Résistance des matériaux Extension Compression

Résistance des matériaux
Extension Compression
1- Extension
11- Définition de l'extension simple
Une poutre est sollicitée à l'extension simple
lorsqu'elle est soumise à deux forces
directement opposées, appliquées au centre
de surface des sections extrêmes et qui
tendent à l'allonger.
Dans le repère de définition des sollicitations
R=G , x , y , z 
lié à la section droite
S  , les éléments de réduction en G du
torseur des efforts de cohésion s'expriment
par :
A
B
y
A
G
x
(S)
z
{T coh }=
G
{}

R

0
tel que dans
{ }
N 0
R : {T coh }= 0 0
0
G 0
N 0

x ,
y ,
z
12- Essai d'extension
121- Définition de l'essai
Cet
essai
permet
d'évaluer
les
caractéristiques mécaniques d'un produit. Il
existe
deux
formes
normalisées
d'éprouvettes suivant la forme et l'épaisseur
du produit que l'on doit essayer.
122- Exemple d'enregistrement d'essai
Afin de pouvoir comparer les caractéristiques mécaniques des matériaux, celles-ci doivent
être établies indépendamment des sections S0 et des longueurs l0 des éprouvettes. Ainsi les
machines donnent directement : =F /S 0 et = l / l 0
Exemples :
Calculer 

Calculer

pour un effort de F=78 500 N sur une éprouvette de diamètre d=20mm.
 pour un allongement de 9 mm sur une éprouvette de longueur l0=100mm.
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 (MPa)
La courbe de traction présente une partie assimilable à
un segment de droite (OA) pour laquelle la déformation
est réversible : c'est le domaine élastique.
Remarque : sur la courbe du 50CV4, le point A n'est
pas clairement identifiable.
Au delà de OA les déformations ne sont plus
réversibles, l'éprouvette a subi une déformation
plastique.
Au delà de B, la section diminue et le processus
conduit à la rupture en D
B
1180
C
A
930
50 CV 4
=
0
0,2.10-2
l
l
8.10-2
123- caractéristiques mécaniques tirées de l'essai
Limite apparente d'élasticité Re (ou  e ) : C'est la limite du domaine élastique (quand il
est clairement défini). Dans le cas ci-dessus, on prend par convention la contrainte pour un
allongement de 0,002 (soit 0,2 %).
Pour le 50 CV 4, Re = 
Résistance à la traction Rm : C'est la contrainte correspondant au maximum de force
appliquée sur l'éprouvette (c'est la valeur de  qui correspond au point C).
Pour le 50 CV 4, Rm = 
Module d'élasticité longitudinale ou module de Young E : dans la zone élastique, c'est le
rapport de proportionnalité entre la charge unitaire  et l'allongement unitaire  .
F
 S
E= = 0
 l
l0
exprimé en MPa
Pour le 50 CV 4, E = 
Loi de Hooke
Dans le cas d'un solide en forme de poutre, la loi de Hooke s'écrit :
=E⋅ avec :
 : contrainte d'extention (MPa)
E : Module de Young (Mpa)
 : allongement relatif (sans unité)
La loi de Hooke n'a de sens que dans le domaine élastique.
13- Etude des contraintes dans une section droite
Soit le torseur de cohésion de la forme
{ }
N 0
{T coh }= 0 0
0
G 0
définissant les efforts du

x , y , 
z
tronçon (E2) sur le tronçon (E1) d'une poutre de section S, la contrainte est portée par
N
=
S
et a un module  tel que :
x
avec :
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
: contrainte normale d'extention (MPa)
0
N : effort normal (N) N > 0
S : aire de la section droite (mm²)
131- Concentration de contrainte
Lorsque la poutre présente de brusque variations de section ; filetage, rainure de clavetage,
épaulement..., les hypothèses de départ ne sont plus vérifiées, toutefois en prenant
quelques précautions, les poutres peuvent tout de même être calculées. Au voisinage du
chagement de section, la répartition des contraintes n'est plus uniforme et la contrainte
N
S . On prend alors
réelle est plus grande que
 réelle =k⋅
=
Exemple
Considérons un arbre épaulé qui subi un
effort normal d'extension avec N = 5.104N
Dimensions : D=100, d=64, r=5.
Contrainte réelle au niveau de la variation
de section :

14- Condition de résistance
Pour calculer les dimensions des pièces mécaniques, il faut tenir compte d'un certains
nombre d'incertitudes : on ajoute un coefficient de sécurité s tel que :
 adm =
r
s
En tenant compte d'un éventuel coefficient de concentration de contrainte,
la condition de résistance s'écrit  réelle  adm , soit :

 réelle =k⋅ ,
e
k⋅s
15- Allongement d'une poutre de longueur l
D'après la loi de Hooke
=E⋅ avec =N /S et = l / l on peut écrire :
N⋅l
l=
E⋅S
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2- Compression
21- Définition de la compression simple
Une poutre est sollicitée à l'extension simple lorsqu'elle est soumise à deux forces
directement opposées, appliquées au centre de surface des sections extrêmes et qui
tendent à l'allonger (Voir croquis chapitre 11)
Dans le repère de définition des sollicitations R=G , x , y , z  lié à la section droite
S  , les éléments de réduction en G du torseur des efforts de cohésion s'expriment
{}

R
par : {T coh }=

G 0
tel que dans
{ }
N
R : {T coh }= 0
G 0
0
0
0
N 0

x ,
y ,
z
22- Résultat de l'essai de compression
Comme pour l'extension, l'essai de
compression montre qu'il existe une zone
(OA) pour laquelle :
 (MPa)
=E⋅
e
D'autre part
est
élastique en compression.
la
e
contrainte
B
A
Déformation
permanente
Déformation
élastique
Pour certains matériaux, cette contrainte est
identique à l'extension (acier) pour d'autre
elle peut être très différente (béton, fonte)
=
0
l
l
C
23- Etude des contraintes
Dans les mêmes conditions que l'extension, on a :
=
N
S
(avec
 et N < 0)
D'autre part la loi de Hooke peut être utilisée dans la zone élastique :
=E⋅ donc  l =
N⋅l
E⋅S
24- Condition de résistance
En tenant compte à la fois d'un coefficient de sécurité s et d'un éventuel coefficient de
concentration de contraintes k, la condition de résistance s'écrit :
∣∣
e
k⋅s
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