Résistance des matériaux Hypothèses – Sollicitations
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Résistance des matériaux Hypothèses – Sollicitations
Résistance des matériaux Hypothèses – Sollicitations - Contraintes Exercice 1 Soit une poutre droite E de section constante, de longueur l, encastrée à son extrémité A et supportant à son extrémité B un effort concentré F . x 0 , y0 , z 0 le repère lié à la poutre, tel que l'axe A , x 0 est confondu Soit R 0= A , avec la ligne moyenne. On effectue une section droite fictive de la poutre par un plan P . Soit G, d'abscisse x dans R 0 , le centre de surface de cette section droite. y0 1 y E 2 E 1 x x P l B x0 F 1- Isoler la poutre E et déterminer, au point A, les éléments de réduction du torseur associé à la liaison encastrement : {T 1 E } . 2- En utilisant successivement les deux écritures du torseur de cohésion (en fonction des efforts extérieurs sur E 1 et E 2 ), déterminer les éléments de réduction en G du torseur de cohésion dans la section droite d'abscisse x. 3- Donner l'expression des N x , T y x , T z x , M t x , M fy x , M fz x composantes algébriques dans le repère R=G , x , y , z . 4- Représenter la variation de ces composantes algébriques en fonction de l'abscisse x du centre de surface G de la section droite fictive. RdM : Hypothèses – Sollicitations - Contraintes STS Productique – Conception des outillages – Mécanique TD - Page 1 09/2003 – jgb - rdm1.sxw Exercice 2 La figure ci-dessous représente la modélisation de l'arbre porte-mandrin d'une tête d'usinage multibroche. Cet arbre reçoit le mandrin porte-outil 4 à son extrémité A ; à son autre extrémité, en O , un pignon arbré de rayon primitif R=12 mm reçoit la puissance mécanique d'un autre pignon 2 non représenté. L'arbre 1 est guidé en rotation dans un carter repéré 0 par l'intermédiaire de deux roulements à billes placés en B et C . (unités : m et N) Une étude statique préalable a permis de calculer la totalité des actions mécanique sur 1. x 0 , y 0 , z0 : On en donne les composantes algébriques dans le repère R 0=G 0 , – Action du mandrin 4 en } { { } { } { } A : {T 4 1 }= A – – Action du mandrin 2 en Action du carter 0 en −2,4 0 0 0 0 D : {T 2 1 }= 65 0 0 D −200 B : {T 0 1 }= B – −625 0 0 625 0 20 1,2 −40 0,075 0 0 Action du carter 0 en C : {T 2 1 }= −85 0 0 C 240 x0 , y0 , z0 x0 , y0 , z0 x0 , y0 , z0 x0 , y0 , z0 Question Définir le torseur de cohésion dans les sections droites de 1 entre O et A et construire les diagrammes des composantes algébriques des éléments de réduction en G des efforts de cohésion dans 1. RdM : Hypothèses – Sollicitations - Contraintes STS Productique – Conception des outillages – Mécanique TD - Page 2 09/2003 – jgb - rdm1.sxw Exercice 3 La figure ci-dessous représente le crochet d'un pont roulant supportant une charge verticale F . 0 0 1 1 Hypothèses : Le centre de surface G 1 de la section droite fictive S 1 définie sur la figure est tel que OG 1=15 mm – Le centre de surface G 2 de la section droite fictive S 2 définie sur la figure est tel que OG 2=15 mm – On donne : ∥ F∥=5000 N – On désigne par E 1 le tronçon de crochet situé à droite de la section fictive/ – Unités : N et m Question : R1=G 1 , x 1 , y1 , z 1 lié à S 1 les composantes 1- Déterminer dans le repère algébriques des éléments de réduction en G 1 du torseur des forces de cohésion dans S 1 . Quelles sont les sollicitations simples qui apparaissent dans S 1 ? R 2=G 2 , x , y , z lié à S 2 les composantes 2- Déterminer dans le repère algébriques des éléments de réduction en G 2 du torseur des forces de cohésion dans S 2 . Quelles sont les