Equation de Laplace

Chapitre IV
Equation de Laplace
Chapitre IV
Equation de Laplace
IV.1 Séparation des variables en coordonnées cartésiennes dans la résolution de l’équation
de Laplace
Il faut trouver l’intégrale de :
∆U =
∂2U ∂2U ∂2U
+
+
=0
∂x ² ∂y² ∂z²
(IV.33)
Ecrivons U ( x , y , z ) sous forme :
U ( x , y, z ) = X ( x ) Y ( y) Z(z ) ,
(IV.34)
Après avoir substitué (IV.34) dans (IV.33), et divisé par U ( x , y , z ) , on trouve :
X ′′ Y ′′ Z ′′
+
+
=0
X
Y
Z
Posons :
X ′′
Y ′′
Z ′′
= −α ² ;
= −β ² ;
=α²+ β² .
X
Y
Z
Donc (IV.33) devient :
X ′′ + α ² X = 0 ; Y ′′ + β ²Y = 0 ; Z ′′ = γ ² Z ,
où
γ ² = α ² + β ².
(IV.35)
(IV.36)
L’intégrale sera :
X = e − iα z ; Y = e
iβ y
; Z = e −γz .
Donc, l’intégrale partielle (IV.34) est :
− iα z − i β y − γ z
U =e
(IV.37)
Qui dépend de α , β et de x, y, z la solution générale de l’équation (IV.33) sera :
U ( x, y, z) =
1
4π
2
∫∫U% (α, β)
e−yz−ixα−iyβ dα dβ
(IV.38)
Π′
~
U (α, β) e − γz est la transformée de Fourier de U(x, y, z) par rapport à x et y ; la coordonnée z est
considérée comme un paramètre. L’intégrale double est calculée de
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sur tout le plan
Chapitre IV
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spectral Π(α, β). Par conséquent, l’équation prend la forme d’une transformée inverse de
Fourier :
( , )
=
( , , )
Π
(IV.39)
~
La fonction spectrale U (α, β) doit être déterminée à partir des conditions aux limites. En
posant z = 0 dans l’équation (IV.39), on obtient :
~
U (α, β ) e − γz = ∫∫ e iαξ + iβη U (ξ, η, z ) dξ dη.
(IV.40)
Π
Les équations (IV.38) et (IV.40) résolvent les problèmes de prolongement du champ.
IV.2 Problème de Dirichlet pour Z > 0
En remplaçant l’expression (IV.40) dans la relation (IV.38), on obtient :
U=
1
4π 2
∫∫U
(ξ, η)dξdη
Π
iα (ξ −x) + iβ (η−y) −γ z
∫∫e
dαdβ
Π
Posons
G( x, y, z) =
1
4π 2
∫∫e
−iαx −iβy −Y z
dαdβ ;
(IV.41)
Π
'
U ( x , y, z ) = ∫∫ G ( x − ξ, y − η; z ) U (ξ, η) dξdη
(IV.42)
Π
La première équation montre que :
2
~
G (α, β, z) = e − γ
est la transformée de fourrier de la fonction G (x, y,z) dans le plan x, y (Π ); z- est un paramètre.
L’équation (IV.42) exprime la fonction harmonique de U (x, y, z) comme une convolution de
U(x, y) donnée sur le plan z = 0, avec G( x, y, z).
Donc :
U ( x , y , z ) = G ( x , y , z ) ∗ U ( x , y ).
Pour calculer G (x, y, z), on utilise les coordonnées polaires :
x = ρ cos ω; y = ρ sin ω;
α = γ cos ψ; β = γ sin ψ.
On a aussi :
iαx + iβy = iγρcos(ψ − ω); dαβ = γdγdψ.
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(IV.43)
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L’intégrale (IV.41) sera :
G ( x, y , z ) = −
2π
∂  1
∂z  4π 2
∫
∞
dψ
∫e
0
− γ ( z + i ρ cos ψ )
dγ ]
0
On trouve :
G ( x , y, z ) =
1
2π
z
3
2
.
(IV.44)
(x + y + z )
La transformée de Fourier de cette fonction par rapport à x et y est e − γ z avec γ donné de
2
2
2
(IV.36) ; alors :
−v
e =
1
2π
∫∫ e
zd zdy
− iα x + iβ I
Π
(x + y + z )
2
2
2
3
2
(IV.45)
Si l’on remplace l’expression (IV.44) dans (IV.42), on trouve la formule de prolongement
vers le haut :
U ( x, y , z ) =
1
2π
∫∫ U (ξ ,η )
zd ξ dη
r3
(IV.46)
où
r 2 = (x − ξ) 2 + (y − η) 2 + z 2 (z 〉 0) .
IV.3 Séparation des variables en coordonnées cylindriques
L’équation de Laplace en coordonnées cylindriques s’écrit :
∂ 2 U 1 ∂U 1 ∂ 2 U ∂U
+
+
+
= 0.
∂ρ 2 ρ ∂ρ ρ 2 ∂ω 2 ∂z 2
On va chercher la solution sous forme :
U = R (ρ ) Ω ( ω) Z ( z ).
En remplaçant ce produit dans l’équation (IV.47), on obtient :
R ′′ 1 R ′ 1 Ω′′ Z′′
+
+
+ = 1.
