Transfert de chaleur par conduction en régime variable

Transcription

Transfert de chaleur par rayonnement
III.
3.1
TRANSFERT DE CHALEUR PAR CONDUCTION EN REGIME
VARIABLE
Conduction unidirectionnelle en régime variable sans changement d’état
3.1.1 Milieu à température uniforme
On va étudier le transfert de chaleur vers un milieu à température uniforme, ce qui est a priori contradictoire
car il est nécessaire qu’il y ait un gradient thermique pour qu’il se produise un transfert de chaleur. Cette
approximation du milieu à température uniforme peut néanmoins être justifiée dans certains cas que l’on va
préciser. Soit par exemple la trempe d’une bille métallique qui consiste à immerger une bille initialement à la
température Ti dans un bain à température T0 maintenue constante. Si l’on suppose que la température à
l’intérieur de la bille est uniforme, ce qui sera d’autant plus vrai que sa dimension est petite et sa conductivité
thermique élevée, on peut écrire le bilan thermique de cette bille entre deux instants t et t + dt :
− h S (T − T0 ) = ρ c V
dT
dt
soit :
hS
dT
=−
T − T0
ρcV
T − T0
 hS 
= exp  −
t 
Ti − T0
 ρcV 
D’où :
On remarque que le groupement
(3.1)
ρcV
est homogène à un temps, on l’appellera τ la constante de temps du
hS
système :
τ=
Cette grandeur est fondamentale dans la
T − T0
 t
= exp  −
physique, on a en effet :
Ti − T0
 τ
τ=
ρcV
hS
(3.2)
mesure où elle donne l’ordre de grandeur de temps du phénomène

 avec :

ρc V
hS
1
0,37
0
t
Figure 3.1 : Evolutionτde la température d’un milieu à température uniforme
Il est toujours intéressant en physique de présenter les résultats sous forme adimensionnelle, deux nombres
adimensionnels sont particulièrement important en régime variable :
l
Résisance thermiqueinterne λS
=
, l est la dimension
- Le nombre de Biot : Bi = nombre de Biot =
1
Résisance thermiqueexterne
hS
caractéristique du milieu, l = r pour une sphère.
Soit :
Bi =
hl
(3.3)
λ
1
Transferts thermiques
L’hypothèse d’uniformité de la température est justifiée lorsque Bi < 0,1 .
-
Fo =
Le nombre de Fourier :
at
(3.4)
l2
Le nombre de Fourier caractérise la pénétration de la chaleur en régime variable. La définition de ces deux
nombres permet d’écrire l’expression de la température de la bille sous la forme :
T − T0
= exp (− Bi Fo )
Ti − T0
(3.5)
La connaissance du produit des nombres de Biot et de Fourier permet de déterminer l’évolution de la
température de la sphère . On considère généralement qu’un système tel que Bi < 0,1 peut être considéré comme
étant à température uniforme, le critère Bi < 0,1 est appelé le critère d’« accommodation thermique ».
3.1.2 Milieu semi-infini
Un milieu semi-infini est une paroi d’épaisseur suffisamment grande pour que la perturbation appliquée sur
une face ne soit pas ressentie par l’autre face. Un tel système représente l’évolution d’un mur d’épaisseur finie
pendant un temps suffisamment court pour la perturbation créée sur une face n’ait pas atteint l’autre face (vrai
tout le temps que la température de l’autre face n’a pas varié).
3.1.2.1
Température constante imposée en surface
Méthode : Transformée intégrale de Laplace sur le temps et inversion par les tables.
Le milieu semi-infini est initialement à la température uniforme Ti. On impose brutalement la température T0
sur sa surface, cette condition limite est appelée condition de Dirichlet :
T(x,t=0) = Ti
T(x=0,t) = T0
0
x
Figure 3.2 : Schéma du milieu semi-infini avec température de surface imposée
L’équation de la chaleur s’écrit :
∂2T
= 1 ∂T
a ∂t
∂x 2
Avec les conditions aux limites :
(a)
T(x, 0) = Ti
T(x=0, t) = T0
Lim T(x, t) = Ti
x →∞
On effectue le changement de variable suivant : T =
D’où :
∂T
∂x
=
1
∂T
T0 − Ti
∂x
L’équation (a) peut alors s’écrire :
,
∂ 2T
∂x 2
∂2T
∂x
2
=
(b)
(c)
(d)
T − Ti
T0 − Ti
∂ 2T
1
T0 − Ti
∂x
2
et
∂T
∂t
=
1
∂T
T0 − Ti
∂t
= 1 ∂T
a ∂t
2
Et les conditions aux limites deviennent :
T ( x , 0) = 0
(b)
T ( x = 0, t ) = 1
(c)
Lim T ( x, t ) = 0
(d)
x →∞
La transformée de Laplace (cf. annexe A.3.1 sur les transformations intégrales) de T ( x, t ) par rapport au
∞
temps s’écrit : θ(x, p) = L{T ( t )} = ∫ exp(−p t ) T (x, t ) dt
0
La transformée de Laplace de l’équation (a) conduit à :
Cette équation est donc de la forme :
d2θ
2
− q2 θ = 0
[
]
d 2θ
− 1 p θ − T (x,0) = 0 avec
a
dx 2
avec
q2 =
T ( x,0) = 0
p
a
dx
D’où : θ(x, p) = A e −qx + B e + qx , la température garde une valeur finie quand x tend vers l’infini donc B =
0, nous en déduisons que θ(x, p) = A e −qx
La transformée de Laplace de l’équation (c) conduit à : θ(0, p) =
1
d’où
A=
1
p
et
θ=
e − qx
p
p
L’utilisation des tables de la transformée de Laplace inverse présentées en annexe A.3.2 conduit au résultat
suivant :
 x 
T (x, t ) − T0

= erf 
2 at 
Ti − T0


Avec : erf (u ) =
2
π
∫ exp(− u ). du
2
(3.6)
, la fonction erf est aussi appelée la fonction erreur (valeurs tabulées en
annexe A.3.4)
3.1.2.2
Flux imposé
Considérons la même configuration mais en imposant brutalement une densité de flux de chaleur à la surface
du milieu semi-infini, cette condition limite est appelée condition de Neumann.
φ0
−λ
∂ T( x = 0, t )
Milieu ambiant à T∞
Milieu semi-infini
∂x
Ti = T(x, t=0)
0
x
Figure 3.3 : Schéma du milieu semi-infini avec flux surfacique imposé
2
= 1 ∂T
L’équation de la chaleur s’écrit : ∂ T
2
a ∂t
∂x
T(x, 0) = Ti
T(∞, t) = Ti
∂T (0, t )
−λ
= φ0
∂x
(a)
(b)
(c)
(d)
3
Cette dernière condition traduit la conservation du flux de chaleur au niveau de la surface du milieu semiinfini.
On effectue le changement de variable suivant : T = T − Ti
D’où :
∂T
∂T
=
∂x
∂x
,
∂ 2T
∂ 2T
=
∂x
∂x
et
∂2T
∂x
=
2
∂T
∂T
=
∂t
∂t
1 ∂T
α ∂t
Et les conditions aux limites deviennent
T ( x , 0) = 0
(b)
T ( ∞, t ) = 0
(c)
−λ
(d)
[
d 2θ
]
− 1 p θ − T ( x ,0) = 0 avec T ( x,0) = 0
a
dx 2
, la température garde une valeur finie quand x tend vers l’infini donc B =
D’où : θ( x, p ) = A e − qx + B e + qx
∂T (0, t )
= φ0
∂x
0, et nous en déduisons que θ( x, p ) = A e −qx
La transformée de Laplace de l’équation (d) s’écrit :
D’où : A =
φ0
et
λpq
θ(x, p ) =
φ0
e
φ0
p
= −λ
dθ
(x = 0)
dx
− qx
λ
pq
suivant :
T (x, t) = T(x, t) − Ti =
Avec : ierfc (u ) =
3.1.2.3
1
π
2 φ0
λ
 x
a t ierfc 
2 at





(3.7)
( )
exp − u 2 − u [ 1 − erf (u )] , cette fonction est tabulée en annexe A. 3.4.
Coefficient de transfert imposé
On considère le cas où le coefficient de transfert de chaleur par convection h entre le milieu semi-infini et le
milieu ambiant est imposé, cette condition limite est appelée condition de Newton :
∂ 2 T = 1 ∂T
a ∂t
∂x 2
(a)
Ti = T(x, t=0)
Milieu ambiant à T∞
h [T∞ − T(x = 0, t )]
−λ
∂T (x = 0, t )
∂x
Milieu semi-infini
x
0
Figure 3.4 : Schéma du milieu semi-infini avec coefficient de transfert convectif imposé
4
T(x, 0) = Ti
(b)
T(∞, t) = Ti
(c)
∂T (0, t )
−λ
= h [T∞ − T( x = 0, t )] (d)
∂x
D’où :
∂T
∂T
=
∂x
∂x
,
∂2T
=
∂x
∂2T
∂x
∂T
∂T
=
∂t
∂t
et
2
= 1 ∂T
L’équation (a) peut alors s’écrire : ∂ T
2
a ∂t
∂x
Les conditions aux limites deviennent :
T ( x , 0) = 0
(b)
T ( ∞, t ) = 0
(c)
λ
∂ T (0, t )
∂x
= h [T ( x = 0, t ) − (T∞ − Ti )]
d 2θ
dx
2
[
(d)
]
− 1 p θ − T ( x ,0) = 0 avec T (x ,0) = 0
a
D’où : θ( x, p ) = A e − qx + B e + qx
La température garde une valeur finie quand x tend vers l’infini donc B = 0 et θ( x, p ) = A e −qx
h (Ti − T∞ )
dθ
(0, p) = h θ(0, p ) +
La transformée de Laplace de l’équation (d) s’écrit : λ
dx
p
h
(T∞ − Ti )
h (Ti − T∞ )
Soit : − λ A q = h A +
d’où : A = λ
p
h

p  + q
λ

e −q x
h
où l =
p (q + l )
λ
suivant :
et θ( x, p ) = l (T∞ − Ti )
T − T∞
Ti − T∞
2
 x 



 + exp h x + a h t  erfc x + h a t
= erf 
 λ
2 at 
2 at
λ
λ 2 








(3.8)
Pour un calcul approché, on trouvera en annexe A.3.5 une abaque représentant graphiquement cette formule.
3.1.2.4
Température sinusoïdale imposée en surface, régime périodique établi
Méthode : Recherche d’une solution de même fréquence que l’excitation
Ti = T(x, t=0)
T(x=0, t) = T0 cos (ωt)
Milieu semi-infini
0
x
Figure 3.5 : Schéma du milieu semi-infini avec température sinusoïdale imposée en surface
5
∂ T
2
∂x
2
=
1 ∂T
a ∂t
(a)
T(0, t) = T0 cos(ωt)
T(∞,t) = Ti
(b)
(c)
On recherche une solution en régime établi pour laquelle le champ de température du milieu évolue comme :
T (x, t ) = exp(iωt ) f ( x )
où, le problème étant linéaire, on considère soit la partie réelle soit la partie imaginaire de la solution selon
que la température varie comme cos (ωt) ou sin (ωt). La fonction complexe f est solution de :
d2f
dx
2
−i
ω
f = 0 avec f (0) = T0
a
 iω 

iω
iω
iω 
=
(1 + i )
avec
x
x  + B exp 
f ( x ) = A exp  −




a
2a
a 
 a 

La fonction f doit rester finie quand x →∞ donc B = 0 et f (0) = T0 entraîne A = T0.
 



