Réaction nucléaire en chaˆıne dans une bombe atomique ou un

Applications des mathématiques:
Réaction nucléaire en chaı̂ne dans
une bombe atomique ou un
réacteur nucléaire
Mathématiques
Appliquées et
Génie Industriel
Résumé
On présente le modèle qui décrit l’évolution dans le temps du nombre
de neutrons au cours d’une réaction en chaı̂ne dans une bille d’uranium. Ce modèle est l’équation de chaleur avec un terme de correction. On applique ensuite le modèle pour prédire l’existence d’un
noyau minimale en-dessous de quoi aucune réaction nucléaire ne
peut être maintenue indéfiniment.
Domaines du génie
Génie physique
Notions mathématiques
Équation de la chaleur, Équations aux dérivée partielles, Méthode
de séparation de variables.
Cours pertinents
Équations différentielles
Auteur(es)
M.Laforest, A.Saucier
Sommaire
Réaction nucléaire
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MAGI
Introduction
L’énergie nucléaire commenece à jouer un rôle important dans le 21ème siècle avec la montée des prix
du pétrole. Nous verrons que ce processus, qui n’as pas de rapport avec le transfert de chaleur, est en
fait modélisé par la même équation.
Le nombre de neutrons libre dans une réaction nucléaire peut être modélisé par l’équation de la chaleur .
On présente le modèle, on le résout et puis on utilise la solution pour caractériser le rayon critique d’une
bille d’uranium nécessaire pour maintenir une réaction nucléaire. Ceci est une prédiction non-triviale du
modèle mathématique que la physique du problème n’avait pas envisager.
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Modélisation
La fission est la rupture d’un atome d’uranium à noyau lourd, qui sous l’impact d’un neutron, se scinde
en deux atome à noyau légers. Lors de la fisson, il y a aussi production de deux à trois neutrons ayant
une grande énergie cinétique et qui peuvent à leur tours entraı̂ner des fissions. C’est le principe de la
réaction en chaı̂ne.
Le modèle suivant décrit l’évolution dans le temps du nombre de neutrons au cours d’une réaction en
chaı̂ne dans une bille d’uranium.
Soit N la densité de neutrons ( nb. de neutrons par unité de volume).
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Réaction nucléaire
MAGI
Le taux de variations de N est contrôlé par deux phénomènes : la diffusion des neutrons dans la bille
et la production de neutrons par fission.
Soit :
D = diffusivité des neutrons (m2 /s qui mesure la vitesse à laquelle diffuse les neutrons libres).
γ = taux de fission (% des neutrons/s) qui mesure le pourcentage des neutrons qui scindent des
noyaux d’uranium par seconde.
∂N
= D ∆N + (production de neutrons libres/s),
∂t
= D ∆N + γ N,
où ∆N =
∂2N
∂2x
+
∂2N
∂2y
+
∂2N
.
∂2z
Si la fission débute au centre d’une bille alors c’est naturelle de supposer qu’elle aura une symétrie
sphérique, c’est à dire que N ne dépendra que de r, la distance du centre et le temps t.
En coordonnées sphériques, l’opérateur Laplacien ∆N se simplifie un peu et on obtient :
∂2N
2 ∂N ∂N
+ γN.
=D
+
∂t
∂2r
r ∂r
Les conditions à satisfaire sont :
N (r, t) borné pour r ∈ [0, a],
N (a, t) = 0,
réaction controlée,
aucune perte de neutrons.
N (r, 0) = f (r),
densité initiale.
Un exercice long mais intéressant permettrait à l’étudiant de vérifier à l’aide de la méthode de séparation
des variables que :
2 ∞
X
kπ
kπ
1
r e γ− a D t ,
N (r, t) =
ck sin
r
a
k=1
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Réaction nucléaire
MAGI
où les coefficients ck viennent de la distribition initiale de la densité, qui elle est connue d’avance,
∞
X
kπ
1
r .
N (r, 0) = f (r) =
ck sin
r
a
k=1
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Interprétation des résultats
Nous ferons la preuve de ce résultat. Pour que la réaction en chaı̂ne se poursuive indéfiniment, il ne faut
pas que N (r, t) → 0 quand t → ∞. Dans la solution, les seuls termes qui dépendent du temps sont
2 γ− kaπ D t
e
k = 1, 2, ...
dont le plus grand est celui avec k = 1
e
γ−
π
a
2 D t
. Si ce terme tend vers zéro, alors les autres aussi le feront. Clairement, il ne tendra pas vers zéro si le
coefficient devant le temps t > 0 est positif, c-à-d
2
π
γ−
D > 0.
a
Avec un peu d’arithmétique, cette condition peut se réécrire ainsi
s
D
≡ Rc .
a>π
γ
On appelle Rc le rayon critique.
Si la sphère est trop petite, alors les neutrons peuvent s’en échapper sans provoquer de nouvelles fissions,
et la réaction en chaı̂ne s’arrête.
Figure 1: Graphique de la densité de neutron en fonction du rayon et du temps dans une bille
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Réaction nucléaire
MAGI
Références
[1] SPIEGEL, Murray R. Applied differential equations. Englewood Cliffs, N.J. : Prentice-Hall, c1981.
BIBLIO POLY : QA 371 S82 1981 ex. 1
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