sollicitations simples qui apparaissent dans S 2 ? RdM : Hypothèses – Sollicitations - Contraintes STS Productique – Conception des outillages – Mécanique TD - Page 3 09/2003 – jgb - rdm1.sxw Exercice 4 La figure ci-dessous représente la bride 2 d'un système de serrage d'un montage d'usinage. L'effort de serrage de la pièce est obtenu par deux boulons repérés 3 qui passent dans les trous de la bride A et B . L'effort de la pièce 4 sur la bride s'exerce en C . Les trois forces concentrées qui s'exercent sur la bride 2 sont représentées sur la figure et valent : ∥A3 2∥=800 N - ∥B 3 2∥=800 N - ∥ C 4 2∥=1600 N Déterminer les équations qui définissent le long de la ligne moyenne AB les projections sur R=G , x , y , z des éléments de réduction en G du torseur de cohésion. RdM : Hypothèses – Sollicitations - Contraintes STS Productique – Conception des outillages – Mécanique TD - Page 4 09/2003 – jgb - rdm1.sxw Exercice 5 - Extrait BTS 2000 Vérification de la bride repérée 3 à la contrainte de flexion Voir document B2 et extrait document DT9 Hypothèses : La bride 3 représentée sur ce document est réalisée d'un seul bloc, mais elle possède le même comportement à la flexion que l'ensemble constitué par 3+8. Le matériau C45 est conservé. Les dimensions sont identiques. Cette bride est disposée horizontalement avec son système de repérage : l'axe des X est confondu avec l'axe moyen de la poutre. Le poids de la bride est négligé, le chargement extérieur est défini par les torseurs : (unités : composantes des forces en N, composantes des moments en mmN) { ∣ ∣} −274 O 2/3 5712 {T 2 /3 }= 0 O M 2/3= 0 0 x , y , z { { ∣} ∣ ∣} 0 P 7/3 −9355 {T 9 /3 }= 0 P M 7/3= 0 ∣ 274 Q pièce /3 3643 {T pièce/3 }= 0 Q M pièce/3= 0 Q P x , y , z x , y , z La résistance élastique de la bride a pour valeur Re=420 Mpa Le coefficient de sécurité s=2,5 Travail demandé : (A traiter sur feuille de copie) 1- Ecrire pour la section de ligne moyenne comprise entre O et Q les équations du moment fléchissant. 2- Représenter le diagramme de ce moment fléchissant. 3- Vérifier dans la section droite passant par P la condition de résistance à la flexion de cette bride. RdM : Hypothèses – Sollicitations - Contraintes STS Productique – Conception des outillages – Mécanique TD - Page 5 09/2003 – jgb - rdm1.sxw RdM : Hypothèses – Sollicitations - Contraintes STS Productique – Conception des outillages – Mécanique TD - Page 6 09/2003 – jgb - rdm1.sxw Document DT9 (Extrait) RdM : Hypothèses – Sollicitations - Contraintes STS Productique – Conception des outillages – Mécanique TD - Page 7 09/2003 – jgb - rdm1.sxw Correction – Exercice N°1 {T F }{T 1 E }=0 1- Equilibre de la poutre : { F.sin 0 {T F }= −F.cos 0 0 0 B soit : ∣∣ ∣∣ ∣ } M A F = M B F AB∧ F x 0 , y 0 , z0 ∣∣ ∣ F.sin 0 l 00 ∧ = 0 0 −F.cos 00 0 0 0−l.F.cos 0 {T 1 E }=−{T F }= { A 2- {T E E 1 }={T 1 E } } { −F.sin 0 F.cos 0 0 l.F.cos N= A T y= T z= } {T E E 2 }={T F } −Fsin 0 {T 1 F }= Fcos 0 0 lFcos A x , y , z M 1 F = M 1 F GA∧R 1 F G donc : 0 0 0 { x 0 , y 0 , z0 } F.sin 0 {T F }= −F.cos 0 0 0 B x , y , z M F = M F GB∧F G RdM : Hypothèses – Sollicitations - Contraintes STS Productique – Conception des outillages – Mécanique 0 0 B M t= t 0 M fy = t M fz = t TD - Page 8 09/2003 – jgb - rdm1.sxw Correction – Exercice N°4 On utilise les unités suivantes : N (newtons) et Nm (newtons mètres) On désigne par le E1 tronçon de poutre compris entre A et G. – Dans la zone AC pour laquelle 0 x0,015 on choisit d'utiliser une des relations définissant le torseur de cohésion : {T coh }=−{T E E 1 } . Les actions de E E 1 sont celles du boulon 3 sur la bride 2 (en