Transformée de Laplace et de Fourier

Transcription

Transformée de Laplace
Transformée de Fourier
Analyse des signaux - ELE2700
Transformée de Laplace et de Fourier et Spectres Continus
Christian Cardinal, Ph.D
Département de génie électrique
École Polytechnique de Montréal
6 janvier 2009
Lignes directrices
1
Définition
Région de convergence, ROC
Inversion
2
Introduction
Définition
Relation entre la transformée de Fourier et la transformée de
Laplace
Propriétés de la Transformée de Fourier et Table des
transformées de Fourier Usuelles
Définition
Inversion
Lignes directrices
1
Définition
Inversion
2
Introduction
Définition
Laplace
Définition
Inversion
Définitions de la transformée de Laplace
Deux définitions : Unilatérale et Bilatérale
Transformée de Laplace Unilatérale
Soit un signal représenté par une fonction x(t). La transformée de
Laplace unilatérale de x(t) constitue une fonction L{x(t)} telle que
L{x(t)} : C
→ Z
C
∞
7→
x(t)e−st dt
s
(1)
0
Transformée de Laplace Bilatérale
Soit un signal x(t). La transformée de Laplace bilatérale de x(t)
constitue une fonction X (s) telle que
L{x(t)} : C
s
→ C
Z ∞
7
→
e−st dt
−∞
(2)
Définition
Inversion
Définitions (suite....)
On note aussi X (s) comme la transformée de Laplace d’un
signal x(t) :
X (s) = L{x(t)}
(3)
En général, nous considérons que l’opérateur L désigne la
transformée bilatérale
Cependant, comme nous manipulons typiquement des signaux
causaux, dont le support est inclus dans R+ , cette transformée
dégénère en transformée unilatérale
Notation : s = σ + jω, i.e. <{s} = σ, ={s} = ω
Définition
Inversion
Lignes directrices
1
Définition
Inversion
2
Introduction
Définition
Laplace
Définition
Inversion
Région de convergence
La région de convergence d’une transformée de Laplace consiste en
le sous-ensemble de C où X (s) est parfaitement définie, au sens où
l’intégrale impropre converge.
il est difficile de déterminer cette région de convergence,
spécifique à chaque signal
cependant,il est facile de déterminer la région de convergence
d’une exponentielle naturelle
on peut donc déterminer un sous-ensemble de la région de
convergence de toute fonction absolument bornée par une
exponentielle
Définition
Inversion
Définition de la région de convergence de X (s)
(suite...)
La région de convergence de X (s) correspond aux valeurs de
s ∈ C tel que |X (s)| < ∞
Z ∞
Z ∞
x(t)e−st dt
|X (s)| = x(t)e−st dt ≤
−∞
−∞
(4)
Z ∞
Z ∞
−(σ−jω)t −σt dt
=
x(t)e
dt
≤
x(t)e
−∞
−∞
il faut donc que x(t)e−σt soit absolument intégrable
il existe une plage de valeurs de σ, σ1 < σ < σ2 tel que
|X (s)| < ∞
Définition
Inversion
La région de convergence de la transformée de Laplace bilatérale
d’un signal à support fini x(t), intégrable dans l’intervalle [a, b] est C.
b
Z
x(t)e−st dt.
X (s) =
(5)
a
l’intégrale converge pour tout a < b
La région de convergence de la transformée de Laplace du
signal x(t) = eat , t ≥ 0 est le demi-plan complexe :
ROC = {s ∈ C | <(s) > a}.
Z
X (s) =
∞
at −st
e e
0
Z
dt =
(6)
∞
e(a−σ)t e−jωt dt
0
Pour avoir convergence, il faut (a − σ) < 0 ⇒ σ > a ou <{s} > a
(7)
Définition
Inversion
La région de convergence de la transformée de Laplace bilatérale
d’un signal à support fini x(t), intégrable dans l’intervalle [a, b] est C.
b
Z
x(t)e−st dt.
X (s) =
(5)
a
l’intégrale converge pour tout a < b
La région de convergence de la transformée de Laplace du
signal x(t) = eat , t ≥ 0 est le demi-plan complexe :
ROC = {s ∈ C | <(s) > a}.