ω
ω 
ω 
x  exp i  ω t −
x 
(1 + i) x + i ω t  = T0 exp  −
D’où : T( x, t ) = T0 exp −
2a
2a 
2 a 



 
Soit en prenant la partie réelle de la solution :
T( x, t ) = T0 e
Soit finalement :
−
ω
x
2a

ω 
cos  ωt −
x
2a 

(3.9)
Remarques :
-
-
L’amplitude des oscillations décroît rapidement lorsqu’on s’éloigne de l’interface.
L’amplitude des oscillations décroît également rapidement quand la fréquence de l’excitation augmente :
une excitation de fréquence élevée appliquée à la surface d’un solide ne modifiera sa température que sur
une faible profondeur.
Entre les températures T1 et T2 de 2 points distants respectivement de x1 et x2 de la surface, il existe un
ω
(x 1 − x 2 ) . La connaissance de ω et la mesure de la température au sein du milieu
2a
en deux points situés à des distances connues x1 et x2 de la surface peut permettre d’évaluer la diffusivité
thermique a.
déphasage égal à
3.1.2.5
Contact brusque entre deux milieux semi-infinis
T1(x, t=0) = T1
Milieu semi-infini 2
Tc
T2(x, t=0) = T2
0
Figure 3.6 : Schéma du contact brusque entre deux milieux semi-infinis
x
6
On considère deux milieux semi-infinis initialement à deux températures uniformes différentes Ti1 et Ti2. A
l’instant initial, on place les deux milieux en contact et l’on recherche l’évolution de la température au sein des
deux milieux.
L’équation de la chaleur s’écrit pour chacun des deux milieux :
∂T1 (x, t )
∂t
= a1
∂ 2 T1 ( x, t )
(a)
∂x 2
∂T2 (x, t )
et
∂t
= a2
∂ 2 T2 (x, t )
(b)
∂x 2
L’origine des abscisses est prise au point de contact entre les deux milieux. Les conditions aux limites
s’écrivent :
T1(x, 0) = Ti1
(c)
T2(x, 0) = Ti2
(d)
∂T2 (0, t )
∂T1 (0, t )
= λ2
λ1
(e)
∂x
∂x
T1 (0, t ) = T2 (0, t )
(f)
On effectue les changements de variable suivants : T1 = T1 − Ti1
∂ 2 T1
Les équations (a) et (b) peuvent alors s’écrire :
∂x
2
=
1 ∂T1
et
a ∂t
Ti ( x,0) = 0
T2 = T2 − Ti 2
∂ 2 T2 1 ∂T2
=
a ∂t
∂x 2
et
i = 1, 2
(c)
Ti (∞, t ) = 0 i = 1, 2
(d)
∂T1 (0, t )
∂ T (0, t )
= λ2 2
∂x
∂x
(e)
T1 (0, t ) = T2 (0, t ) + Ti 2 − Ti1
(f)
λ1
Les transformées de Laplace des équations (a) et (b) conduisent comme dans les cas précédents à des
solutions du type : θ1 (x , p ) = A 1 e
− q1x
+ B1 e
et θ 2 (x, p ) = A 2 e
+ q1x
− q2 x
+ B2 e
+q2x
La température garde une valeur finie quand x tend vers ± ∞ donc A1 = 0 et B2= 0 , nous en déduisons que :
θ 1 ( x , p ) = B1 e
q1x
et θ 2 ( x, p ) = A 2 e
−q 2 x
Les transformées de Laplace des équations (e) et (f) s’écrivent alors :
B1 λ1 q1 = − A 2 λ 2 q 2
B1 = A 2 +
(e)
Ti 2 − Ti1
(f)
p
La résolution de ce système linéaire permet de calculer les valeurs de B1 et de A2 :
B1 =
Où E i =
λi ρi ci
E2
E1 + E 2
(Ti 2 − Ti1 )
1
et
p
A2 =
E1
E1 + E 2
(Ti1 − Ti 2 )
1
p
est l’effusivité thermique du milieu i.
On en déduit les valeurs de θ1 et de θ2 :
θ1 (x , p ) =
E 2 (Ti 2 − Ti1 )
(E 1 + E 2 ) p
e
q1 x
et
θ 2 (x , p ) =
E 1 (Ti1 − Ti 2 )
(E1 + E 2 ) p
e
−q 2 x
suivant :
7
T1 ( x, t ) − Ti1
E2
=
Ti 2 − Ti1
E1 + E 2
 x


erfc 
2 a t 

1 
T2 ( x, t ) − Ti 2
E1
=
Ti1 − Ti 2
E1 + E 2

x
erfc 
2 a t

2
(3.10)




Propriété de la température de contact Tc : elle se calcule par : Tc (t ) = T1 (0, t ) = T2 (0, t ) sachant que
erfc (0) = 1.
D’où :
Tc =
E 1 Ti1 + E 2 Ti 2
(3.11)
E1 + E 2
On remarque que la température de contact entre les deux milieux reste constante pendant toute la durée du
transfert de chaleur. C’est le milieu qui a la plus grande effusivité thermique qui impose la température de
contact.
Application : Sensation thermique lors du contact de la peau avec un métal ou un isolant, choix de matériaux
améliorant le confort thermique.
3.1.2.6
Contact brusque entre deux milieux semi-infinis avec résistance de contact
On considère deux milieux semi-infinis initialement à deux températures uniformes différentes Ti1 et Ti2. A
l’instant initial, on place les deux milieux en contact et l’on recherche l’évolution de la température au sein des
deux milieux. Le contact entre les deux milieux est imparfait et l’on doit tenir compte d’une résistance de contact
Rc = 1/h (°C.W-1.m-2) à l’interface.
Résistance de contact
T1(x, t=0) = T1
T2(x, t=0) = T2
x
0
Figure 3.7 : Schéma du contact entre deux milieu semi-infinis avec résistance à l’interface
L’équation de la chaleur s’écrit pour chacun des deux milieux :
∂ 2 T1 (x , t )
∂T1 ( x ,t )
=a 1
(a)
∂t
∂x 2
et
∂ 2 T 2 (x , t )
∂ T 2 (x , t )
=a 2
∂t
∂x 2
(b)
L’origine des abscisses est prise au point de contact entre les deux milieux. Les conditions aux limites
s’écrivent :
∂T (0, t )
∂T (0, t )
λ1 1
= λ2 2
(c)
∂x
∂x
∂T (0, t )
= h [T1 (0, t ) − T 2 (0, t )]
λ1 1
(d)
∂x
8
On effectue les changements de variable suivants : T1 = T1 − Ti1
∂T1
∂ T1
= 1
2
a ∂t
∂x
et
T2 = T2 − Ti 2
et
∂ 2 T2
∂T2
= 1
2
a ∂t
∂x
2
Les équations (a) et (b) peuvent alors s’écrire :
∂ T (0, t )
∂T1 (0, t )
= λ2 2
∂x
∂x
∂ T (0, t )
= h [T1 (0, t ) − T2 (0, t ) + Ti1 − Ti 2 ]
− λ1 1
∂x
λ1
(c)
(d)
Les transformées de Laplace des équations (a) et (b) conduisent comme dans le cas précédent à des solutions
du type : θ1 (x , p ) = A 1 e
+ q1x
et θ 2 ( x, p ) = A 2 e
−q 2 x
Les transformées de Laplace des équations (c) et (d) s’écrivent alors :
A1 λ1 q1 = − A 2 λ 2 q 2
(c)
h (Ti1 − Ti 2 )
− A1 λ1 q1 = h (A1 − A 2 ) +
p
(d)
La résolution de ce système linéaire permet d’établir l’expression de A1 et de A2 :
h
h
(Ti 2 − Ti1 )
(Ti 2 − Ti1 )
λ2
λ1
1
1
A1 =
A2 =
et
p
p
h  E2 
h  E1 
 + q1
1 +
 + q2
1 +




E1 
λ2 
λ1  E 2 
On en déduit :
θ1 (x , p ) = c 1
θ 2 (x , p ) = c 2
e
q1 x
p (q 1 + b 1 )
e
)
et
b1 =
h
λ1
(
)
et
b2 =
h
λ2
c1 = h Ti2 − Ti1
λ1
avec
c 2 = h Ti1 − Ti2
λ2
− q2 x
p (q 2 + b 2 )
(
avec

E 
1 + 1 

E 2 


E 
1 + 2 

E1 

suivant :

 x 


T1 (x, t) − Ti1
E2
 − exp(b x + a b 2 t) erfc x + b a t 
erfc
=
1
1
1
1
1
 2 a t
 2 a t

Ti2 − Ti1
E 2 − E1 
1
1 









T2 (x, t) − Ti2
E1
x 
x
2
erfc
=
− exp(b 2 x + a 2 b 2 t) erfc
+ b 2 a 2 t 
 2 a t
 2 a t

