intersection de (FIJ) avec le cube.
H
G
B
C
L
I
D
A
K
J
H
G
E
5. On veut déterminer la position de K sur [CG].
Pour cela considérons le point M milieu de [CD]
DF
et le point N de [FD] tel que DN =
. Les
3
droites (IJ) et (MN) sont parallèles, donc (MN) est
parallèle à (FK).
Représenter la face DCGF en vraie grandeur, ainsi
que les points M, N et K.
La droite (FK) coupe (DC) en P.
Que peut-on en déduire sur la position de K ?
F
C. Parallélisme
Exercice 1
B
C
D
A
J
I
ABCDEFGH est un cube.
I est le milieu de [AD] et J est le milieu de [CD].
Les droites (IJ) et (EG) sont-elles parallèles ?
F
E
G
H
1. Montrer que les droites (AC) et (EG) sont parallèles.
Le plan (ACG) coupe le plan (ABC) suivant (AC) et le plan (EFG) suivant (EG). Comme
les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles, les droites (AC) et (EG) le sont aussi.
2. Montrer que les droites (IJ) et (AC) sont parallèles.
Dans le triangle ACD, I est le milieu de [AD] et J est le milieu de [CD]. La droite (IJ) est
donc parallèle à (AC).
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3. En déduire que les droites (IJ) et (EG) sont parallèles.
On a montré que (IJ) // (AC) et que (AC) // (EG). On en déduit que (IJ) // (EG).
Exercice 2
B
C
I
A
D
J
ABCDEFGH est un cube.
I est le milieu de [AD], J est le milieu de [CD], K est le milieu de [FG]
et L est le milieu de [GH].
Quelle est l'intersection des plans (EIJ) et (EHG) ?
K
F
G
L
E
H
1. Vérifier que le point E appartient à l'intersection de (EIJ) et (EHG).
2. Quelle est l'intersection des plans (ABC) et (EIJ) ? Qu'en déduit-on pour l'intersection de (EIJ) et
(EHG) ?
3. Montrer que (IJ) et (EG) sont parallèles, puis conclure.
Exercice 3
B
C
D
A
La figure représente un cube ABCDEFGH.
I est le milieu de [CD], J est le milieu de [EH] et K est le milieu de [EF].
Quelle est l'intersection des plans (BIH) et (EFG) ?
F
G
K
E
I
J
H
1. Montrer que le point H appartient à l'intersection de (BIH) et (EFG).
2. Quelle est l'intersection des plans (ABC) et (BIH) ? Qu'en déduit-on pour l'intersection de (BIH)
et (EFG) ?
3. Conclure.
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