Transformée de Fourier.

Transformée de Fourier.
Transformée de Fourier.
Grégoire Henning
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Transformée de Fourier.
Table des matières
1. Transformée de Fourier
1.1. Rappel : série de Fourier
1.2. Analyse continue
1.2.1. Formules de transformées de Fourier
1.2.2. Intensité spectrale
1.3. Exemple et première propriété
2. Opérations sur les transformées de Fourier
2.1. Linéarité
2.2. Produit de convolution
3. Transformées de Fourier usuelles
3.1. Constante
3.2. Fonction de Dirac
3.3. Sinus
3.4. Gaussienne
3.5. Lorentzienne
3.6. Exponentielle
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Transformée de Fourier.
1. Transformée de Fourier
1.1. Rappel : série de Fourier
On rappel que la théorie des série de Fourier nous permet de
décomposer toutes fonction périodique1 en une somme de sinus et cosinus,
affectés de coefficients :
∞
f t =∑  a n cos n. t b n sin n.t 
n=0
Plus particulièrement, dans le cadre de la physique, on considère que
1
toute fonction de période T et donc de fréquence =
peut s'écrire :
T
f t =∑ c n e j 2  n t
2
n
Le physicien a alors tendance à tracer l'histogramme de
l'analyse spectrale du signal périodique.
∣c n∣ qui donne
1.2. Analyse continue
1.2.1. Formules de transformées de Fourier
Pour étudier un phénomène qui n'est pas nécessairement périodique (un
phénomène quelconque), il faut utiliser les transformées de Fourier. Attention :
il ne s'agit que de simple série de Fourier continues, la transformée de Fourier
est un outils extrêmement riche et précieux en analyse des signaux3.
La transformée de Fourier d'une fonction f t  est définie comme étant
F  , une fonction (éventuellement complexe) de la fréquence :
∞
F = ∫ f t e j 2  t dt
−∞
1 Il y a en fait des contraintes de continuité (entre autre), mais nous sommes dans le cadre
agréable de la physique, ce qui nous conduit à utiliser des fonctions plus aisées à manipuler.
2 Avec j 2 =−1
3 Cependant, nous n'étudions pas ici l'analyse des signaux.
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Transformée de Fourier.
On a aussi dans ces conditions la formule de transformée de Fourier
inverse qui donne f t  en fonction de F  :
∞
f t = ∫ F  e
− j 2 t
d
−∞
Une autre façon plus générale (à l'aide d'autres variables) d'écrire ces
formules est :
∞
f  x=
1
∫ ue− j u x du
2  −∞
∞
et
u= ∫ f  xe j u x dx
−∞
1.2.2. Intensité spectrale
Tout comme les histogrammes des coefficients de Fourier, le physicien
2
aimera se pencher sur la fonction I =F . F ∗=∣F ∣ qui est l'intensité
spectrale de la fonction f t  .
1.3. Exemple et première propriété
Nous allons tout de suite calculer notre première transformée de Fourier
pour en étudier les premières propriétés.
Le signal étudié est un créneau de largeur  t centré en 0 et de
1
hauteur
(on dit que la distribution est normée):
t
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Transformée de Fourier.
La formule de transformée de Fourier donne alors facilement que :
t
2
F = ∫
−
d'où
F =sinc    t 
Le graphe de
t
2
1
. e j 2   t dt
t
4
.
F 
est alors :
Et l'intensité spectrale est :
On remarque que la largeur spectrale principale de la transformée de
2
Fourier est
. Ce résultat est très générale : plus un signal a une durée
t
courte, plus la largeur spectrale correspondante est grande, et inversement.
4 On rappel que
sinc  x=
sin  x
x
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2. Opérations sur les transformées de Fourier
2.1. Linéarité
Vue la définition d'une transformée de Fourier, il est évident que cette
opération est linéaire, c'est-à-dire que (en notant TF  f  la transformée de
Fourier de f ): TF  f  g = TF  f TF  g 
2.2. Produit de convolution
Cependant, un problème se pose pour le produit : en effet, on a pas
TF  f.g =TF  f . TF  g  , pour cela, on va définir le produit de convolution.
On définit le produit de convolution de
∞
∞
−∞
−∞
f
et
g
par :
 f ∗g t = ∫ f t−u. g u du= ∫ f u. g t−u du= g∗ f t 
On a alors :
TF  f ∗g =TF  f .TF  g 
3. Transformées de Fourier usuelles
3.1. Constante
∞
Pour la fonction
F = A ∫ e j 2   t dt , la convergence de
f t = A , on a
−∞
cette fonction n'est pas évidente... On admettra que pour ≠0 , l'intégrale
est nulle et que si =0 , elle vaut l'infini. Cela définit une fonction appelée
fonction de Dirac qui vaut 0 partout sauf en 0 où elle vaut l'infini ; cette
fonction de Dirac est notée  et on a :
{
 x= ∞ si x=0
0 sinon
}
3.2. Fonction de Dirac
Intéressons nous maintenant à la transformée de Fourier de la fonction
de Dirac. Là encore, le calcul n'est pas évident. En réalité, par convention, on a
∞
∫
f  x x dx= f 0 (avec
f
une fonction quelconque).
−∞
D'où le résultat :
TF =1 . La transformée de Fourier de

est une
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constante ; ce qui est intéressant puisque la transformée de Fourier d'une
constante est la fonction  .
3.3. Sinus
Nous allons maintenant nous pencher sur la transformée de Fourier d'un
signal sinusoïdal sur une durée finie.. Mais bien sur nous ne considérerons pas
un sinus mais une pulsation complexe : s t =e− j 2  f t avec f 0 la fréquence
−

de la pulsation, le signal existant entre les instant
et
.
2
2
0
Le calcul nous donne alors :
TF  s=
1
sinc   f 0 − .

3.4. Gaussienne
Une distribution très répandue et très pratique pour faire les calculs est
la distribution Gaussienne :
2
f t =
1
e
 2 
−x
2
2
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Transformée de Fourier.
La transformée de Fourier d'une gaussienne donne alors :
F =e−4 
2
 2 2
qui est aussi une gaussienne :
3.5. Lorentzienne
Autre distribution classique : la Lorentzienne, définie par :
f t =
1
.
1 t 2
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Transformée de Fourier.
La transformée de Fourier de cette distribution est alors de la forme :
F = e−∣∣
3.6. Exponentielle
Considérons enfin une exponentielle donnée par :
f t =e−∣t∣
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Transformée de Fourier.
La transformée de Fourier de cette fonction est alors :
F =
1
1 − j 2 
L'intensité spectrale de la transformée de Fourier est donc :
I =
1
1 4 2 2
soit une Lorentzienne.
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