A) donc : { } ∣∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ { { } 0 0 {T E E 1 }={T 3 A 2 } avec {T 3 A 2 }= 800 0 0 0 x ,y ,z A on calcule : M G 3 A 2= M A 3 A 2 GA∧ R 3 A 2=−800 x z } 0 −x 0 00 0 0 ∧ = car : 0 donc {T 3 A 2 }= 800 0 800 00 0 0 0 0 0−800 x 0 −800 x x ,y ,z G On en déduit que sur AC ( 0 x0,015 ) 0 0 {T coh }=−{T E E 1 }=−{T 3 A 2 }= −800 0 0 800 x x ,y ,z G T z =0 M t =0 M fy =0 M fz =800 x Nm donc : N=0 T y =−800 N – Dans la zone CB pour laquelle 0,015 x0,030 on choisit d'utiliser une des relations définissant le torseur de cohésion : {T coh }={T E E 2 } (ceci permet de simplifier un peu les calculs) Les actions de E E 2 sont celles du boulon 3 sur la bride 2 en B donc : { } { } 0 0 {T E E 1 }={T 3B 2 } avec {T 3B 2 }= 800 0 0 0 x , y , z B on calcule : M G 3B 2= M B 3B 2 GB∧ R 3B 2=8000,03−x z car : ∣∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ { } 0 0,03−x 0 0 0 0 ∧ = soit {T 3B 2 }= 800 0 0 800 0 0 0 0 0 8000,03−x 0 8000,03−x x ,y ,z G On en déduit que sur CB ( 0,015 x0,030 ) 0 0 {T coh }={T E E 2 }={T 3B 2 }= 800 0 0 800 0,03−x x ,y , z G T z =0 M t =0 M fy =0 M fz =8000,03−x Nm donc : N=0 T y =800 N M fz Nm T y N 800 15 A 0 C 0,015 B 0,03 x(m) A 0 C 0,015 B 0,03 x(m) -800 RdM : Hypothèses – Sollicitations - Contraintes STS Productique – Conception des outillages – Mécanique TD - Page 9 09/2003 – jgb - rdm1.sxw Correction – Exercice N°5 On utilise les unités suivantes : N (newtons) et Nmm (newtons millimètres) On désigne par le E1 tronçon de poutre compris entre O et G. – Dans la zone AP pour laquelle 0 x37,5 on choisit d'utiliser une des relations définissant le torseur de cohésion : {T coh }=−{T E E 1 } . Les actions de E E 1 sont celles de 2 sur la bride 3 (en O) donc : { } −274 0 5712 0 0 0 x , y , z O on calcule : M G 2 3= M O 2 3 GO∧ R 2 3=−5712 x z {T E E 1 }={T 2 3 } avec {T 2 3 }= { } ∣∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ } 0 −x −274 0 −274 0 ∧ = car : 0 donc {T 3 A 2 }= 5712 0 5712 0 0 0 0 0 −5712 x 0 −5712 x x , y , z G On en déduit que sur AC ( 0 x37,5 ) 274 0 {T coh }=−{T E E 1 }=−{T 2 3 }= −5712 0 0 5712 x x , y , z G M fz =5712 x Nmm donc : M fy =0 – Dans la zone PQ pour laquelle 37,5 x96,3 on choisit d'utiliser une des relations définissant le torseur de cohésion : {T coh }={T E E 2 } (ceci permet de simplifier un { peu les calculs) Les actions de E E 2 sont celles de la pièce sur la bride 3 en Q donc : { } 274 0 {T E E 1 }={T pièce 3 } avec {T pièce 3 }= 3643 0 0 0 x ,y ,z Q on calcule : M G pièce 3=M Q pièce 3GQ∧R pièce 3=3643 96,3−x z car : ∣∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ { ∣ 0 96,3−x 274 0 ∧ 3643 = 0 0 0 0 0 0 364396,3−x 274 {T pièce 3 }= 3643 0 G soit } 0 0 364396,3−x x ,y ,z On en déduit que sur PQ ( 37,5 x96,3 ) 274 0 {T coh }={T E E 2 }={T pièce 3 }= 3643 0 0 364396,3−x G M fz =364396,3−x Nmm donc : M fy =0 { } x , y , z 214200 O 0 P 37,5 Q 96,3 x(m) RdM : Hypothèses – Sollicitations - Contraintes TD - Page 10 STS Productique – Conception des outillages – Mécanique 09/2003 – jgb - rdm1.sxw Correction – Exercice N°5 (complément) E1 E2 G x Compléter le tableau : 0 x37,5 37,5 x96,3 Actions exercées sur E1 O 2/3 P 7/3 G Pièce /3 O 2/3 P 7/3 G Pièce /3 Actions exercées sur E2 O 2/3 P 7/3 G Pièce /3 O 2/3 P 7/3 G Pièce /3 {T coh }={T E E 1 }=. {T 2 3 }. {T 7 3 }. {T pièce 3 } {T 2 3 }. {T 7 3 }. {T pièce 3 } {T coh }={T E E 2 }=. {T 2 3 }. {T 7 3 }. {T pièce 3 } {T 2 3 }. {T 7 3 }. {T pièce 3 } OG x GO x GQ x QG x RdM : Hypothèses – Sollicitations - Contraintes TD - Page 11 STS Productique – Conception des outillages – Mécanique 09/2003 – jgb - rdm1.sxw