Ti1 − Ti2
E 2 − E1 
2
2 




(3.12)
3.1.3 Transfert unidirectionnel dans des milieux limités : plaque, cylindre, sphère
3.1.3.1
Plaque infinie
On considère le cas d’une plaque d’épaisseur 2L et de dimensions latérales suffisamment grandes pour que
l’on puisse considérer que le transfert de chaleur est unidirectionnel. L’étude de ce cas permettra d’illustrer les
différentes méthodes utilisées pour résoudre l’équation de la chaleur monodimensionnelle en régime variable.
9
1er cas : Plaque avec température constante imposée en surface
Ti = T (x,0)
T0 = T (-L, t)
T0 = T (L, t)
-L
0
+L
x
Figure 3.8 : Schéma d’une plaque avec température imposée en surface
1ère méthode : Transformée de Laplace, développement en série et inversion terme à terme par les tables.
∂ 2 T = 1 ∂T
a ∂t
∂x 2
(a)
T(x, 0) = Ti
T(L, t) = T0
∂T
(0 , t ) = 0
∂x
(b)
(c)
(d)
∂T
∂T
=
∂x
∂x
d’où :
∂ 2 T = 1 ∂T
a ∂t
∂x 2
T ( x , 0) = 0
(b)
(c)
T ( x = L, t ) = T0 − Ti
∂T
(0, t ) = 0
∂x
(d)
∞
La transformée de Laplace de T ( x, t ) par rapport au temps s’écrit : θ(x, p) = L{T ( t )} = ∫ exp(−p t ) T (x, t ) dt
0
d θ
2
dx
Cette équation est donc de la forme :
d 2θ
dx 2
−
2
− q2 θ = 0
1
a
avec
[p θ − T (x ,0)] = 0 avec
q2 =
T ( x,0) = 0
p
a
D’où : θ( x, p ) = A cosh(qx ) + B sinh(qx)
La transformée de Laplace de l’équation (d) conduit à : λ
dθ
(x = 0) = 0
d’où B = 0 et θ = A cosh (qx)
dx
La transformée de Laplace de l’équation (c) conduit à : θ(L, p) =
T0 − Ti
p
et
θ( x, p ) =
(T0 − Ti ) cosh(qx)
=
p cosh(qL)
∆T
p e
e qx + e − qx
qL
(1 + e
− 2 qL
)
=
A=
T0 − Ti
p cosh(qL)
∆T cosh(qx )
p cosh(qL)
Nous pouvons utiliser un développement en série de
θ( x, p ) =
d’où
∆T
p
[e
−q ( L− x )
1
1 + e −2 q L
+ e − q(L+ x )
]∑ (−1)
∞
n
pour écrire θ(x,p) sous la forme :
e − 2 nqL
n =0
10
θ( x, p ) =
∆T
p
∞
∑ (− 1)
n
n =0
e −q[( 2 n +1)L− x ] +
∆T
p
∞
∑ (− 1)
n
e −q [(2 n +1)L + x ]
n =0
La transformation inverse de Laplace terme à terme (propriété de linéarité) conduit à :
n
n
∞
∞
 (2n + 1) L − x 
 ( 2n + 1) L + x 
= ∑ (− 1) erfc 
 + (T0 − Ti ) ∑ ( − 1) erfc 

n =0




2 at
2 at
T0 − Ti n =0
T − Ti
(3.13)
Cette solution converge rapidement pour les faibles valeurs de t.
2ème méthode : Décomposition de la température en un produit de fonctions et superposition des solutions.
Ti = T (x,0)
T0 = T (0, t)
T0 = T (2L, t)
2L
x
0
Figure 3.9 : Schéma d’une plaque avec température imposée en surface
∂ 2 T = 1 ∂T
a ∂t
∂x 2
(a)
T(x, 0) = Ti
T(0, t) = T (2L, t) = T0
(b)
(c)
On effectue le changement de variable suivant : T = T − T0
∂ 2 T = 1 ∂T
a ∂t
∂x 2
T ( x,0) = Ti − T0
(b)
T ( x = 0, t ) = T (x = 2L, t ) = 0
(c)
On peut aussi considérer par raison de symétrie une plaque d’épaisseur L en prenant une condition de flux
∂T (L, t )
= 0 (d)
nul en x = L soit pour la seconde condition limite :
∂x
On effectue une décomposition de la température en un produit de fonctions sous la forme :
T (x , t ) = X( x )Y(t ) . L’équation de la chaleur conduit à l’équation suivante :
X " Y = 1 XY '
a
ou :
X" = 1 Y ' = − ω 2
X
a Y
Où ω est une constante car les deux fonctions X et Y dépendent l’une de x et l’autre de t. Nous en déduisons :
X"+ω 2 X = 0 ⇒ X = A 1 cos(ωx ) + B1 sin(ωx )
2
Y'+a ω 2 Y = 0 ⇒ Y = Ce −aω t
Et T ( x, t ) = e −aω
2
t
[A cos (ωx ) + B sin (ωx )]
La condition limite T (0, t ) = 0 s’écrit alors : A =0
2
d’où : T ( x, t ) = B sin(ωx )e −aω t , les fonctions ψ n ( x ) = sin (ω n x ) sont les fonctions propres du système.
11
La condition limite
∂ T ( L, t )
= 0 pour tout t s’écrit alors : B cos (ωL ) = 0
∂x
Cette équation admet une infinité de solutions que l’on appelle les valeurs propres : ω n = ( 2n + 1)
π
2L
avec
n variant de 0 à l’infini.
Le théorème de superposition des solutions permet d’écrire la solution générale de (a) sous la forme :
(
∞
T ( x, t ) = ∑ D n sin(ω n x ) exp − a ω n 2 t
n =0
)
La méthode générale de résolution est la suivante :
L
Si le premier terme de la série est une constante non nulle on le détermine en calculant ∫ T ( x,0 ) dx de deux
0
manières :
- En remplaçant T ( x,0) par son expression déduite des données du système à l’état initial :
T ( x,0) = Ti ( x ) (e)
-
En
T ( x,0)
remplaçant
L
∞ L
0
0
∞
T ( x,0) = ∑ D n sin(ω n x ) ,
par
n =0
∫ T (x,0 ) dx = ∑ ∫ D n ψ n (ω n x ) dx
on
obtient
la
somme
infinie :
(f)
0
dont on montre après intégration que seul le premier terme D0 est non nul.
On détermine la valeur de D0 en égalant les expressions (e) et (f). Dans l’exemple traité, la série ne comporte
pas de terme constant.
L
Les autres termes Dn sont déterminés en calculant ∫ T ( x,0 ) ψ m (ω n x )dx de deux manières :
0
En remplaçant T ( x,0) par son expression déduite des données du système à l’état initial :
-
T ( x,0) = Ti ( x ) (g)
-
T ( x,0)
En remplaçant
L
∞ L
0
0
∞
T ( x,0) = ∑ D n sin(ω n x ) , on obtient la somme infinie :
par
n =0
∫ T (x,0) dx = ∑ ∫ D n ψ n (ω n x ) ψ m (ω m x )dx
0
L
On montre que si n ≠ m alors ∫ ψ n (ω n x ) ψ m (ω m x ) dx = 0 (orthogonalité des fonctions propres)
0
donc :
L
L
0
0
2
∫ T (x,0 ) dx = ∫ D n ψ m (ω m x ) dx (h)
On détermine la valeur des constantes Dm en égalant les expressions (g) et (h).
Appliquons cette méthode à l’exemple traité :
L
L
On a : ∫ T ( x,0 ) ψ m (ω n x )dx = ∫ (Ti − T0 ) sin(ω n x ) dx =
0
0
L
L
L
0
0
0
Ti − T0
ωn
et : ∫ T ( x,0 ) ψ m (ω m x )dx = ∫ D m sin 2 (ω m x ) dx = D m ∫ sin 2 (ω m x ) dx = D m
2 (Ti − T0 ) 4 (Ti − T0 )
=
On en déduit : D m =
ωn
(2n + 1) π
et finalement :
T ( x, t ) =
L
2
2

T( x, t ) − Ti 4 ∞
1
π x
2 π at
(
)
sin (2 n + 1)
exp
2
n
1
−
+
= ∑


T0 − Ti
2 L 
4 L2 
π n =0 2 n + 1


(3.14)
12
Cette solution converge pour un petit nombre de termes pour les valeurs élevées de t (le premier terme peut
suffire pour t élevé).
Remarque : Dans le cas de l’utilisation des coordonnées cylindriques on calculera plutôt l’intégrale :
L
∫ T (r,0 ) r ψ m (ω n r ) dr pour déterminer la valeur des constantes Dm.
0
Une autre méthode moins générale consiste à écrire la condition limite T ( x,0) = Ti − T0 sous la forme :
∞
π x

T ( x,0) = Ti − T0 = ∑ D n sin (2n + 1)
et à utiliser ensuite un développement en série de Fourier de la
2 L 

n =0
condition initiale sur le domaine.
En effet, une fonction f définie sur [0,L] peut s’écrire sous forme d’une série de Fourier en sinus :
∞
2 L
 n πx 
 n πx 
f ( x ) = ∑ b n sin
 dx
 avec b n = ∫ f ( x ) sin
L
L


 L 
n =1
0
Nous pouvons effectuer un développement en série de Fourier en sinus de f(x) = (Ti - T0) sur l’intervalle
[0,2L] :
∞
1 2 L
 nπu    nπx  ∞ 1
(Ti − T0 ) − 2L
= ∑
du  sin 
 ∫ (Ti − T0 )sin
nπ
2
L
L
2
L
L




n =0
n =0
0

Ti − T0 = ∑
2L
  nπu 
 nπx 
 sin

cos
2
L

 2L 


0
2 (Ti − T0 )
nπx  ∞ 2 (Ti − T0 )
 (2n + 1)πx 
[1 − cos (nπ)] sin
2 sin 
= ∑

(
)
+
π
π
2L
2
L
2
n
1
n



n =0
n =0
4 (Ti − T0 ) ∞
1
 (2n + 1)πx 
Ti − T0 =
sin 
∑

π
2L

n = 0 2n + 1
∞
Ti − T0 = ∑
Par identification, nous en déduisons : D n =
4 (Ti − T0 )
, nous retrouvons le résultat établi précédemment.
π (2n + 1)
3ème méthode : Utilisation d’une transformation intégrale sur la variable d’espace.
Principe de l’utilisation d’une transformée intégrale à la résolution de l’équation de la chaleur :
On applique à l’équation de la chaleur et aux équations résultantes des conditions aux limites une
transformation intégrale permettant d’obtenir une nouvelle équation différentielle dont la résolution (plus aisée)
conduit à l’expression de la température θ dans l’espace transformé. On applique ensuite à θ la transformation
inverse pour obtenir l’expression de la température T dans l’espace réel.
Le choix de la transformation intégrale la mieux adaptée dépend de la configuration et des conditions aux
limites. Si la température dépend de la variable d’espace r, on choisit une transformation du type suivant :
θ(ω) = ∫ w (r )Tω (r, ω) T (r, t ) dr
D
où D est le domaine de définition de la température et Tω (r, t ) est une fonction propre solution du système
formé par l’équation de la chaleur et les conditions aux limites pour un nombre infini de valeurs ωn (n = 1,
2,…..). L’équation dont les ωn sont solutions est appelée l’équation transcendante. La fonction w(r) est choisie
constante et égale à 1 en géométrie rectangulaire et égale à r en géométrie cylindrique. La formule générale
d’inversion est alors la suivante :
T (r , t ) =
∞
T ω (ω n , r )
n =1
N(ω n )
∑
n
θ(ω n )
avec : N(ω n ) =
[
]
2
∫ T ωn (ω n , r ) w (r ) dr
D
N(ωn) est appelée la norme de la fonction propre Tω (r, t ) .
13
On trouvera en annexe A.3.1 la définition et les propriétés des transformations les plus utilisées : Laplace,
Fourier et Hankel. On trouvera également en annexe A.3.3 un tableau donnant les fonctions propres et leurs
normes, les équations transcendantes et les valeurs propres pour les cas de figure les plus courants.
On applique cette méthode au cas de figure schématisé sur la figure 3.9.
∂ 2 T = 1 ∂T
a ∂t
∂x 2
(a)
T(x, 0) = Ti
T(0, t) = T (2L, t) = T0
(b)
(c)
 nπx 
Selon l’annexe A.3.3, la fonction propre est Tω (x, t ) = sin
 , on applique donc une transformation (finie
 L 
car le milieu est fini) de Fourier en sinus (cf. annexe A.2.2) à l’équation (a) :
Fs [a ]
d’où :
[
]
nπ T (0 ) − (− 1)n T (L ) − n 2 π 2 θ (n ) = 1 dθ s (n )
s
a dt
L
L2
2 2
dθ s
nπ (T0 − Ti )
(n )
1 − (− 1)n 1 − n π θ s (n ) = 1
2
a dt
L
L
⇒
[
avec
T (x = 0) = T (x = 2L ) = T0 − Ti
]
2 2 
L (T0 − Ti )

