Transformation de Laplace

TRANSFORMÉE DE LAPLACE
1. DEFINITION
Soit f(t), une fonction du temps nulle pour t négatif et non nulle pour t ≥ 0.
Sa transformée de Laplace est définie par :
£(f(t)) = F(p) =
∫
∞
0
f ( t ). e − pt dt
2. PROPRIÉTÉS
↔
↔
↔
↔
λ.F(p) + µ.G(p)
-τp
e .F(p)
F(p-a)
p.F(p) - f(0)
↔
n
 dn−1f 
p n .F(p) − p n−1. f (0) − ∑ p n−i  n−1 
 dt  0
i= 2
f (u). du
↔
F(p) /p
• fonction périodique : f(t+nT) = f(t)
↔
F (p ) =
•
•
•
•
linéarité
retard temporel
retard fréquentiel
dérivation
: λ.f(t) +
: f(t-τ)
at
: f(t).e
: f'(t)
• dérivation d'ordre n :
dn f
dt n
• intégration
∫
:
t
0
µ.g(t)
1
1 − e − pt
∫
T
0
e − pt . f ( t ). dt
3. THEORÈMES DE LA VALEUR INITIALE ET DE LA VALEUR FINALE
On se souviendra que :
• t→0
correspond à p → ∞
t→∞
correspond à p → 0
: régime transitoire
: régime permanent
• Théorème de la valeur initiale :
lim t→ 0 f ( t) = f ( 0 + ) = lim p→∞ p. F(p)
• Théorème de la valeur finale :
lim t→∞ f ( t) = f ( ∞) = lim p→ 0 p.F(p)
4. APPLICATION
Soit à résoudre l'équation différentielle :
sa transformée de Laplace s'écrit
:
soit :
Y( p ) =
τ.y'(t) + y(t) = f(t) avec y(0 ) = Y0
τ.[p.Y(p) - Y0] + Y(p) = F(p)
+
τ. Y0
F (p )
+
1 + τ. p 1 + τ. p
connaissant F(p), on en déduira Y(p) et finalement y(t).
S
S
M
O
N
N
N
Seeerrrgggeee M
MO
ON
NN
NIIIN
N
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m
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1
5. DÉCOMPOSITION EN FRACTIONS SIMPLES
Lorsque la fonction de p est une fraction algébrique rationnelle, on la décompose en une somme de
fractions simples à chacune desquelles correspond une transformée inverse donnée dans une table.
S(p) =
N(p)
D(p)
Exemple :
Les zéros du dénominateur s'appellent les pôles de S(p).
1
A
B
=
+
(p + a).(p + b) p + a p + b
en réduisant au même dénominateur et en identifiant les deux membres de l'égalité, on obtient :
A+B = 0 et A.b + B.a = 1, donc : A = -B = 1/(b-a)
Cette méthode devient vite lourde lorsque le nombre de fractions simples augmente. On utilise alors
les relations suivantes :
• si p = p1 est un pôle d'ordre n, on aura les fractions simples suivantes :
An
(p − p )
n
+
1
A n−1
(p − p )
n−1
+...+
A1
(p − p )
1
1
avec :
n N(p) 

A n = (p − p 1 )
= [F (p)] p= p1
D(p)  p= p1

 dF(p) 
A n−1 = 

 dp  p= p1
1 diF(p) 
A n−i = 
i 
 i! dp  p =p1
• si p = p2 est un pôle simple, on aura des termes de la forme :
A0
p
si p2 = 0 : pôle à l'origine ou bien
A1
p − p2
si p2 est un pôle quelconque
avec :
 N(p) 
A0 = 

D'(p)  p= 0
 N(p) 
A1 = 

D'(p)  p=p2
et
D'(p) =
dD(p)
dp
on peut également utiliser les relations suivantes :
 N(p) 
A 0 = p

 D(p)  p = 0

N(p) 
A 1 = (p − p2 )
D(p)  p =p 2

• si le dénominateur comporte des pôles complexes conjugués d'ordre n :
p1 = a - jb et p2 = a + jb
on aura une somme :
avec :
((p − a)
(
2
+ b2

2
A np1 + Bn =  (p − a ) + b2

A n −ip1 + Bn −i
S
S
M
O
N
N
N
Seeerrrgggeee M
MO
ON
NN
NIIIN
N
A np + B n
)
+
A n−1p + B n−1
) ((p − a)
n
n
2
+ b2
)
n−1
+...+
A 1p + B 1
((p − a)
2
+ b2
)
N(p) 
= [F(p)] p =p1
D(p)  p =p1
1 diF(p) 
=
i 
 i! dp  p =p1
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2
Exemples :
a) On soumet un circuit RC, dont le condensateur est initialement déchargé, à une rampe de tension
de pente k. Donner l'équation de la réponse à cette excitation.
La transmittance de Laplace du circuit RC a pour expression :
T (p ) =
1
1 + RCp
La transformée de Laplace de l'excitation s'écrit :
E(p) =
k
p2
La transformée de Laplace de la sortie a donc pour expression :
k
A B
C
= 2 + +
p p + 1/ τ
p ( τp + 1) p


k
1
2
A = (p − 0) 2
= k ⇒ F (p ) =

τp + 1
p ( τp + 1)  p= 0

S(p) =
2
 − kτ 
 dF(p) 


B= 
=
= − kτ

2
 dp  p= 0  ( τp + 1)  p= 0
 k 
C=  2
= kτ
 τp  p= −1/ τ
donc :
S(p) =
et : s(t)
k kτ
kτ
+
2 −
p p + 1/ τ
p
= k.t - k.τ + k.τ.e
-t/τ
= k.τ.e
-t/τ
e(t)
+ k.(t-τ)
s(t)
t
Rq : si les conditions initiales ne sont pas nulles, il faut, à partir de l'équation S(p) = T(p).E(p), revenir à
l'équation différentielle puis introduire les conditions initiales dans sa transformée de Laplace avant de
déterminer s(t) (voir exercice sur les circuits du premier ordre).
S
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M
O
N
N
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3
b) Décomposer
On écrira :
S(p) =
S(p) =
p. (p 2 + p + 1). (p − 1)
A. p + B
(p
2
1
+ p + 1)
+
C
(p − 1)
2
+
2
en fractions simples.
D
(p − 1)
+
E
p


1
1
C=
=

2
 p. (p + p + 1)  p =1 3
 − p.(2. p + 1) − p 2 + p + 1 
d

(
) = − 2
1


D=
=
2
2

3
 dp p. (p + p + 1)  p =1 
p. (p 2 + p + 1)

 p =1
(
)


1

E=  2
=1
2
 ( p + p + 1). (p − 1) 
p= 0
Pour trouver la valeur de A, on peut réduire au même dénominateur S(p) et remarquer que seuls
4
A,D et E sont facteurs de p , donc A + D + E = 0 et A = 2/3 - 1= -1/3, ou bien on peut multiplier
les deux membres de l’équation par p et faire tendre p vers l’infini, ce qui donne également A + D + E
= 0.
Pour B on pourra remplacer p par une valeur simple, mais pas un pôle.
Par exemple, avec p = -1, on obtient B = 0.
S
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