Résistance des matériaux

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX 1/4
1
SOLLICITATIONS ET CONTRAINTES DES MATERIAUX :
2
→
Traction N
3
→
Compression N
4
→
Cisaillement T
5
→
Torseurs des forces extérieures
(ou visseur) appliquées en G
Flexion pure MF
6
→ → →
7
Flexion composée N T M F
8
→
Torsion MT
9
10
11
M
Composante du torseur d’une surface
ds
(facette) résultant de l’action de B sur
A
δ contrainte normale
τ contrainte tangentielle (cission)
→
Résultante des forces R
MEMENTO
→
dF →
=δ
dS
→
+
τ
(quand dS tend vers 0)
→
→
→
R= N+ T
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
M9
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX 2/4
1
ESSAI DE TRACTION
Allongement DL (loi de Hooke)
DL = L – Lo = kF
DL en m
Allongement relatif
e
Limite d’élasticité et fatigue
d
Module d’élasticité longitudinale E
(module de Young)
Allongement
Déformation permanente
(plus de proportionnalité entre ∆L et
F)
Coefficient de sécurité a
(en fonction de la limite d’élasticité
2
F en newtons
∆L
e=
Lo
F
d=
So
F.Lo
E.So
Fm
R=
So
DL =
∆max =
d max)
F
3
L
L
L
F force en N
d
e
d
e
E=
Eprouvette
S
contrainte normale en Pa
4
allongement relatif
So surface de section m2
E module de Young en Pa
D L, L, Lo en m.
R résistance à la traction (Pa).
Fm charge maximale (N)
5
R
1,5 < a < 10
a
6
ESSAI DE COMPRESSION
Glissement unitaire
ou tassement
Module d’élasticité de glissement G
(module de coulomb)
ou module transversal
g=
x
Dx
d
G=
d
t
g
E
G=
2(1 + n )
8
d distance entre face parallèles
∆x tassement
t
Coefficient de Poisson
Module de compressibilité volumique
k
e lo
n=
e lt
p
k=q
7
accroissement de contrainte en Pa
G en Pa ou daN/mm2
G = O,4 E
lt dilatation linéique transversale
lo dilatation linéique longitudinale
k en Pa
p accroissement de pression
q accroissement de volume / volume
de référence
9
10
11
MEMENTO
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
M10
M
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX 3/4
1
CISAILLEMENT – TORSION
2
F1
Effort tranchant
résultant du moment fléchissant MF
dans une section S
T=
d MF
dx
S
F2
X
3
Condition de résistance au
cisaillement
4
5
6
7
Cisaillement
(domaine élastique)
=
t moyen =
Cisaillement ou cission t
Rp
10
A
e
B
C
T
T
S
Contrainte nor male d
en fonction de MtF
dans une fibre d’ordonnée y
dy = y
MF
IG Z
dans une fibre de la surface
d max =
M tF
IG Z
= y max )
n
Contrainte maximale acceptable
d max =
M tF max
= Rp
IG Z
n
9
Rp résistance pratique à la rupture ou
au glissement ou cisaillement
BC
AB
tg g =
Contrainte moyenne de
(n
8
t moyen
d y contrainte dans la fibre d’ordonnée y
aa’ – bb’ = déformation infinitésimale de 2
sections droites parallèles
IGZ moment quadratique de la section par
rapport à l’axe G
Torsion
(domaine élastique)
Déformation a d’un arbre
cylindrique
Contrainte de cisaillement
t
q=
a
l
q
angle de déformation par unité de
longueur
t cission daN/mm2
r distance de l’axe à la fibre
t = G. q.r
11
M
MEMENTO
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
M11
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX 4/4
1
FLEXION
2
Déformation d’une poutre
Selon 1 courbure
1
r
de la ligne
1
MF
= E.IG Z
r
3
élastique
3
(1 + y' 2) 2
r=
y''
Expression analytique de r
Equation différentielle de la déformée
Pour de petites déformations
( y’ -> 0 )
4
MtF F(x)
t
y’’ = -
MF
E.IG Z
IG Z
Mt F moment fléchissant de la section
IG Z moment quadratique par rapport à G
Flèche d’une poutre soumise à une
charge F
f=
F l3
48 E IG Z
5
6
FLAMBEMENT AXIAL
7
Formule d’Euler
Charge critique à la compression
8
p2 E IG Z
Fc =
l2
9
Charge admissible pour poutre
longue
FR = S . Rpc .
1
2
1 + Ag
module d’élasticité longitudinale du
matériau
l
longueur théorique de la poutre
IG Z moment quadratique
Fc charge admissible à la compression
S
section de la poutre
Rpc résistance pratique à la compression
E
A=
MEMENTO
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
Re
l
g= r =
2
p E
r
I
S
10
11
M12
M