1 − (− 1) n + A exp − n π at 
nπ
L2 


 n 2 π 2 a t 
L (T0 − Ti )

La condition limite T (x, t = 0) = 0 conduit à : θ s (n ) =
1 − (− 1)n + 1 − exp −

nπ

L2  

La transformée inverse permet de calculer T(x,t) :
La solution générale de cette équation s’écrit : θ s (n ) =
[
[
]
[
]
]

 n 2 π 2 a t 
∞
  sin  nπx 
T (x , t ) = 2 ∑ L 1 − (− 1)n + 1 − exp −
2


L n = 1 nπ
 L 

L


2 2 


4 (T0 − Ti ) ∞
1 1 − exp − (2n + 1) π a t   sin  [2n + 1]πx 
T (x , t ) =
∑




π
L


n = 0 2n + 1 
L2



Un développement de la fonction constante et égale à 1 en série de sinus permet de retrouver le résultat de la
2ème méthode.
4ème méthode : Transformation de Laplace, résolution et inversion par une méthode numérique (Stehfest ou sousprogramme Invlap sous Matlab : http://www.mathtools.net/files/net/invlap.zip ).
Nous avons montré en appliquant la 1ère méthode que la transformée de la température T(x,t) – Ti s’écrit :
θ (x, p ) =
(T0 − Ti ) cosh(qx)
p cosh (qL )
=
∆T cosh(qx )
p cosh (qL )
avec q =
p
a
La température T(x,t) peut s’en déduire en utilisant Invlap ou en appliquant la méthode de Stehfest pour
trouver la transformée de Laplace inverse de θ(x,p) :
T(x, t) = Ti +
ln(2)
t
N
 j ln(2)
∑ V j θ x,
j=1

t



(3.15)
Un nombre de termes N=10 est suffisant pour obtenir une précision satisfaisante. Les valeurs des coefficients
Vj correspondants sont donnés en annexe A.3.2.
14
Comparaison des méthodes :
La méthode permettant d’arriver le plus simplement à une valeur de T(x,t) est la 4ème méthode qui ne fournit
toutefois qu’une solution numérique approchée de la solution et qui n’est pas à l’abri d’instabilités numériques
dans certains cas très particuliers. Un nombre de termes N = 10 dans la formule (3.15) permet d’obtenir une
précision satisfaisante. Viennent ensuite par ordre de difficulté croissante la 1ère méthode puis la 2ème et la 3ème
méthode.
Le premier terme de la formule (3.13) représente bien la température aux temps courts alors que le premier
terme de la formule (3.14) représente bien la température aux temps longs.
T( x, t ) − Ti
à
On trouvera à titre d’illustration sur la figure 3.10 la représentation de la température réduite
T0 − Ti
2,5 cm du bord d’une plaque d’épaisseur 10 cm pour un matériau de diffusivité a = 10-6 m2.s-1
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
(3.15) avec N=10
0.4
(3.13) avec 1 terme
0.2
(3.14) avec 1 terme
0.0
0
1000
2000
3000
4000
Figure 3.10 : Température réduite dans une plaque calculée par les différentes relations
2ème cas : Plaque avec flux imposé
φ0
φ0
Ti = T (x,0)
-L
0
+L
x
Figure 3.11 : Schématisation d’une plaque avec flux de chaleur imposé en surface
∂ 2T
∂x
2
=
1 ∂T
a ∂t
(a)
T(x, 0) = Ti
 ∂T 
=0
 
 ∂x  x = 0
 ∂T 
λ 
= φ0
 ∂x  x = L
(b)
(c)
(d)
En utilisant les deux premières méthodes du paragraphe précédent, on arrive aux résultats suivants :
T = Ti +
φ0 t
ρcL
+
n
φ 0 L  3x 2 − L2
 a n 2 π 2 t   nπx 
2 ∞ ( − 1)
 cos 

−
exp −
∑



λ  6L2
π 2 n =1 n 2
L2   L 
(3.16)
15
T = Ti +
2φ 0 at
λ
 (2n + 1)L − x 


∞ 
 + ierfc (2n + 1)L + x 
∑ ierfc




n =0 
2 at
2 at





(3.17)
Ces formules sont complexes à calculer car elles comportent une somme infinie de termes.
L’application de la 1ère méthode au cas de la plaque avec température de surface imposée a permis de montrer
que la transformée de Laplace de la température T(x,t) –Ti s’écrivait : θ(x,p) = A cosh(qx).
∂T( L, t )
On a la condition limite en x = L: − λ
= φ0
∂x
φ
La transformée de Laplace de cette équation conduit à : − λ A q sinh(q L ) = 0
p
φ
1
D’où : A = 0
p λ q sinh(q L )
θ( x, p ) =
Et :
cosh (q x )
φ0
p
(3.18)
λ q sinh(q L )
La température T(x,t) peut s’en déduire facilement en appliquant une méthode numérique (Invlap ou Stehfest)
pour trouver la transformée de Laplace inverse de θ(x,p).
On aboutit facilement par cette méthode à une solution beaucoup plus simple à calculer que celle donnée par
les formules (3.16) ou (3.17).
3ème cas : Plaque avec coefficient de transfert imposé
Ti = T (x,0)
φ = h [T (− L, t ) − T∞ ]
φ = h [T ( − L, t ) − T∞ ]
T∞
T∞
-L
0
+L
x
Figure 3.12 : Schématisation d’une plaque avec coefficient de transfert imposé en surface
∂ 2 T = 1 ∂T
a ∂t
∂x 2
(a)
T(x, 0) = Ti
 ∂T 
=0
 
 ∂x  x = 0
(b)
(c)
 ∂T 
= h [T (L, t ) − T∞ ]
−λ  
 ∂x  x = L
(d)
T ( x, t ) = T( x, t ) − Ti = X( x )Y( t ) . L’équation de la chaleur conduit à l’équation suivante :
X " Y = 1 XY ' ou : X" = 1 Y ' = − ω 2
a
X
a Y
Où ω est une constante car les deux fonctions X et Y dépendent l’une de x et l’autre de t. Nous en déduisons :
16
X"+ω 2 X = 0 ⇒ X = A 1 cos(ωx ) + B1 sin(ωx )
Y'+a ω 2 Y = 0 ⇒ Y = Ce −aω
Et T ( x, t ) = e −aω
2
t
2
t
[A cos (ωx ) + B sin (ωx )]
∂T
(0, t ) = 0 s’écrit alors : B =0
∂x
2
∂T ( x , t )
d’où : T ( x, t ) = A e −aω t cos (ωx ) et
= −ω A exp − a ω 2 t cos (ω x ) , les fonctions propres du
∂x
système sont : ψ n ( x ) = cos (ω n x ) .
La condition limite
(
)
∂T (L, t )
h
= h T (L, t ) pour tout t s’écrit alors : ω tan (ωL ) =
∂x
λ
Cette équation admet une infinité de solutions (valeurs propres) ωn
La solution générale de (a) s’écrit sous la forme d’une combinaison linéaire des solutions particulières :
La condition limite − λ
(
∞
T ( x, t ) = ∑ D n cos(ω n x ) exp − a ω n 2 t
n =1
)
L
L
0
0
On a d’une part : ∫ T ( x,0) ψ m (ω n x )dx = ∫ (Ti − T0 ) cos (ω n x ) dx =
Ti − T0
sin (ω n L )
ωn
Et d’autre part :
L 1 + cos (2 ω
L
L
2
∫ T (x,0) ψ m (ω m x )dx = ∫ D m cos (ω m x ) dx = D m ∫
0
0
n
2
0
x)

L
1
dx = D m  +
sin( 2 ω n L )
ω
2
4


n

h

L
2 tan(ω n L )  D m 
λω
1
1
L+
soit : ∫ T ( x,0) ψ m (ω m x )dx = D m  +
=
ωn
2 
h2
 2 4 ω n 1 + tan 2 (ω n L ) 
0

1+

λ2 ω 2

L
On en déduit : D m = 2 (Ti − T0 )
ωn 2 +







h2
sin (ω n L )
λ2
ωn

h 2  h
L ωn 2 +
+


λ2  λ

Et finalement :
∞
(
T (x , t ) = T0 + 2 (Ti − T0 ) ∑ exp − aω n 2 t
n =1
)
ωn 2 +
h2
sin (ω n L )
λ2
cos (ω n x )
2
ωn
 2 h  h


