Lois de comportement

I-3
Lois de comportement
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version 12 octobre 2010
Loi de comportement
Motivation
Solide élastique linéaire
– Analogie du ressort élastique
– Expérience de Hooke
– Loi de Hooke
Fluide parfait
– Nécessité d’une loi d’état
Fluide visqueux newtonien
Lois de comportement
I-3-2
Motivation
Nous avons jusqu’à présent des grandeurs
– statiques : forces, sollicitations, contraintes
– cinématiques : déplacements, déformations
MAIS aucun lien entre ces grandeurs
– lien indispensable
– dépend du type de milieu
– résulte nécessairement de l’expérience
Lois de comportement
I-3-3
Solide élastique linéaire
Hypothèses :
– État neutre : pas de contraintes, pas de
déformations
– Actions purement mécaniques
• Exclut les couplages thermomécaniques,
chémomécaniques, …
– Élasticité : le solide retrouve sa forme initiale
lorsqu’il n’est plus sollicité
– Linéaire : les déformations sont proportionnelles
aux efforts
Lois de comportement
I-3-4
Ressort élastique
F = ku
k = coefficient de raideur du ressort
(N/m)
figures extraites de [Frey, 2000, Vol. 2]
Lois de comportement
I-3-5
Solide élastique
figures extraites de [Frey, 2000, Vol. 2]
Un solide peut être vu comme un assemblage de ressorts.
Soumis à un essai de traction,
il s’allonge proportionnellement à l’effort appliqué.
Lois de comportement
I-3-6
Loi de Hooke 1D
TEST 1D
loi contrainte-allongement
σ x = Eε x
figures extraites de [Frey, 2000, Vol. 2]
E = module de Young
ou d’élasticité [Pa]
Eacier = 210 GPa ; Ebéton = 21 GPa ; Ebois = 10 GPa
I-3-7
Lois de comportement
Loi de Hooke 1D
TEST 1D
contraction latérale
(effet Poisson)
ε y = −νε x
ε z = −νε x
figures extraites de [Frey, 2000, Vol. 2]
s’allonge sans se contracter
exemple : le liège
ν = coefficient de Poisson [-]
0 ≤ ν < 0,5
matériau incompressible
exemple : le caoutchouc
Lois de comportement
I-3-8
Exemple
Considérons un câble en acier
– de section 1cm2
– soumis à un essai de traction jusqu’à 10kN
F 10 ×103
σ= =
= 108 Pa = 100 MPa
−4
A 1×10
σ
108
ε= =
= 0,5 ×10 −3 = 0,05% = 500µS
9
E 200 ×10
I-3-9
Lois de comportement
Loi de Hooke 3D
τ ij =
E
ν
( aij +
δ ij akk )
1 +ν
1 − 2ν
aij =
E  1−υ
υ
(ε y + ε z )
εx +
1 + υ 1 − 2υ
1 − 2υ

υ
E  1−υ
(ε x + ε z )
σy =
εy +
1 + υ 1 − 2υ
1 − 2υ

υ
E  1 −υ

σz =
εz +
(ε x + ε y )
1 + υ 1 − 2υ
1 − 2υ

E
τ xy =
γ xy
2(1 + υ )
G = module
E
τ xz =
γ xz
2(1 + υ )
de glissement
E
τ yz =
γ yz
2(1 + υ )
σx =
Lois de comportement
1
(1 + ν )τ ij − νδ ijτ kk
E
[
]
1
σ x −υ σ y + σ z
E
1
ε y = σ y − υ (σ x + σ z )
E
1
ε z = σ z −υ σ x + σ y
E
1
γ xy = τ xy
G
1
γ xz = τ xz
G
1
γ yz = τ yz
G
εx =
[
[
[
(
(
)]
]
)]
I - 3 - 10