Z
X (s) =
∞
at −st
e e
0
Z
dt =
(6)
∞
e(a−σ)t e−jωt dt
0
Pour avoir convergence, il faut (a − σ) < 0 ⇒ σ > a ou <{s} > a
(7)
X (s) =
Définition
Inversion
1
, ROC = {s ∈ C | <(s) > a}
s−a
(8)
Définition
Inversion
Exemple : Fonction échelon
La fonction marche de Heaviside ou échelon est un signal u(t) défini
comme

 0 , si t < 0
1
u(t) =
(9)
, si t = 0
 2
1 , si t > 0,
Définition
Inversion
Exemple : Fonction échelon
Pour x(t) = u(t),
Z
X (s) =
0
∞
e−st dt =
e−st ∞
1
= , ROC = {s ∈ C|<(s) > 0}
−s 0
s
(10)
Définition
Inversion
Types de signaux et régions de convergence
Un signal est dit de droite si son support est contenu dans un
intervalle fermé à gauche et ouvert à droite ⇒ ROC de droite
Un signal est dit de gauche si son support est sous-ensemble
d’un intervalle fermé à droite et ouvert à gauche ⇒ ROC de
gauche
La fonction échelon u(t) ainsi que tout signal dont la définition
implique un produit par la fonction u(t) sont des signaux de droite
Exemple :
l’exponentielle à droite est définie comme eat u(t − t0 ) (pour
tout t0 ∈ R) ;
l’exponentielle à gauche est définie comme eat u(t0 − t).
Définition
Inversion
signaux non bornés
La région de convergence d’un signal non borné est une de
bande complexe parallèle à l’axe jω
Exemple : La région de convergence de la transformée de Laplace de
la somme de l’exponentielle à droite eat u(t − t0 ) et de l’exponentielle
à gauche ebt u(t1 − t), a < b ∈ R est la bande complexe
ROC = {s ∈ C | a < <(s) < b}.
(11)
Définition
Inversion
signaux fini
La région de convergence d’un signal fini dans un intervalle [a, b]
constitue tout le plan complexe C
Exemple
La transformée de Laplace de la fonction de Dirac, δ(t − to ) est
Z ∞
δ(t − to )e−st = e−sto
−∞
La région de convergence est donc tout le plan complexe
(12)
Définition
Inversion
Forme rationnelle de la Transformée de Laplace :
Pôles et Zéros
Dans plusieurs applications X (s) prend la forme d’une fonction
rationnelle :
PM
k
b0 + b1 s + b2 s2 + ... + bM sM
k =0 bk s
X (s) =
=
P
N
a0 + a1 s + a2 s2 + ... + aN sN
ak sk
k =0
(13)
N(s)
=
D(s)
Les Zéros de X (s) sont les valeurs de s tel que X (s) = 0 : i.e les
M racines, si , i = 1, 2, 3....M de N(s)
Les Pôles de X (s) sont les valeurs de s tel que X (s) = ∞ : i.e.
les N racines, si , i = 1, 2, 3....N de D(s)
Définition
Inversion
Forme rationnelle de la Transformée de Laplace : ROC
Soit les N pôles, si ∈ C, i = 1, 2, 3....N. On définit :
σmax = max {<(si )} , et
(14)
σmin = min {<(si )}
(15)
pour une signal de droite :
ROC = {s ∈ C|<(s) > σmax }
(16)
Pour un signal de gauche :
ROC = {s ∈ C|<(s) < σmin }
(17)
pour un signal non borné :
ROC = {s ∈ C|σmin < <(s) < σmax }
(18)
Définition
Inversion
Le tableau suivant résume ce qu’il faut retenir au sujet des régions de
convergence.
signaux
Finie
À droite
À gauche
non borné
Forme
Plan complexe : ROC = {s ∈ C}
Demi-plan de droite : ROC = {s ∈ C|<(s) > σmax }
Demi-plan de gauche : ROC = {s ∈ C|<(s) < σmin }
Bande du plan : ROC = {s ∈ C|σmin < <(s) < σmax }
Définition
Inversion
Principales propriétés de la transformée de Laplace
Linéarité, Décalage temporel, Dérivation, compression, ....