L  ωn + 2  +
λ  λ

Où ωn ( n = 1,2,… ) sont les solutions de l’équation : ω tan(ωL ) =
(3.19)
h
.
λ
L’application de la 1ère méthode au cas de la plaque avec température de surface imposée a permis de montrer
que la transformée de Laplace de la température T(x,t) –Ti s’écrivait : θ(x,p) = A cosh(qx).
On a la condition limite en x = L: − λ
∂T( L, t )
∂x
= h [T( L, t ) − T0 ] = h [T( L, t ) − Ti ] + h [Ti − T0 ]
17
La transformée de Laplace de cette équation conduit à : − λ A q sinh(q L ) = h A cosh (q L ) + h
Ti − T0
p
D’où : A =
T0 − Ti
p
cosh (q L ) +
1
λq
sinh(q L )
h
θ( x, p ) =
Et :
T0 − Ti
p
cosh (q x )
λq
cosh (q L ) +
sinh(q L )
h
(3.20)
La température T(x,t) peut s’en déduire facilement en appliquant une méthode numérique (Invlap ou
Stehfest) pour trouver la transformée de Laplace inverse de θ(x,p).
3.1.3.2
Cylindre infini
Nous considérons ici un cylindre infini (longueur très grande par rapport au diamètre) de diamètre R
initialement à la température Ti auquel on impose brutalement une température de surface T0 (cf. figure 3.13).
On peut faire l’hypothèse dans ce cas que le transfert de chaleur est uniquement radial.
1er cas : Cylindre infini avec température de surface imposée
On impose brutalement une température T0 à la surface du cylindre initialement à la température uniforme Ti.
1ère méthode : Décomposition de la température en un produit de fonction et transformation de Hankel.
∂ 2 T + 1 ∂T = 1 ∂T
(a)
r ∂r
a ∂t
∂r 2
T(r, 0) = Ti
T (R, t) = T0
(b)
(c)
On effectue le changement de variable suivant : T = T − T0
Ti (r)= T (r, 0)
T0
R
T0
0
r
Figure 3.13 : Schématisation d’un cylindre infini avec température de surface imposée
T (r,0) = Ti − T0
(b)
T (R , t) = 0
(c)
T (x , t ) = X (r)Y (t ) . L’équation de la chaleur conduit à l’équation suivante :
X"+ X '
1
1
R = 1 Y ' = −ω 2
"
'
ou :
X Y + X ' Y = XY
a
r
X
a Y
18
où ω est une constante car les deux fonctions X et Y sont indépendantes. On en déduit :
X"+ X ' + ω 2 X = 0 ⇒ X = AJ 0 (ωx ) + BY0 (ωx )
R
Y '+ a ω 2 Y = 0 ⇒ Y = Ce − aω
2
t
Où J0 est la fonction de Bessel de 1ère espèce non modifiée d’ordre 0 et Y0 la fonction de Bessel de 2nde
espèce non modifiée d’ordre 0. On trouvera en annexe A.2.3 la définition et les principales propriétés des
fonctions de Bessel.
On en déduit que les solutions de (a) sont de la forme : T = Ce − aω
2
t
[AJ 0 (ωx ) + BY0 (ωx )]
Par ailleurs on sait que Y0(0) = -∞ ce qui impose B = 0 d’où T = D e − aω
La condition limite T (R , t ) = 0 s’écrit alors : D e − aω
2
2
t
J 0 (ωx )
J 0 (ωx ) = 0 ce qui impose ωn R = βn où ωn est une
t
solution de l’équation J0(ωR) = 0.
Le théorème de superposition des solutions permet d’écrire la solution générale de (a) sous la forme :
∞
T ( x , t ) = ∑ D n e − aω
n =1
2
t
J 0 (ω n R )
∞
La condition limite T (r,0) = Ti − T0 s’écrit alors : Ti − T0 = ∑ D n J 0 (ωn r )
n =1
(d)
La fonction propre est J0(ωx) ce qui nous amène à appliquer la transformée de Hankel à la condition limite
(d) soit à multiplier chaque membre de l’équation (d) par r J0(ωmr) et à intégrer entre 0 et R :
R
R ∞
R
0
0 n =1
0
2
∫ r J 0 (ω m r ) (Ti − T0 ) dr = ∫ ∑ D n r J 0 (ω m r ) J 0 (ω n r ) dr = ∫ D m r [J 0 (ω m r )] dr
R
car on montre que ∫ r J 0 (ωn r ) J 0 (ωm r )dr = 0 si m ≠ n .
0
[
]
2
R2 '
R2
J 0 (ω m r ) = D m
[J 1 (ω m r )]2
2
2
0
0
car les fonctions Jn vérifient les relations (cf. annexe A.2.3) :
R
R
2
∫ r J 0 (ω m r ) (Ti − T0 ) = D m ∫ r [J 0 (ω m r )] dr = D m
R
∫
0
2
r [J n (ωr )] dr =
R2
2
[J n ' (ωr )]2
et
J n ' (ωr ) = −J n + 1 (ωr ) +
n
ωr
J n (ωr )
On en déduit finalement :
T( r, t ) = T0 +
2 (Ti − T0 )
R
J 0 (ω n r )
∞
∑
n =1
ωn J1 (ω n r )
e
− aω n 2 t
(3.21)
Où ωn (n = 1, 2, 3…) sont les racines de l’équation J0(ωr) = 0.
2ème méthode : Transformation de Laplace, résolution et inversion numérique (Invlap ou Sthefest).
∂ 2 T + 1 ∂T = 1 ∂T
r ∂r
a ∂t
∂r 2
(a)
T(r, 0) = Ti
T (R, t) = T0
(b)
(c)
La transformée de Laplace de l’équation (a) s’écrit :
d 2θ
dr
2
+
1 dθ
r dr
=
p
θ
(d)
a
19
On effectue le changement de variable u =
p
r =qr
a
d 2θ
On a la condition limite :
+
1 dθ
−θ = 0
du 2 u du
La solution générale de cette équation de Bessel s’écrit (cf. annexe A.2.3) : θ(q r, p ) = A I 0 (q r ) + B K 0 (q r )
L’équation (d) s’écrit alors :
∂T (0, t )
= 0 d’où :
dθ( r, p )
= 0 et
dθ( u, p )
∂r
dr
Donc : A I1 ( 0) − B K 1 (0) = 0 avec K1(0) → ∞ d’où B = 0.
=0
du
La seconde condition limite s’écrit : T(R,t) - T0 = 0 soit T(R,t )- Ti = T0 - Ti et θ(r, p ) =
On en déduit : A =
T0 − Ti
1
p
I 0 (qR )
Et finalement :
θ( r, p ) =
T0 − Ti
p
T0 − Ti I 0 (qr )
p
(3.22)
I 0 (qR )
2ème cas : flux de chaleur imposé
On impose brutalement une densité de flux φ0 à la surface du cylindre initialement à la température uniforme
Ti.
Ti (r)= T (r, 0)
φ0
φ0
0
R
r
Figure 3.14 : Schématisation d’un cylindre infini avec flux de chaleur imposé
∂ 2 T + 1 ∂T = 1 ∂T
r ∂r
a ∂t
∂r 2
T(x, 0) = Ti
∂T
λ
(R , t ) = φ0
∂r
On effectue le changement de variable suivant :
T = T − T0
(a)
(b)
(c)
∂ 2 T = 1 ∂T
a ∂t
∂x 2
T ( x,0) = Ti − T0
(b)
∂T
(R , t ) = φ 0
∂r
(c)
λ
20
T (x , t ) = X (r)Y (t ) . L’équation de la chaleur conduit à l’équation suivante :
X"+ X '
R = 1 Y ' = −ω 2
1
1
'
ou :
X Y + X ' Y = XY
X
a Y
a
r
Dont la résolution mène au résultat suivant :
"
ω r 

J 0  n  

2
∞ − aω 2 t
2φ 0 a t φ 0 R r
1
 R  

T( r, t ) = Ti +
+
− − 2 ∑e n
2
2

n
=
1
2R
4
λR
λ
ω n J 0 [ω n ]




(3.23)
On peut également traiter le problème par une transformation de Laplace comme dans le cas d’une
température de surface imposée.
p
Il a été montré que la température est de la forme : θ(q r, p ) = A I 0 (q r ) avec q =
a
∂T( r, t )
La condition limite en r = R s’écrit : − λ
= φ0
∂r
φ
dθ(q R, p) φ 0
ou : − λ q A I1 (qR ) = 0
=
Soit : − λ
dr
p
p
Et : A = −
φ0
1
p λ q I 1 (q R )
θ(q r, p) = −
D’où :
φ 0 I 0 (q r )
p λ q I1 (q R )
(3.24)
3ème cas : coefficient de transfert imposé
On impose brutalement un échange de chaleur par convection avec un coefficient de transfert h à la surface
du cylindre initialement à la température uniforme Ti.
2
+ 1 ∂T = 1 ∂T
(a)
L’équation de la chaleur s’écrit : ∂ T
r ∂r
a ∂t
∂r 2
T(r, 0) = Ti
 ∂T 
= h [T (R , t ) − T∞ ]
−λ  
 ∂r r = R
(b)
(c)
Ti (r)= T (r, 0)
h [T0-T(R,t)]
h [T0-T(R,t)]
R
0
r
Figure 3.15 : Schématisation d’un cylindre infini avec coefficient de transfert convectif imposé
21
La solution peut s’écrire :
2
T( r, t ) = T0 +
h
λ
(Ti − T0 )
∞
∑e
n =1
R
(3.25)
J 0 (ω n r )
− a ωn 2 t

 h2

+ ω n 2  J 0 (ω n R )
2

λ
Où ωn (n = 1, 2, 3…) sont les valeurs propres, racines de l’équation α J 0 ' (ωr) +
h
J 0 (ω r ) = 0 .
λ
p
Il a été montré que la température est de la forme : θ(q r, p ) = A I 0 (q r ) avec q =
a
∂T( r, t )
= h [T ( r, t ) − T0 ] = h [T( r, t ) − Ti ] + h [Ti − T0 ]
∂r
h [Ti − T0 ]
h [Ti − T0 ]
dθ(q R, p)
= h θ(q R , p ) +
ou : − λ q A I1 (qR ) = h A I 0 (q R ) +
Soit : − λ
dr
p
p
T − Ti
1
Et : A = 0
λq
p
I 1 (q R )
I 0 (q R ) +
h
θ(q r, p) =
D’où :
T0 − Ti
p
I 0 (q r )
λq
I1 (q R )
I 0 (q R ) +
h
(3.26)
3.1.3.3
Sphère
1er cas : Température de surface imposée
Nous considérons ici une sphère de rayon R à la température initiale uniforme Ti à laquelle on impose
brutalement une température de surface T0.
Ti = T (r, 0)
T(R,t) = T0
Figure 3.16 : Schématisation d’une sphère avec température de surface imposée
2
L’équation de la chaleur s’écrit : 1 ∂ 2T = 1 ∂ T
r ∂r
a ∂t
T (r,0) = Ti − T0
T (R , t) = 0
(a)
où :
T = T − T0
(b)
(c)
22
Effectuons le changement de variable suivant : U (r, t ) = r T (r, t ) , l’équation (a) devient :
∂ 2 U = 1 ∂U
a ∂t
∂r 2
U(r, 0) = r (Ti – T0) (b)
U(R,t) = U(-R,t) = 0 (c)
On retrouve le système d’équations de la plaque infinie d’épaisseur 2L (§3.1.3.1) moyennant les
changements suivants :
x → r−R
T→U
Ti − T0 → r (Ti − T0 )
Ce qui permet d’obtenir le résultat suivant :
T (r, t ) = T0 +
 a n 2π2 t 
2R (T0 − Ti ) ∞ (− 1) n
 nπ r 

sin
∑
 exp −
n
πr
n =1
 R 
R 2 

(3.27)
La température au centre est donnée par la limite de la relation (3.27) quand r tend vers zéro et s’écrit :
 ( 2n + 1) 2 R 2 
R (T0 − Ti ) ∞

