Analyse spectrale - Le Cermics

Virginie Ehrlacher et Gabriel Stoltz
Analyse spectrale
20 juin 2015
Cours ENPC - IMI - 2ème année
Table des matières
Partie I Transformée de Fourier et applications
1
Transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2
Echantillonnage et transformée de Fourier discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Partie II Introduction à la théorie spectrale
Introduction à la théorie spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Rappels et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Distributions à support compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
11
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3
Partie I
Transformée de Fourier et applications
1
Transformation de Fourier
La transformation de Fourier a une définition simple pour des fonctions intégrables, et bon
nombre d’ouvrages commencent par définir cette opération pour des fonctions L1 (Rn ), avant de
considérer d’autres espaces fonctionnels. Nous suivons dans ce chapitre une approche classique,
suivie par exemple dans [1], qui consiste à définir la transformation de Fourier sur des espaces de
fonctions régulières et décroissant rapidement (espaces de Schwartz), puis, par dualité, à définir
la transformée de Fourier dans un sous-espace des distributions (distributions tempérées). De
nombreuses applications et des résultats supplémentaires peuvent alors être déduits de ce cadre
général pour des espaces fonctionnels particuliers – notamment les espaces de Lebesgue Lp (Rn )
(pour 1 6 p 6 +∞) et les espaces de Sobolev Hs (Rn ) (pour s ∈ R).
2
Echantillonnage et transformée de Fourier discrète
L’objet principal de ce chapitre est d’étudier la transformée de Fourier de fonctions échantillonnées. Par soucis de simplification, nous ne considérerons dans ce chapitre que des fonctions
définies sur R, les résultats s’étendant cependant aux cas multidimensionnels. Nous limitons de
plus notre étude à l’échantillonnage uniforme, où les échantillons sont espacés régulièrement, bien
que l’échantillonnage non-uniforme soit aussi utilisé dans la pratique. Nous verrons que l’échantillonnage uniforme d’une fonction continue f à un pas T peut être vu comme le peigne de Dirac :
fT = T
+∞
X
f (nT ) δnT .
n=−∞
Pour mesurer la perte d’information subie en remplaçant f par fT , on fera le lien entre leurs
transformées de Fourier fˆ et fˆT . Grâce à la théorie de Fourier des distributions tempérées vue au
chapitre précédent, nous pouvons donner un sens à la transformée de Fourier de fT .
Partie II
Introduction à la théorie spectrale
3
Introduction à la théorie spectrale
Nous présentons dans cette section les fondements de la théorie spectrale des opérateurs (définis
en Section ??). Cette théorie est particulièrement utile et importante dans l’étude des équations
aux dérivées partielles. En effet, un des buts premiers de l’étude d’un opérateur est la détermination de son spectre (Section ??), qui est la généralisation en dimension infinie de l’ensemble
des valeurs propres d’une matrice. Dans les cas les plus agréables, notamment pour les opérateurs
dits compacts (Section ??) on peut déterminer complètement de manière qualitative le spectre
d’un opérateur, et ensuite l’approcher numériquement. Ceci permet de résoudre des problèmes
d’évolution en mécanique, physique, etc, comme l’équation de la chaleur, l’équation de ondes, ou
l’équation de Schrödinger (voir Section ??).
4
Rappels et compléments
4.1 Distributions à support compact
Définition 4.1. Soit T ∈ D′ (Ω).
(1) Soit ω ouvert inclus dans Ω. On dit que T est nulle sur ω si pour toute fonction φ ∈ D(Ω)
telle que Supp(φ) ⊂ ω, on a hT, φiD′ ,D = 0.
(2) Le support de T est le complémentaire dans Ω de la réunion des ouverts de Ω sur lesquels T
est nulle.
Définition 4.2. On note E ′ (Ω) l’espace vectoriel des distributions sur Ω à support compact.
On a le résultat suivant.
Théorème 4.1. Si une distribution de D′ (Ω) est à support compact, elle est d’ordre fini.
Preuve. Soit K le support de T et α = d(K, Rd \ Ω) (dans le cas où Ω = Rd , on prendra α = +∞).
Posons β = inf(1, α) et considérons les ensembles
ß
™
β
K ′ = x ∈ Rd , d(x, K) 6
,
3
et
ß
Ω ′ = x ∈ Rd ,
d(x, K) <
2β
3
™
.
Il est clair que K ′ est compact et que Ω ′ est un ouvert de fermeture compacte. De plus, on a
K ⊂ K ′ ⊂ Ω ′ ⊂ Ω ′ ⊂ Ω.
Soit p un entier et C une constante réelle tels que
∀φ ∈ DΩ ′ (Ω),
|hT, φi| 6 C
|∂ α φ(x)|.
sup
x∈Ω ′ , |α|6p
Soit maintenant ρ ∈ D(Ω) égale à 1 sur K ′ et à support dans Ω ′ . On a pour tout φ ∈ D(Ω),
hT, φi = hT, ρφi + hT, (1 − ρ)φi
et hT, (1 − ρ)φi = 0 puisque les supports de T et de (1 − ρ)φ sont disjoints. De plus, comme
Supp(ρφ) ⊂ Ω ′ , on a
∀φ ∈ D(Ω),
|hT, φi| 6 C
sup
x∈Ω, |α|6p
D’après la formule de Leibniz,
|∂ α (ρφ)(x)|.
12
4 Rappels et compléments
∀φ ∈ D(Ω),
|hT, φi| 6 C ′
sup
|∂ α φ(x)|
x∈Ω, |α|6p
avec
C′ = C
α!
|∂ β ρ(x)|.
β!
(α
−
β)!
x∈Ω, |α|6p, β6α
sup
Donc T est d’ordre fini inférieur ou égal à p.
Remarque 4.1. Soit T ∈ E ′ (Ω) une distribution à support compact, p son ordre, K un voisinage
compact de Supp T et χ ∈ D(Ω) valant 1 sur K. Posons pour tout φ ∈ C ∞ (Ω),
hT, φiE ′ ,C ∞ = hT, χφi.
Cette définition est indépendante de χ : soit en effet χ1 et χ2 dans D(Ω) valant 1 sur K ; on a
hT, χ1 φi − hT, χ2 φi = hT, (χ1 − χ2 )φi.
La fonction φe = (χ1 − χ2 )φ étant nulle sur K voisinage de Supp u, on a
hT, (χ1 − χ2 )φi = 0.
On a ainsi associé à une distribution à support compact une forme linéaire sur C ∞ (Ω).
Bibliographie
[1] R. Dautray et J.-L. Lions, Analyse mathématique et calcul numérique pour les sciences et
les techniques, volume I-III (Masson, 1987).