R ρ R ρ2 Ω Z
Cette équation conduit aux trois équations différentielles suivantes :
Z ′′ = γ 2 Z ; Ω′′+ n 2 Ω = 0 ;
 2
n2 
R′′+
R′+  γ − 2  R = 0 .
ρ
ρ 

1
où n- est un entier et U (ρ , ω, z ) est périodique. Donc :
Ω = e nωi , n =.... − 2, − 1, 0,1, 2, ....
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(IV.47)
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Equation de Laplace
La solution de la dernière équation pour ρ = 0 est la fonction de Bessel de première espèce :
R = J n ( γρ) .
Donc la solution particulière est :
U = e γz+ nωi jn (γρ).
la solution plus générale est :
U ( ρ , ω, z ) = ∑ e
nωi
(n)
∞
∫C
n
(γ ) e −γz jn (γρ ) γdγ .
(IV.48)
0
L’équation (IV.48) satisfait les conditions aux limites. Si U (ρ, ω) = U (ρ, ω, 0 ) est donnée
sur le plan Π , la relation (IV.48) devient :
∞
U ( ρ , ω ) = ∑ e nωi ∫ C n (γ ) j n (γρ ) γdγ .
(n)
0
Ainsi, la fonction est décomposée en série de Fourier, dont les coefficients sont les transformées
de Hankel C n ( γ ) :
2π
∞
1
e − nωi dω ∫ U (ρ, ω) jn ( γρ) ρdρ.
2π ∫0
0
C n (γ) =
(IV.49)
Les équations (IV.47) et (IV.49) sont les solutions du problème de Dirichlet pour un demi
espace z 〉 0. Elles peuvent être utiles pour le prolongement vers le bas. En posant ρ = 0 , on
obtient la formule (IV.48) sous forme :
∞
U (0, 0, z) = ∫ C 0 ( γ ) e γz γdγ.
(IV.50)
0
Avec
1
C0 (γ ) =
2π
∞
∫j
0
(γρ ) ρ d ρ
0
2π
∫U
( ρ , ω ) dω.
(IV.51)
0
IV.4 Prolongement vers le bas
Les équations (IV.38) et (IV.40) résolvent le problème de plongement vers le bas. Afin de
pouvoir facilement utiliser ces formules, posons z = -h, où h 〉 0 . Donc, l’équation (IV.38)
devient :
U (x, y, − h) =
1 ~
U(α, β) e−hγ− xαi− yβi dαdβ.
2 ∫∫
4π Π
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(IV.52)
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L’intégrale (IV.52) possède un sens dans certains cas particuliers, dont on peut citer par
exemple :
La transformée de Fourier U (α , β ) diminue en exponentielle, quand α et β augmentent
et cette diminution est plus rapide que celle de e γh . La composante verticale du champ due à une
certaine source de densité σ est :
g ( x, y) = ∫∫∫ σ (ξ, η, ζ )
[(x − ξ)
ζdξdηdζ
2
+ ( y − η) 2 + ζ 2
]
(IV.53)
3/ 2
Considérons que la source est dans le volume dont la section horizontale transversale est
Sm (fig.IV.9).
Fig. IV.9
Le prolongement du corps vers le bas peut être infini, cependant les masses doivent être
localisées à une profondeur supérieure à h = H.
La densité est nulle (σ = 0) à l’extérieur du volume désigné et est égale à σ m à l’intérieur. Donc
de l’expression (IV.53), on a :
g ≤σ m
D’où :
∞
dξ
∫ ξ ∫∫ dξdη .
2
H
S
g ≤
σ m Sm
H
(IV.54)
Montrons maintenant comment l’expression (IV.52) diminue pour h 〈 H . Dans notre cas :
g% (α , β ) =
∫∫ e
iαξ + i β y
dxdy
∫∫∫ σ
(ξ , η , ζ )
ξ dζ dη dy
3
, r 2 = ( x − ξ )2 +
r
+ ( y − η )2 + ζ 2
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En changeant x et y respectivement par x + ξ et y + η , on obtient :
g~ (α , β ) = ∫∫∫ σ (ξ ,η , ζ ) e iαξ + iβη dξ dζ dη ∫∫ e iαx + iβy
ζ dxdy
.
( x + y 2 + ζ 2 )3 / 2
2
Le module sera :
∞
2πσ m S m − Hγ
g~ (α , β ) = 2πσ m S m ∫ e −γζ dζ =
e .
γ
H
(IV.55)
Donc, la fonction spectrale diminue en exponentielle et surtout quand H est important.
L’équation (IV.52) s’écrit donc :
g ( x , y, − h ) =
1
4π 2
∫∫ e
− hγ − xα i − yβ i
~
g ( α , β ) d α d β,
(IV.56)
Ainsi l’intégrale est calculable si :
g ( x, y, − h ) 〈
σ m Sm
H−h
(IV.57)
Donc, le prolongement vers le bas est possible jusqu'à une profondeur ne dépassant pas la
profondeur minimale de la source sous la surface z = 0.
Bibliographie
1- Coulomb J., Jobert G. Traité de géophysique interne. Masson et scie, Paris 1975.
2- Murray Y., Spiegel R. Analyse de Fourier et application aux problèmes de valeurs aux
limites. Série Schaum, Ediscience, 1980.
3- Smirnov V. Cours de mathématiques supérieures, T2. Mir, Moscou, 1970.
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