T (r, t ) = T0 +
∑ exp −


=
n
1
απt
4α t


On peut comme précédemment traiter le problème par une transformation de Laplace :
1 ∂  2 ∂T  1 ∂T
 r
 =
∂r  a ∂t
r 2 ∂r 
(a)
T(r, 0) = Ti
T (R, t) = T0
(b)
(c)
d 2θ
La transformée de Laplace de l’équation (a) s’écrit :
2
+
dr
On effectue un nouveau changement de variable : ψ = r θ
L’équation (d) s’écrit alors :
d 2ψ
dr 2
−
p
p
=
r dr
θ
(d)
a
ψ=0
a
La solution générale de cette équation s’écrit : θ =
cosh ( q r )
2 dθ
ψ
=A
sinh(q r )
+B
cosh (q r )
r
r
r
avec q =
p
a
→ ∞ quand r → 0 d’où B = 0.
r
On a la condition limite : T ( R , t ) = T0 − Ti d’où : A
On en déduit : A =
Et finalement :
T0 − Ti
R
p
sinh(q R )
θ( r, p ) =
sinh( q R )
=
T0 − Ti
R
T0 − Ti R sinh(q r )
p
r sinh(q R )
p
(3.28)
23
2ème cas : Flux imposé
On considère ici une sphère de rayon R à la température initiale uniforme Ti à laquelle on impose brutalement
un flux surfacique φ0.
Ti (r)= T (r, 0)
φ0
Figure 3.17 : Schématisation d’une sphère avec flux surfacique imposé
2
r ∂r
a ∂t
(a)
T (r,0) = Ti − T0
où :
T = T − Ti
(b)
T (R , t) = 0
(c)
On effectue le changement de variable suivant : U (r, t ) = r T (r, t ) qui permet de se ramener au cas de la
plaque infinie d’épaisseur 2L.
On obtient finalement à :
T (r, t) =
3φ 0 t
ρcR
+
(
φ 0 5r − 3R
2
2
)
10λR
−
2φ 0 R
λr
2
ω r
sin n 
 R 
 − λω n 2 t 

exp
 R2 
n =1 ω 2 sin (ω )


n
n
∞
∑
(3.29)
où ωn ( n = 1,2,…. ) sont les racines positives de l’équation tan (ω) = ω.
sinh(q r )
ψ
p
avec q =
Il a été montré que la température est de la forme : θ = = A
r
r
a
∂T( r, t )
= φ0
∂r
dθ( R , p) φ 0
q R cosh (q R ) − sinh(q R ) φ 0
Soit : λ
=
ou : λ A
=
dr
p
R2
p
Et : A =
D’où :
φ0 R 2
1
λp
q R cosh (q R ) − sinh(q R )
θ( r, p ) =
φ0 R 2
sinh(q r )
λ p r q R cosh (q R ) − sinh(q R )
(3.30)
24
3ème cas : Coefficient de transfert par convection imposé
On considère ici une sphère de rayon R à la température initiale uniforme Ti à la surface de laquelle on
impose brutalement une échange convectif (avec un coefficient h) avec le milieu ambiant à la température T0.
h [T0 - T(R,t)]
Figure 3.18 : Schématisation d’une sphère avec coefficient convectif imposé
2
r ∂r
a ∂t
(a)
où :
T = T − Ti
T (r,0) = Ti − T0
−λ
(b)
∂T
(R , t ) = h [T (R , t ) − T∞ ]
∂r
(c)
On effectue le changement de variable suivant : U (r, t ) = r T (r, t ) qui permet de se ramener au cas de la
plaque infinie d’épaisseur 2L.
On obtient finalement :
2
 hR 
− 1
R ω n + 
2 h (Ti − T0 ) ∞
 λ

T (r, t ) = T0 +
sin (ω n R ) sin (ω n r )
∑
n =1
hR  hR 
2 2
2
λR

ω n R ω n +
− 1


λ  λ
2
2
Où ωn ( n = 1, 2,…. ) sont les racines de l’équation
ωR cot (ωR ) +
(3.31)
hR
−1 = 0
λ
sinh(q r )
ψ
p
Il a été montré que la température est de la forme : θ = = A
avec q =
r
a
r
∂T( r, t )
= h [T ( r, t ) − T0 ] = h [T( r, t ) − Ti ] + h [Ti − T0 ]
∂r
h [Ti − T0 ]
q R cosh (q R ) − sinh( q R )
sinh(q R ) h [Ti − T0 ]
= h θ(q R , p ) +
=hA
+
Soit : − λ A
2
R
p
R
p
Et : A =
D’où :
Ti − T0
R
p
 λ

λq

− 1 sinh(q R ) −
R cosh (q R )
hR 
h


θ( r, p ) =
Ti − T0 R
p
sinh(q r )

r  λ
λq
R cosh (q R )
− 1 sinh(q R ) −
hR 
h


(3.32)
25
3.1.4 Systèmes complexes : méthode des quadripôles
Dans ce paragraphe, on notera :
θ(x,p) la transformée de Laplace de la température T(x,t).
- Φ(x,p) la transformée de Laplace du flux de chaleur ϕ(x,t).
On trouvera en annexe A.3.6 un récapitulatif des matrices quadripolaires associées aux systèmes les plus
couramment rencontrés dans la pratique.
3.1.4.1
Ecoulement unidirectionnel dans des murs plans
Mur simple
On considère le cas d’un transfert de chaleur unidirectionnel dans un mur d’épaisseur e.
∂ 2 T = 1 ∂T
(a)
La température T(x,t) au sein du mur vérifie l’équation :
a ∂t
∂x 2
2
p
En appliquant la transformation de Laplace à l’équation (a) on obtient : d θ2 = θ (b)
a
dx
Où θ(x,p) est la transformée de Laplace de la température T(x,t) (cf. annexe A.3.1).
si T(x,0) = 0.
L’équation (b) admet une solution de la forme : θ(x, p) = k 1 (p) cosh (q x) + k 2 (p) sinh(q x) avec q 2 =
p
a
La transformée de Laplace du flux en un point quelconque du mur s’écrit :
Φ ( x, p ) = L  − λ S ∂T ( x, t ) = − λ S L  ∂T ( x, t ) = − λ S dθ ( x, p )
(c)


 ∂x

∂x
dx
Cette relation permet d’exprimer Φ(x,p) en fonction de k1(p), k2(p) et x :
Φ( x, p ) = −λ S k 1 q sinh(q x ) − λ S k 2 q cosh (q x )
(d)
Les relations (b) et (d) peuvent être écrites en x = 0 et en x = e, on obtient :
θ(0, p ) = k 1
Φ(0, p ) = −λ S k 2
θ(e, p ) = k 1 cosh (q e ) + k 2 sinh(qe )
Φ(e, p) = −λ S q k 1 sinh(q e ) − λ S q k 2 cosh (q e )
Il est possible d’éliminer k1 et k2 entre ces 4 équations ce qui revient par exemple à exprimer (θ1, Φ1) en
fonction de (θ2, Φ2), on aboutit à :
1

sinh(q e )  θ(e, p ) 
 θ(0, p )   cosh (q e )
=
λqS
Φ( 0, p) 
 Φ(e, p )


cosh (q e ) 
λ q S sinh(q e )
(3.33)
M = matrice quadripolaire
On a la propriété : det (M) = 1 ce qui permet d’établir la relation réciproque :
1

−
sinh(q e )  θ(0, p ) 
 θ(e, p )   cosh (q e )
=
λqS
Φ( e, p ) 
 Φ(0, p )


cosh (q e ) 
- λ q S sinh(q e )
On peut par ailleurs établir une analogie entre la propagation d’un courant en régime sinusoïdal et le transfert
thermique unidirectionnel en régime transitoire :
Intensité du courant électrique I
Potentiel électrique U
Impédance électrique Z
Flux de chaleur dans l’espace de Laplace Φ(x,p)
Température dans l’espace de Laplace θ(x,p)
Impédance thermique Z
26
La loi d’Ohm U1 - U2 = R I se traduit par : T1 – T2 = Rt ϕ
La loi des noeuds :
∑ I = 0 se traduit par : ∑ ϕ = 0
Moyennant ces notations, la relation quadripolaire (3.33) peut être représentée par le schéma électrique
équivalent de la figure 3.19.
Φ1
Z1
Z2
Φ2
Φ3
θ3
θ1
θ2
Z3
Figure 3.19 : Schéma électrique équivalent à un mur simple en régime variable
Avec dans le cas du mur plan :
Z1 = Z 2 =
cosh (q e ) − 1
Z3 =
et
λ S q sinh(q e )
1
λ S q sinh(q e )
Mur avec échange convectif
On considère le cas d’un mur échangeant de la chaleur par convection avec un fluide :
T∞
ϕ = hS [T∞ - T(x=0)]
0
e
x convectif
Figure 3.20 : Schématisation d’un mur simple avec transfert
[
La relation ϕ = h S T∞ − T(x =0 )
]
peut aussi s’écrire : T∞ =
ϕ
hS
+ T(x =0 ) que l’on peut traduire dans l’espace
de Laplace par : θ ∞ = θ ( x =0 ) + Φ si Φ est la transformée de Laplace du flux ϕ et θ la transformée de
hS
Laplace de la température T.
On peut donc écrire sous forme matricielle quadripolaire:
 θ ∞  1
Φ  = 
 ∞  0
 θ

h S  ( x =0 ) 
Φ
1   ( x =0 ) 
1
(3.34)
La relation quadripolaire (3.34) peut être représentée par le schéma électrique équivalent de la figure 3.21.
Φ
θ∞
R=
1
hS
θ(x=0)
Figure 3.21 : Schéma électrique équivalent à un transfert convectif en régime variable
Résistance de contact entre 2 murs
Considérons maintenant le cas du transfert de chaleur à travers une résistance de contact R à l’interface entre
deux milieux solides tel que représenté sur la figure 3.22.
27
Le flux de chaleur s’écrit ϕ =
T1 (x =0 ) − T2 (x =0 )
peut aussi s’écrire : T1 (x =0 ) = R ϕ + T2 (x =0 ) que l’on peut
R
traduire dans l’espace de Laplace par : θ 1 (x =0 ) = θ 2 (x = 0 ) + R Φ si Φ est la transformée de Laplace du flux ϕ et
θi la transformée de Laplace de la température Ti.
Résistance de contact R
T1
T2
Figure 3.22 : Schéma de deux murs avec résistance de contact
x
On peut donc écrire sous forme matricielle quadripolaire:
 θ 1  1 R   θ 2 
Φ  = 
 