Signal
x(t)
x1 (t)
x2 (t)
ax1 (t) + bx2 (t)
x(t − to )
eso t x(t)
x(at)
x(−t)
x1 (t) ∗ x2 (t)
d
dt x(t)
−tx(t)
Rt
x(τ )dτ
−∞
Transformée
X (s)
X1 (s)
X2 (s)
aX1 (s) + bX2 (s)
e−sto X (s)
X (s − so )
1
s
|a| X ( a )
X (−s)
X1 (s)X2 (s)
sX (s)
d
ds X (s)
1
s X (s)
Région de convergence ROC
R
R1
R2
R1 ∩ R2
R
Décalage de R
Compression de R
Inversion de R
R1 ∩ R2
au moins R
R
au moins R ∩ {<(s) > 0}
Définition
Inversion
Lignes directrices
1
Définition
Inversion
2
Introduction
Définition
Laplace
Définition
Inversion
Transformée inverse de Laplace
Définition de la transformée de Laplace inverse
Z σ+i∞
1
X (s)est ds
x(t) =
2iπ σ−i∞
(19)
le choix de σ ne change pas la valeur de l’intégrale ; il faut
cependant prendre une telle droite complexe dans la région de
convergence de X (s)
Généralement, la solution de cette intégrale est complexe
S OLUTION
D ÉCOMPOSITION EN F RACTIONS PARTIELLES
TABLE DE TRANSFORMÉES DE L APLACE
Définition
Inversion
Transformée inverse de Laplace
Définition de la transformée de Laplace inverse
Z σ+i∞
1
X (s)est ds
x(t) =
2iπ σ−i∞
(19)
le choix de σ ne change pas la valeur de l’intégrale ; il faut
cependant prendre une telle droite complexe dans la région de
convergence de X (s)
Généralement, la solution de cette intégrale est complexe
S OLUTION
D ÉCOMPOSITION EN F RACTIONS PARTIELLES
TABLE DE TRANSFORMÉES DE L APLACE
Définition
Inversion
Table de transformées de Laplace
Signal
δ(t)
u(t)
−u(−t)
t n−1
(n−1)! u(t)
n−1
t
− (n−1)!
u(−t)
−αt
e u(t)
−e−αt u(−t)
t n−1
−αt
u(t)
(n−1)! e
n−1
t
−αt
− (n−1)! e u(−t)
Transformée
1
1
s
1
s
1
sn
1
sn
1
s+α
1
s+α
1
(s+α)n
1
(s+α)n
pour tout s ∈ C
<(s) > 0
<(s) < 0
<(s) > 0
<(s) < 0
<(s) > −α
<(s) < −α
<(s) > −α
<(s) < −α
Définition
Inversion
Table de transformées de Laplace (suite...)
Signal
δ(t − T )
cos(ω0 t)u(t)
sin(ω0 t)u(t)
e
−αt
cos(ω0 t)u(t)
e−αt sin(ω0 t)u(t)
Transformée
e
−sT
s
s2 +ω02
ω0
s2 +ω02
s+α
(s+α)2 +ω02
ω0
(s+α)2 +ω02
pour tout s ∈ C
<(s) > 0
<(s) > 0
<(s) > −α
<(s) > −α
Introduction
Définition
Relation entre la transformée de Fourier et la transformée de Laplace
Propriétés de la Transformée de Fourier et Table des transformées de Fourier Us
Lignes directrices
1
Définition
Inversion
2
Introduction
Définition
Laplace
Introduction
Définition
INTRODUCTION
La transformée de Fourier constitue la décomposition d’un signal
dans une base d’exponentielles complexes comportant un nombre
infini et non dénombrable d’éléments.
Produit Scalaire :
Pour les signaux R → C en général (pas nécessairement périodique),
on définit le produit scalaire de signaux x(t) et y (t) comme
Z ∞
hx(t), y (t)i =
x(t)y ∗ (t)dt.
(20)
−∞
Introduction
Définition
INTRODUCTION
Produit Scalaire :
Z ∞
hx(t), y (t)i =
x(t)y ∗ (t)dt.
(20)
−∞
Introduction
Définition
INTRODUCTION
Produit Scalaire :
Z ∞
hx(t), y (t)i =
x(t)y ∗ (t)dt.
(20)
−∞
Introduction
Définition
Lignes directrices
1
Définition
Inversion
2
Introduction
Définition
Laplace
Introduction
Définition
Définitions
Définition de la Transformée de Fourier
La transformée de Fourier d’un signal x(t) représenté par une
fonction R → C est la fonction
X (f ) : R
f
→
7
→
C
R∞
F{x(t)} = hx(t), e−2jπft i = −∞ x(t)e−j2πft dt
(21)
Transformée de Fourier inverse
La transformée de Fourier inverse d’une fonction X (f ) est
Z ∞
−1
j2πft
x(t) = F {X (f )} = hX (f ), e
i=
X (f )ej2πft df
(22)
−∞
Note : Le spectre fréquencielle d’un signal x(t) est simplement la
transformée de Fourier X (f ) = F{x(t)}, f étant la fréquence en [Hz]
Introduction
Définition
Définitions
X (f ) : R
f
→
7
→
C
R∞
(21)
Z ∞
−1
j2πft
x(t) = F {X (f )} = hX (f ), e
i=
X (f )ej2πft df
(22)
−∞
Introduction
Définition
Définitions
X (f ) : R
f
→
7
→
C
R∞
(21)
Z ∞
−1
j2πft
x(t) = F {X (f )} = hX (f ), e
i=
X (f )ej2πft df
(22)
−∞
Introduction
Définition
Conditions de définition
Pour que la transformée de Fourier X (f ) d’un signal x(t) existe, il faut
que ce signal satisfasse les deux conditions suivantes :
R∞
1
x(t) doit être absolument intégrable — i.e. −∞ |x(t)|dt < ∞.
