Analyse de Fourier des Signaux

Traitement du Signal
James L. Crowley
Deuxième Année ENSIMAG
Troisième Bimestre 1999/00
Séance 4 :
10 mars 2000
Analyse de Fourier des Signaux
Formule du Jour..........................................................................2
La Fonction de Transfert d'un Système Continu..................3
La Transformée de Fourier.......................................................4
Sortes de Transformées de Fourier............................................4
La Transformée de Fourier d'un signal continu..........................5
Transformée de Fourier en 2-D :..............................................5
Propriétés de la Transformation de Fourier d'un signal réel : ......6
Transformée de Fourier d'un signal réel :..................................7
Propriétés Principaux de la transformée de Fourier....................8
Analyse de Fourier des Signaux
Séance 4
Formule du Jour
ejωt = Cos(ωt) + j Sin(ω t)
e
1
= Lim { (1 + n )n} = 2.7182818284...
n→0
ex
x
= Lim { (1 + n )n} = (2.7182818284...)x
n→0
j=
–1
ejx =
jx
(jx) 2 (jx) 3 (jx) 4 (jx) 5 (jx) 6
Lim { (1 + n )n} = 1 + jx + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! +
n→0
...
(jx) 2 (jx) 4 (jx) 6
(jx) 3 (jx) 5
= 1 + 2! + 4! + 6! + ... + jx + 3! + 5! + ...
= Cos(x) + j Sin (x)
On note que :
ejωt + e -jωt = Cos(ωt) + j Sin (ωt) + Cos(ωt) – j Sin (ωt) = 2 Cos(ωt)
ejωt – e -jωt = Cos(ωt) + j Sin (ωt) – Cos(ωt) + j Sin (ωt) = 2j Sin(ωt)
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Analyse de Fourier des Signaux
Séance 4
La Fonction de Transfert d'un Système Continu
Un système linéaire est modélisé par sa réponse impulsionnelle :
δ(t)
h(t) = H[δ(t)]
* h(t)
h(t)
La fonction de transfert est la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle.
Intérêt : Convolution en temps est équivalent d'un produit en domaine Fourier.
y(t) = h(t) * x(t)
⇔
Y(ω) = H(ω) X(ω)
Les signaux ejωt sont les fonctions caractéristiques pour le convolution.
Ils sont également une base orthogonale pour x(t).
La fonction de transfert d'un système h(t) est une fonction complexe H(ω)
qui donne le changement d'amplitude et phase unique à chaque ejωt.
Donc, pour un entré ejωt :
h(t) * ejωt
∞
= H(ω) ejωt =
h(τ) ejω(t–τ) d τ
–∞
∞
=
h(τ) ejωt e–jωτ dτ)
–∞
∞
jωt
jωt
H(ω) e
=e
h(τ) e–jωτ dτ
–∞
∫
∫
∫
∞
H(ω) =
h(τ)
–∞
∫
e–jωτ dτ
Le convolution d'un signal x(t) avec h(t) peut être décrit par un produit de la
fonction de transfert H(ω) avec une décomposition spectrale X(ω) de x(t).
La décomposition spectrale est fournie par une transformée de Fourier.
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Analyse de Fourier des Signaux
Séance 4
La Transformée de Fourier
L'analyse harmonique d'un signal déterministe est l'instrument de base de la théorie
et du traitement du signal. Cette analyse harmonique, obtenue par la transformation
de Fourier, est une représentation spectrale des signaux. Elle exprime la répartition
en fréquence de l'amplitude et de la phase de l'énergie ou de la puissance d'un
signal. Il existe plusieurs formulations de cette transformation :
Sortes de Transformées de Fourier
Transformée
TF
Transformée de Fourier
classique
TFD
Transformée de Fourier
Discrète
TFTD
Transformée de Fourier
en Temps Discrète
temps
continu
infini
fréquence
continue
infinie
discret
périodique
discrète
périodique
discret
fini
continue,
périodique
La Transformée de Fourier classique s'applique aux expressions analytiques.
Elle s'agit d'un outil d'analyse "symbolique".
Elle est presque toujours calculée "à la main".
La Transformée de Fourier Discrète s'applique aux séquences numériques.
Elle est numérique et presque toujours calculer "par logiciel".
Elle transforme une séquence x(n) de N échantillons,
à une séquence X(k) de N échantillons
La Transformée de Fourier en Temps Discrète s'applique aux séquences numériques.
Elle permet d'exprimer la "fonction de transfert" d'une convolution.
Elle décrit un filtre comme une suite des exponentiels.
Elle peut être fait à la main pour les petites séquences, et par logiciel pour
les grandes séquences
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Analyse de Fourier des Signaux
Séance 4
La Transformée de Fourier d'un signal continu
Soit x(t) un signal complexe déterministe.
La transformée de Fourier est une fonction complexe de la variable réelle ω = 2π f
définie par :
∞
{x(t)} = X(ω) = ∫ x(t) e -jωt dt
–∞
La transformée inverse est donnée par :
x(t) =
-1{ X(ω) } =
∞
∫
–∞
X ( ω) e jωt d ω
La symétrie de ces formulations montre l'existence d'une dualité temps-fréquence
Condition d'existence :
Pour qu'une fonction x(t) possède une transformée de Fourier
il faut et il suffit que:
• la fonction x(t) soit bornée.