 1  0 1  Φ 2 
(3.35)
Cette expression est analogue à la relation (3.34), le schéma électrique équivalent est donc du même type que
celui présenté sur la figure 3.21
Mur multicouches avec convection et résistances de contact
Les équations matricielles quadripolaires précédemment établies nous permettent d’écrire :
 θ 
θ f1  1 1  A1 B1  1 R12  A 2 B2  1 R 23  A 3 B3  1 − 1
h1S 
h 2 S  f2 


 =





1   C1 D1  0 1   C 2 D 2  0 1   C3 D3  0
1  Φ 2 
Φ1  0
avec : A i = D i = cosh (q i e i ) ; C i = λ i q i S sinh(q i e i ) ; B i =
R12
e1
sinh(q i e i )
λiqi S
et q i =
p
ai
R23
e2
e3
Fluide 1 à Tf1
Convection, h1
Convection, h2
Fluide 2 à Tf2
x1
0
x2
x3
x
Figure 3.23 : Schéma d’un mur multicouches avec convection et résistances de contact
La description du problème sous forme matricielle permet d’en obtenir une formulation très simple ce qui
montre tout l’intérêt de la méthode des quadripôles.
Milieu semi-infini
Il a été démontré au §3.1.2.1 que la température dans l'espace de Laplace d'un milieu semi-infini s'écrit :
p
θ( x, p ) = A e −q x où q =
a
On en déduit la valeur de la transformée de Laplace du flux en un point du milieu semi-infini :
28
Φ ( x , p ) = −λ S
dθ
= λ A q S e −q x = λ q S θ
dx
Φ peut donc aussi s'écrire : Φ = λ q S θ = λ
q=
avec
ρcp
λ
ρcp
λ
p
=
a
Sθ = λ ρc S p θ = E S p θ
Où E est l'effusivité thermique.
On pourra donc écrire en tout point d'un milieu semi-infini :
θ  θ 
 Φ  =  E S p θ

  
(3.36)
Φ
Z=
θ
1
ES p
Z
Figure 3.24 : Schéma électrique équivalent à un milieu semi-infini en régime variable
Mur à température uniforme
Dans le cas d'un "système mince" : mur dont l'épaisseur et/ou la conductivité thermique permettent de
considérer sa température comme uniforme (Bi < 0,1, cf. §2.3.1), la différence entre le flux de chaleur entrant et
le flux de chaleur sortant du système s'écrit simplement :
ϕ1 − ϕ 2 = ρ c V dT soit en appliquant la transformée de Laplace : Φ 1 − Φ 2 = ρ c V p θ
dt
Ce qui peut se traduire sous forme quadripolaire par la relation :
0  θ 2 
 θ1   1
Φ  = ρ c V p 1 Φ 
  2
 1 
(3.37)
Φ2
Φ1
θ1
C = ρVc
θ2
Figure 3.25 : Schéma électrique équivalent à un milieu à température uniforme en régime variable
Exemple d'application : cf. modélisation de la méthode du plan chaud, § 7.1.2.
3.1.4.2
Ecoulement radial
Cylindre creux
L
r1
r2
Figure 3.26 : Schéma
ϕdu cylindre creux
29
On montre de la même manière qu’au § 3.1.4.1 (Maillet et al, 2000) que les températures et les flux dans
l’espace de Laplace peuvent être reliés par une relation quadripolaire :
 θ(r1 , p )  A B   θ(r2 , p) 
Φ(r , p) =  C D  Φ(r , p )
 2 
 1  
A = q r2 [K 1 (q r2 ) I 0 (q r1 ) + K 0 (q r1 ] I1 (q r2 )
B=
L
2πλl
[K 0 (q r1 ) I 0 (q r2 ) − K 0 (q r2 ) I 0 (q r1 )]
(3.38)
C = 2 π L ρ c p r1 r2 [K 1 (q r1 ) I1 (q r2 ) − K 1 (q r2 ) I1 (q r1 )]
[
]
D = q r1 K 0 (q r2) I1 (q r1 ) + K 1 (q r1 )I 0 (q r2 )
I0, I1, K0 et K1 étant des fonctions de Bessel (cf. Annexe A.2.3). Le déterminant de la matrice quadripolaire
est égal à 1.
Cylindre creux semi-infini
Comme dans le cas du mur plan, on montre que l'on peut écrire en tout point d'un cylindre creux semiinfini (r2 → ∞) (Maillet et al, 2000) :
θ


θ 
q r1 K 1 (q r1 ) 
θ
Φ = 2 π λ L
 
K 0 (q r1 ) 

(3.39)
Φ
Z=
θ
K 0 (q r1 )
2 π λ L q r1 K1
Z
Figure 3.27 : Schéma électrique équivalent à un milieu semi-infini en régime variable
Exemple d'application : cf. modélisation de la méthode du fil chaud, § 7.2.2.
Sphère creuse
Τ1
ϕ
r1
ϕ1
Τ2
r2
Figure 3.28 : Schéma de la sphère creuse
On montre de la même manière qu’au § 3.1.4.1 (Maillet et al, 2000) que les températures et les flux dans
l’espace de Laplace peuvent être reliés par une relation quadripolaire :
 θ(r1 , p )  A B   θ(r2 , p ) 
Φ(r , p ) =  C D  Φ(r , p )
 2 
 1  
(3.40)
30
A=
Avec :
r2
sinh(p )
sinh(p )
cosh (p ) −
; B=
r1
q r1
4 π λ q r1 r2
;
 r 
sinh(p )
r
1


sinh(p)  ; D = 1 cosh (p ) +
C = 4 π λ r2 1 − 1  cosh ( p) +  q r1 −
q r2
r
q
r
r



2
2
2
Le déterminant de la matrice quadripolaire est égal à 1.
Sphère creuse semi-infinie
Comme dans le cas du mur plan, on montre que l'on peut écrire en tout point d'une sphère creuse semiinfinie (r2 → ∞) :
θ

 θ 
Φ = 4 π λ r (1 + q r ) θ
  
1
1 
(3.41)
Le schéma électrique équivalent est identique à celui présenté sur la figure 3.23 avec Z =
3.2
1
4 π λ r1 (1 + q r1 )
Conduction unidirectionnelle en régime variable avec changement d’état
Température constante imposée en surface
Le milieu semi-infini est initialement à la température uniforme Ti en phase 2. On impose brutalement une
température de surface T0 inférieure à la température de changement de phase 2→1.Un changement de phase va
se produire tout d’abord à la surface puis se propager vers l’intérieur du milieu semi-infini.
L’équation de la chaleur s’écrit dans les phases 1 et 2 :
∂ 2 T1
∂x
2
∂ 2 T2
∂x
2
1 ∂T1
=
a 1 ∂t
1 ∂T2
=
a2
∂t
(a)
dans la phase 1 [pour x < X(t)]
(b)
dans la phase 2 [pour x > X(t)]
Front de changement de phase à Tc
Phase initiale 2 Ti = T2(x, t=0)
Phase 1
Tc
Milieu semi-infini
T0 = T1(x=0, t)
0
x
X(t)
Figure 3.29 : Schéma d’un milieu semi-infini avec changement de phase
Les conditions aux limites s’écrivent :
T1 ( x,0) = T2 ( x,0) = Ti
T1 (0, t ) = T0
T1 (X, t ) = T2 (X, t ) = Tc
 ∂T 
λ 1  1  − λ 2
 ∂x  X
 ∂T2

 ∂x
(c)
(d)
(e)

dX
 = L ρ
dt
X
(f)
31
On cherche la solution sous la forme :
 x 
 + T pour 0 < x < X(t)
T1 (x, t ) = A erf 
2 a t  0
1 


 x 
 pour X(t) > x où A et B sont des constantes arbitraires à déterminer
T2 (x, t ) = Ti − B 1 − erf 
 2 a t 

2 


Les solutions proposées vérifient l’équation de la chaleur (cf. §3.4.1.1), les conditions initiales () et la
condition (a). Il reste à vérifier les conditions (e) et (f) à l’interface x = X(t).
L’équation (e) conduit à :

 X( t ) 


 + T = T − B 1 − erf  X (t )  = T
A erf 
0
i
c
2 a t 
 2 a t 

1 
2 



Cette relation doit être vérifiée pour toutes les valeurs de t, on en déduit que : X = k t , où k est une
constante.
En tenant compte de cette forme de X(t), l’équation (f) permet d’écrire :
−k2
λ 1 A e 4 a1
π a1
−k2
−
Avec : A =
λ 2 B e 4a2
=L
πa2
2
Tc − T0
 k
erf 
2 a
1