2
Tout intervalle fini (ou support du signal) doit comporter un
nombre fini de discontinuités et d’extrema.
Introduction
Définition
Autres Définitions : fréquences angulaires
Définition de la transformée de Fourier dans le domaine des
fréquences angulaires
La transformée de Fourier d’un signal x(t) peut aussi s’éxprimer dans
le domaine de la fréquence angulaire ω = 2πf rad/s :
Z ∞
X (ω) =
x(t)e−jωt dt
(23)
−∞
Transformée de Fourier inverse dans le domaine des fréquences
angulaires
La transformée de Fourier inverse d’une fonction X (ω) est
Z ∞
1
x(t) = F −1 {X (ω)} =
X (ω)ejωt dω
2π −∞
(24)
Introduction
Définition
Z ∞
X (ω) =
x(t)e−jωt dt
(23)
−∞
angulaires
Z ∞
1
x(t) = F −1 {X (ω)} =
X (ω)ejωt dω
2π −∞
(24)
Introduction
Définition
Z ∞
X (ω) =
x(t)e−jωt dt
(23)
−∞
angulaires
Z ∞
1
x(t) = F −1 {X (ω)} =
X (ω)ejωt dω
2π −∞
(24)
Introduction
Définition
R EMARQUES
Dans le reste de ce cours nous utiliseront la définition dans le
domaine des fréquences en Hz
Cependant, occasionnellement nous utiliseront la définition dans
le domaine des fréquences angulaires uniquement par facilité
d’écriture et de développement mathématique
Introduction
Définition
Lignes directrices
1
Définition
Inversion
2
Introduction
Définition
Laplace
Introduction
Définition
Lien avec la transformée de Laplace
Soit un signal x(t) ayant pour transformée de Laplace X (s) et une
région de convergence Rx
par définition, on a :
Z ∞
X (s) =
x(t)e−st dt
(25)
−∞
On peut aussi écrire :
Z
∞
X (σ + jω) =
x(t)e−(σ+jω)t dt
(26)
−∞
On constate que si l’axe {jω} = {j2πf } ⊆ Rx , la transformée de
Fourier X (f ) s’obtient par :
Z ∞
X (σ + j2πf )|σ=0 = X (f ) =
x(t)e−j2πft dt
−∞
(27)
Introduction
Définition
Lien avec la transformée de Laplace (suite...)
R EMARQUES :
1
2
3
Cela revient donc à poser s = j2πf dans X (s) :
X (f ) = X (s)|s=j2πf si l’axe jω est dans la région de convergence
(ROC) de X (s) ⇒ Cas des signaux convergents
X (f ) n’existe pas si l’axe jω n’est pas dans la ROC et n’est
pas une borne de la ROC ⇒ Cas des signaux divergents
X (f ) existe et comporte des Dirac, (δ(f − fi )) si l’axe jω est une
borne de la région de convergence de X (s) ⇒ Cas des signaux
oscillants (sinus, cosinus) ou stagnants (fonction échelon)
Introduction
Définition
Lignes directrices
1
Définition
Inversion
2
Introduction
Définition
Laplace
Introduction
Définition
Principales Propriétés de la Transformée de Fourier
Les propriétés de la transformée de Fourier decoulent de celles
de la transformée de Laplace
Signal
x(t)
y (t)
ax(t) + by (t)
x(t − to )
ejω0 t x(t), ej2πf0 t x(t)
x ∗ (t)
x(−t)
x(at)
x(t) ∗ y (t)
T.F. (fréq., Hz)
X (ω)
Y (ω)
aX (ω) + bY (ω)
e−jωto X (ω0 )
X (ω − ω0 )
X ∗ (−ω)
X (−ω)
1
ω
|a| X ( a )
X (ω)Y (ω)
T.F.(fréq. angulaire, rad/s)
X (f )
Y (f )
aX (f ) + bY (f )
e−j2πfto X (f )
X (f − f0 )
X ∗ (−f )
X (−f )
1
f
|a| X ( a )
X (f )Y (f )
Introduction
Définition
Propriétés de la Transformée de Fourier (suite...)
