Chapitre 9 : Equation de la chaleur

Chapitre 9 : Equation de la chaleur
0. Préambule
• Dans ce chapitre, on s’intéressera aux aspects microscopiques
de l’agitation thermique.
• Il existe un lien entre la diffusion et la conductivité thermique.
1. Loi de Fourier
• Flux de chaleur : énergie par unité de temps traversant une surface unitaire
T1
T2
J!
∆Q
!
|J| =
∆T
!
J! = −κ∇T
!
"
2
W/m
loi de Fourier
- similaire à la loi de Fick
- inégalité : T1 > T2
- chaleur se propage du plus chaud au plus froid
- unités de la conductivité thermique : κ [W/mK]
• Origine microscopique : diffusion de molécules chaudes dans les froides
- mouvement important des particules chaudes
- bons conducteurs : électrons libres
• Equation de la chaleur : bilan d’énergie sur une tranche d’épaisseur dx
puissance : P = J(x)S − J(x + dx)S
S
∂J
P = − Sdx
∂x
∂T
Joule : P = cm
avec
∂t
J!
m = ρSdx
x + dx
x
∂T
∂J
=−
au total : ρc
∂t
∂x
avec la loi de Fourier, on obtient
∂T
κ ∂2T
=
∂t
ρc ∂x2
équation de la chaleur
elle est mathématiquement identique à l’équation de diffusion !
• Equation généralisée :
∂T
κ 2
= ∇ T
∂t
ρc
• Valeurs typiques des coefficients :
- les gaz sont de bons isolants.
- les métaux sont de bons conducteurs de chaleur (électrons libres)
- dans les solides, la glace est mauvais conducteur de chaleur
2. Solutions stationnaires
• Solution stationnaire :
T (x, t) = T (x)
• Gradients de température :
∂2T
=0
2
∂x
∂T
=0
∂t
T (0) = T1
conditions aux limites :
T (L) = T2
T (x) = ax + b
T (x) = T1 +
T
T2
T1
0
L
x
!
T2 − T1
L
"
x
• Température à une distance d’un filament : symétrie cylindrique
∇2 T = 0
1 ∂
ρ ∂ρ
!
∂T
ρ
∂ρ
T (ρ, ϕ, z) = T (ρ)
!
T2
T1
"
1 ∂2T
∂2T
+ 2
+
=0
2
2
ρ ∂ϕ
∂z
dT
a
=
dρ
ρ
!
dT = a
ρ2
ρ1
dρ
ρ
ρ2
T2 − T1 = ∆T = a ln
ρ1
3. Solutions non-stationnaires
• Solution oscillante : on chauffe un point périodiquement
T (0, t) = T0 exp(−iωt)
on recherche habituellement une solution du type
T (x, t) = T0 f (x) exp(−iωt)
(séparation des variables)
ωρc
d2 f
dans Fourier :
+i
f =0
2
dx
κ
solution pour f : f (x) = exp(−kx)
avec k =
!
ωρc
(1 − i)
2κ
solution réelle du problème :
"
! "
#
!
#
ωρc
ωρc
T (x, t) = T0 exp −
x sin ωt −
x
2κ
2κ
• Application : températures diurnes
4. Coefficients de transport
• Analogies entre phénomènes physiques :
diffusion de matière
!
J! = −D∇ρ
(loi de Fick)
flux de chaleur
!
J!Q = −κ∇T
(loi de Fourier)
transfert d’impulsion
!
J!p = −η ∇v
(viscosité des fluides)
courant électrique
!
J!e = −σ ∇V
(loi d’Ohm)
- le “moteur” de chaque phénomène de transport est un gradient
- chaque matière sera caractérisée par ses coefficients de transport
• Retour sur la diffusion : comment unifier flux macro et description micro ?
tranche de fluide d’épaisseur : dx = 2!x
!x
Jx
1
1
bilan : Jx = ρ(x − "x )vx − ρ(x + "x )vx
2
2
∂ρ
Jx = −vx !x
∂x
2 ∂ρ
Jx = −vx τ
∂x
fluide isotrope : v 2 = vx2 + vy2 + vz2 = 3vx2
1 2 ∂ρ
Jx = − v τ
3
∂x
Fick
v2 τ
v"
D=
=
3
3
le coefficient de diffusion est lié au libre parcours moyen et à la vitesse des particules
• Flux d’énergie thermique :
1
1
(JQ )x = n!(x − "x )vx − n!(x + "x )vx
2
2
(JQ )x
∂#
∂# ∂T
(JQ )x = −vx !x n
= −vx !x n
∂x
∂T ∂x
!x
nc̃v "v
κ=
= nc̃v D
3
la conductivité thermique est liée à la diffusion de matière et à la chaleur spécifique
remarque :
c̃v
chaleur spécifique / mole
∂"
cv
c̃v
=
=
∂T
N
NA
chaleur spécifique / particule
• Conductivité électrique :
! = −σ ∇V
!
loi d’Ohm : J!e = σ E
densité de courant : |J!e | = env
avec
v = µF = µeE
(vitesse des porteurs de charge)
Je = µe2 nE
2
ne
"
2
au total : σ = µe n =
mv
car
τ
"
µ=
=
m
mv
• Loi de Wiedemann-Franz :
lier les conductivités thermique et électrique des métaux
gaz d’électrons libres participe aux conductivités thermique et électrique
c̃v
3
= kB
NA
2
κ
=
σ
n!vkB
2
ne2 !
mv
avec !v" =
petite correction quantique
n"vkB
κ=
2
!
8kB T
πm
κ
= LT
σ
2
π 2 kB
−8
2
L=
=
2.45
10
WΩ/K
3e2
remarquablement indépendant de la densité
et de la nature de la matière métallique !