ρk




B=
et
Ti − Tc
 k
1 − erf 
2 a
2





La position X(t) du front de changement de phase se calcule finalement par :
(3.42)
X( t ) = k t
Avec k solution de l’équation :
λ 1 (Tc − T0 )
 −k2
exp 

 k 
 4 a1


erf


 2 a1 
 −k2

 − λ 2 (Ti − Tc )
exp 

 
 k 
 4a2
 



1 − erf



 2 a 2 
 Lρk
=

2

Et la température dans chaque phase s’écrit :
T1 ( x, t ) =
 x 
Ti − Tc
 + T ; T ( x, t ) = T −
erf 
0
2
i


 k 
 k

 2 a1 t 

1 − erf 
erf 




 2 a1 
 2 a2
Tc − T0
 x 


1 − erf 


 
2
a
t

2 
 


(3.43)
On obtient dans le cas de l’eau les valeurs données dans le tableau 3.1.
Tableau 3.1 : Valeurs de k en fonction de Ti et de T0 pour de l’eau initialement liquide à Ti
104 k
Ti
0
3
6
9
12
15
T0
-3
0,9871
0,8937
0,8106
0,7371
0,6724
0,6154
0,5653
-6
1,3876
1,2919
1,2040
1,1235
1,0500
0,9829
0,9217
-9
1,6893
1,5925
1,5025
1,4188
1,3411
1,2690
1,2023
-12
1,9393
1,8420
1,7506
1,6650
1,5848
1,5098
1,4395
-15
2,1559
2,0582
1,9661
1,8792
1,7974
1,7203
1,6477
-18
2,3484
2,2506
2,1580
2,0703
1,9873
1,9087
1,8344
32
3.3
Conduction multidirectionnelle en régime variable
3.3.1 Théorème de Von Neuman
Certains problèmes bidimensionnels ou tridimensionnels peuvent être résolus par combinaison de 2 ou 3
solutions monodimensionnelles. Considérons par exemple le cas d’une barre rectangulaire infinie (longueur très
grande devant les côtés 2L1 et 2L2), elle peut être considérée comme l’intersection de deux plaques infinies
d’épaisseurs respectives 2L1 et 2L2. Le théorème de Von Neumann permet d’affirmer que la température
adimensionnelle de cette barre s’exprime comme le produit des températures adimensionnelles des deux plaques
infinies dont elle peut être considérée comme étant l’intersection :
 T ( y, t ) − T 
 T (x, t ) − T 
 T ( x , y, t ) − T 
∞
∞
∞




x 
= 

 T − T

 T − T

 T − T
i
i
i
∞
∞
∞
plaque 2 L 2
plaque 2 L1
barre 2 L1 x 2 L 2
(3.44)
Remarques :
- Il faut vérifier que les conditions initiales et aux limites sont satisfaites sous forme adimensionnelle
après décomposition de la géométrie considérée en intersection d’éléments simples.
- Des géométries plus complexes peuvent également se décomposer en intersection d’éléments
simples, comme par exemple :
Cylindre semi-infini = Cylindre infini ∩ Milieu semi-infini
Barre rectangulaire semi-infinie = Barre rectangulaire infinie ∩ Milieu semi-infini
Cylindre hauteur 2L = Cylindre infini ∩ Plaque épaisseur 2L…
-
3.3.2 Transformations intégrales et séparation de variables
Les problèmes de transfert multidirectionnel de la chaleur peuvent dans certains cas être traités comme en
unidirectionnel par transformations intégrales et séparation de variables. Nous traiterons simplement ici à titre
d’exemple le transfert de chaleur dans un cylindre fini d’épaisseur e et de rayon R, initialement à température
uniforme, lorsque l’une de ses faces est soumise à une densité de flux de chaleur uniforme φ0(t). Le cylindre
échange de la chaleur par convection sur toutes ses faces havec
le milieu environnant (cf. figure 3.30).
1
φ0(t)
h3
h2
Figure 3.30 : Schéma du système modélisé
Si l’on considère que φ0(t) est un Dirac, on retrouve la méthode Flash en 3D. Dans ce cas,
Φ 0 (p) = L[φ 0 (t )] = 1 .
Le problème est à symétrie cylindrique on utilise donc l’équation de la chaleur en coordonnées
cylindriques :
∂ 2 T (r , z , t )
∂r
2
+
1 ∂T(r, z, t ) ∂ 2 T(r, z, t ) 1 ∂T(r, z, t )
+
=
r
∂r
a
∂t
∂z 2
(a)
La méthode de résolution utilisée est la suivante :
Transformation de Laplace
Séparation des variables
33
∂T(r,0, t )
= h 1 [T (r,0, t ) − Ti ] − φ 0 ( t )
∂z
∂T(r, e, t )
−λ
= h 2 [T (r, e, t ) − Ti ]
∂z
∂T (0, z, t )
=0
∂r
∂T (R , z, t )
−λ
= h 3 [T (R , r, t ) − Ti ]
∂r
T (r, z,0) = Ti
λ
Conditions limites et initiale :
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
On pose ∆T (r, z, t ) = T(r, z, t ) − Ti et L[∆T(r, z, t )] = θ(r, z, p)
1 ∂θ(r, z, p ) ∂ 2 θ(r, z, p ) p
+
= θ ( r, z , p )
∂r
r
a
∂r
∂z 2
On écrit la température après transformation de Laplace sous la forme suivante : θ(r, z, p ) = R (r, p) Z(z, p)
La transformée de Laplace de (a) s’écrit :
∂ 2 R (r, p) Z(z, p)
+
∂ 2 θ(r, z, p )
2
+
1 ∂R (r, p) Z(z, p) ∂ 2 R (r, p) Z(z, p) p
+
= R ( r , p ) Z ( z , p)
∂r
r
a
∂z 2
∂r 2
1  ∂ 2 R (r, p) 1 ∂R (r, p) 
1 ∂ 2 Z(z, p) p

+
+
=
∂r  Z(z, p) ∂z 2
R (r, p)  ∂r 2
r
a
On en déduit :
1  ∂ 2 R(r, p) 1 ∂R(r, p) 
 = −α 2

+
R(r, p)  ∂r 2
r ∂r 
et :
1 ∂ 2 Z(z, p)
− γ2 = 0
Z(z, p) ∂z 2
avec :
γ2 =
p
+ α2
a
Les solutions des équations ci-dessus sont :
R(r, p) = A J 0 (α r) + B Y0 (α r)
Z(z, p) = Csh (γ z) + D ch (γ z)
Application des conditions aux limites :
Y0 (αr ) → −∞ lorsque r → 0 , or la température doit rester finie donc B=0 et R (r, p) = A J 0 (α r )
En r = R : − λ
∂R ( R , p )
∂T (R , z, t )
= h 3 R (R , p)
= h 3 (T (R , z, t ) − Te ) ⇒ −λ
∂r
∂r
∂R(r, p)
= −A α J1 (α r) donc : λ A α J 1 (α R ) = h 3 A J 0 (α R )
∂r
hR
et ω = α R ,
On pose : H3 = 3
λ
Les valeurs propres ωn sont solutions de l’équation transcendante : ω J 1 (ω) = H 3 J 0 (ω)
En z = e : − λ
∂Z(e, p)
∂T (r, e, t )
= h 2 Z(e, p)
= h 2 (T (r, e, t ) − Te ) ⇒ −λ
∂z
∂z
D’où : −λ [C γ ch (γ e) + D γ sh ( γ e)] = h 2 [C sh ( γ e) + D ch (γ e)] avec : γ 2 =
p
+ α 2 et ω = α R
a
h2 e
λ
On obtient : −[C β ch (β) + D β sh (β)] = H 2 [C sh (β) + D ch (β)]
En posant : β = γ e
et H 2 =
D
Or : θ(r, z, p ) = R (r, p) Z(z, p) = A J0 (α r ) [C sh (γ z ) + D ch ( γ z )] = C A J 0 (α r ) sh ( γ z ) + ch ( γ z )
C


H 2 sh (β ) + β ch (β )
D
=−
D’où :
− β sh (β ) − H 2 ch (β )
C
On pose : E = A C
H sh (β) + β ch (β)


θ(r, z, p ) = E J 0 (α r ) sh ( γ z ) + 2
ch (γ z )
(
)
(
)
− β sh β − H 2 ch β


34
[(−β ch (β) − H 2 sh (β)) sh (γ z ) + (H 2 ch (β) + β sh (β)) ch (γ z )]
− β ch (β) − H 2 sh (β)
θ(r, z, p) = F J 0 (α r ) {[−β ch (β) − H2 sh (β)] sh( γ z ) + [H2 ch (β) + β sh (β)]ch(γ z )}
θ(r, z, p ) = E J 0 (α r ).
Après développement et factorisation on obtient une solution particulière. En faisant la somme de n = 1 à
l’infini de ces solutions, on obtient la solution générale :
n =∞
θ(r, z, p ) = ∑ Fn J0 (α n r ) [βn ch (γ n (e − z )) + H 2 sh ( γ n (e − z ))]
n =1
∂T (r,0, t )
= h 1 (T (r,0, t ) − Te ) − φ 0 (t )
∂z
∂θ(r,0, p )
Soit : λ
= h 1θ(r,0, p ) − Φ 0 (p)
∂z
En z = 0 : λ
n =∞
λ ∑ Fn J 0 (α n r ) [− β n γ n sh ( γ n (e − z )) − H 2 γ n ch ( γ n (e − z ))] − ...
n =1
n =∞
h 1 ∑ Fn J 0 (α n r ) [β n ch ( γ n (e − z )) − H 2 sh ( γ n (e − z ))] = −Φ 0 (p )
n =1
n =∞
∑ Fn J 0 (α n r ) (λ βn γ n sh (γ n e ) + λ H2 γ n ch (γ n e )) + h1 βn ch (γ n e) + H2 h1sh ( γ n e ) =
n =1
En posant H 1 =
e h1
, on obtient :
λ
[(
∞
∑ Fn J 0 (α n r )
n =1
[(
Φ 0 (p )
]
)
λ 2
β n + H 2 H 1 sh (β n ) + β n (H 2 + H 1 ) ch (β n ) = Φ 0 (p )
e
]
)
λ 2
β n + H 2 H 1 sh (β n ) + β n (H 2 + H1 )ch (β n )
e
Si l’on pose : G n = Fn
∞
On obtient : ∑ G n J 0 (α n r ) = Φ 0 (p )
n =1
R
L’orthogonalité des fonctions propres permet d’écrire: ∫ J 0 (α n r) J 0 (αm r) r dr = 0
si α n ≠ α m
0
∞
R
R
Donc ∫ r J 0 (α m r )dr ∑ G n J 0 (α n r ) = ∫ Φ 0 (p ) rJ 0 (α m r )dr
n =1
0
0
R
R
0
0
D’où : G n ∫ rJ 20 (α n r )dr = ∫ Φ 0 (p ) rJ 0 (α n r )dr
R
∫ Φ 0 (p) rJ 0 (α n r )dr
Gn = 0
R
Φ 0 (p )
=
∫ r J 0 (α n r )dr
2
o
2
1
RJ 1 (α n R )
αn
(
)
R
J 12 (α n R ) + J 02 (α n R )
2
=
2 Φ 0 (p )

ω2
ω n 1 + n
 H 2

3

.J ( )
 1 n

On en déduit finalement :
n =∞
θ(r, z, p ) = ∑ Fn J0 (αn r ) [βn ch(γ n (e − z )) + H2sh( γ n (e − z ))]
n =1
où : Fn =
2 Φ 0 (p )
 ω2
ω n 1 + n
 H2

3
[(
e
λ
)
(3.45)
]

 J1 (ω n ) β 2n + H 2 H 1 sh (β n ) + β n ( H 2 + H 1 ) ch (β n )


ω n J 1 (ω n )
résolue numériquement. Une
H3
centaine de termes est suffisante pour calculer θ(r,z,p). On calcule ensuite T(r,z,p) par transformation de Laplace
inverse effectuée numériquement.
Les ωn étant les solutions de l’équation transcendante J 0 (ω n ) =
35

Transfert de chaleur par conduction en régime variable

Transcription

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