Signal
x(t)y (t)
d
x(t)
R t dt
x(τ
)dτ
−∞
tx(t)
x(t) réel
T.F. (fréq., Hz)
1
2π X (ω)
∗ Y (ω)
jωX (ω)
1
jω X (ω) + πX (0)δ(ω)
d
j dω
X (ω)
X (ω) = X ∗ (−ω)
<{X (ω)} = <{X (−ω)}
={X (ω)} = −={X (−ω)}
|X (ω)| = |X (−ω)|
∠X (ω) = −∠X (−ω)
T.F.(fréq. angulaire, rad/s)
X (f ) ∗ Y (f )
j2πfX (f )
1
X
(f
) + 12 X (0)δ(f )
j2πf
j d
2π df X (f )
X (f ) = X ∗ (−f )
<{X (f )} = <{X (−f )}
={X (f )} = −={X (−f )}
|X (f )| = |X (−f )|
∠X (f ) = −∠X (−f )
Introduction
Définition
Propriétés de la Transformée de Fourier (suite...)
Dualité :
f (t)
F (t)
F
F (ω)
←→
F
2πf (−ω)
←→
Relation de Parseval pour les signaux apériodiques :
Z ∞
Z ∞
1
2
|X (ω)|2 dω
|x(t)| dt =
2π −∞
−∞
Z ∞
Z ∞
|x(t)|2 dt =
|X (f )|2 df
−∞
−∞
Introduction
Définition
Table des Transformées de Fourier
x(t)
e−αt u(t)
te−αt u(t)
|t|
δ(t)
1
u(t)
cos(ω0 t)u(t)
sin(ω0 t)u(t)
X (ω)
X (f )
1
α+jω
1
(α+jω)2
−2
ω2
1
α+j2πf
1
(α+j2πf )2
−2
(2πf )2
1
2πδ(ω)
1
πδ(ω) + jω
π
2 [δ(ω − ω0 ) + δ(ω + ω0 )]
+ (ω2jω
−ω 2 )
1
δ(f )
1
1
2 δ(f ) + j2πf
1
4 [δ(f − f0 ) + δ(f + f0 )]
+ ((2πf0 )j2πf
2 −(2πf )2 )
π
2j [δ(ω
1
4j [δ(f
0
− ω0 ) − δ(ω + ω0 )]
0
+ (ω2ω−ω
2)
0
− f0 ) − δ(f + f0 )]
0
+ ((2πf0 )2πf
2 −(2πf )2 )
Introduction
Définition
Table des Transformées de Fourier (suite...)
x(t)
cos(ω0 t)
sin(ω0 t)
e−at sin(ω0 t)u(t)
ω0
ω0 t
2π Sa
2 ,
rect[−τ /2,τ /2] (t)
Λ[−τ,τ ] (t)
e−a|t|
e−t
2
/2σ 2
X (ω)
π[δ(ω − ω0 ) + δ(ω + ω0 )]
jπ[δ(ω + ω0 ) − δ(ω − ω0 )]
ω0
(a+jω)2 +ω02
rect[−ω0 /2,ω0 /2]
(ω)
τ Sa ωτ
2 2
τ Sa ωτ
2
2a
a2 +ω 2
−σ 2 ω 2 /2
√
σ 2πe
1
2 [δ(f
j
2 [δ(f
X (f )
− f0 ) + δ(f + f0 )]
+ f0 ) − δ(f − f0 )]
2πf0
(a+j2πf )2 +(2πf0 )2
rect[−f0 /2,f0 /2] (f )
τ Sa (πf τ )
2
τ [Sa (πf τ )]
2a
a2 +(2πf )2
−σ 2 (2πf )2 /2
√
σ 2πe
Introduction
Définition
Transformée de Fourier de Signaux périodiques
Soit x(t) un signal périodique de période T :
X
2πnt
x(t) =
Xn ej T
n∈Z
La transformée de Fourier de x(t) est :
n 2πnt o
X
X (f ) =
Xn F ej T
n∈Z
=
X
Xn δ(f − n/T )
n∈Z
Dans le domaine des fréquences angulaires :
n 2πnt o
X
X (ω) =
Xn F ej T
n∈Z
= 2π
X
n∈Z
Xn δ(ω − 2πn/T )

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