• l'intégrale de x(t) entre –∞ et ∞ ait une valeur bornée.
• les discontinuités de x(t) soient en nombre fini.
Transformée de Fourier en 2-D :
∞
⌠ ∞
{g(x, y)} = G(u, v) =  ∫ g(x, y) e -j(ux+vy) dx dy
 0
⌡
0
∞
g(x, y) =
⌠ ∞
-1{ G(u, v) } = 
∫G(u, v) e j(ux+vy)
 0
⌡
du dv
0
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Analyse de Fourier des Signaux
Séance 4
Propriétés de la Transformation de Fourier d'un signal réel :
X(ω) =
{x(t)} est une fonction COMPLEXE.
Rappel : pour un complexe z = ℜ{z} + j ℑ {z} = zr + j zi = r e jϕ = | z | ejϕ
j ℑ {z}
r =| z |
ϕ = arg{z}
ℜ{z}
r=
z r2 + zi2
zi
ϕ = Arg {z}= Tan–1{z }
r
Pour X(ω) :
X(ω) = ℜ{X(ω)} + j ℑ {X(ω)} = | X(ω) | ejϕ (ω)
Le module | X(ω) | = ℜ{X(ω)} 2 + j ℑ{X(ω)} 2 est le “spectre d’amplitude”.
ℑ{X(ω)}
L’argument ϕ(ω) = arg (X(ω) = Arc Tan ℜ{X(ω)}
(
) est le “spectre de phase”.
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Analyse de Fourier des Signaux
Séance 4
Transformée de Fourier d'un signal réel :
Pour x(t) réel :
X(ω) : Le spectre d’amplitude est une fonction paire
ϑ(ω) : Le spectre de phase est une fonction impaire.
Démonstration :
Soit x(t) = xp(t) +xi(t) respectivement partie paire et partie impaire
dont les TF sont respectivement Xp(ω) et Xi(ω) on a :
∞
X(ω) = ∫ x(t) e -jωt dt
–∞
∞
∞
∞
∞
= ∫ x p(t)cos(ωt)dt + ∫ x i(t)cos(ωt)dt – j ∫ x p(t) sin(ωt)dt – j ∫ x i(t) sin(ωt)dt
–∞
–∞
–∞
–∞
∞
∞
mais ∫ x i(t) cos(ωt) dt = – ∫ |x i(t)| cos(ωt) dt + ∫ |x i(t)| cos(ωt) dt = 0
–∞
–∞
0
0
∞
et
∫ x p(t) sin(ωt) dt
–∞
=–
∫ x p(t) | sin(ωt)| dt + ∫ x p(t) | sin(ωt) | dt
–∞
∞
donc
∞
0
=0
0
∞
∫ x p(t) cos(ωt) dt – j ∫ x i(t) sin(ωt) dt
–∞
–∞
= X p(ω) + j Xi(ω)
X(ω) =
La partie Réel du X(ω) est la transformée de la partie paire xp(t).
ℜ{X(ω)} =
{xp(t)} = Xp(ω)
La partie Imaginaire est la transformé de la partie impaire xi(t).
ℑ {X(ω)} =
{xi(t)} = Xi(ω)
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Analyse de Fourier des Signaux
Séance 4
Propriétés Principaux de la transformée de Fourier
L’importance de la transformation de Fourier en théorie du signal est largement
due à certaines de ses propriétés remarquables.
Propriétés de symétrie : (Parité)
si x(t) est réel :
Temps
pair
impaire
Fréquence
réel
imaginaire
si X(ω) est réel :
Temps
réel
imaginaire
Linéarité
Fréquence
pair
impaire
a x(t) + b y(t) ⇔ a X(ω) + b Y(ω)
Conjuguée complexe :
x*(t) ⇔ X*(–ω)
Dualité avec convolution :
x(t) * y(t) ⇔ X(ω) Y(ω)
x(t) y(t) ⇔ X(ω) * Y(ω)
Dualité avec inter-corrélation :
x(t) ⊗ y(t) ⇔ X*(ω) Y(ω)
x*(t) y(t) ⇔ X(ω) ⊗ Y(ω)
Translation (théorème du retarde) :
x(t–t 0) ⇔ X(ω) e+jωt0
x(t) e–jω 0t ⇔ X(ω+ω 0)
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Analyse de Fourier des Signaux
Séance 4
Échelle
ω
x(at) = | a |–1 X( a )
Im{ H(ω) }
Première dérivée :
{
∂(f(t))
∂t } =
jω
{f(t)}
0
ω
Deuxième dérivée :
∂2(f(t))
{
} =
∂t2
En général :
{
0
– ω 2 F(ω)
∂nf(t)
} =
∂tn
ω
(jω)n F(jω)
Énergie d'un signal : (Théorème de Parseval)
Énergie d'un signal = Énergie de sa Transformée
∞
∞
1
2
|
f(t)
|
dt
=
∫
∫ | F ( ω) | 2 d ω
2π
–∞
–∞
∞
∫ | f(t) g *(t) | dt
–∞
=
1 ∞
∫ F(ω) G *(ω) dω
2π –∞
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