Exercice: générateurs de Sn.

Exerie: générateurs de
Exerie 1
τi,j = (i j)
On se propose de montrer que pour
engendrent le groupe
n ∈ N∗ ,
2 ≤ k ≤ n.
1. Soit
Sp
montrer que le groupe
Sn
n ∈ N∗ ,
τ1 = (1 2).
4. Soit
ave
montrer que le groupe
G le sous-groupe de Sn
i < j , soit d = j − i.
a Montrer que pour
premier, le yle
Sn
p
est engendré par le yle
engendré par le yle
1 ≤ k ≤ n − d, G
5. Soit
et une transposition
tk = (1 k)
est engendré par les transpositions
ontient les transpositions
n − d + 1 ≤ k ≤ n, G ontient
1 ≤ k ≤ n − d, et pour n − d + 1 ≤ k ≤ n.
est entier,
où
k
est
et la transposition
et une transposition
τi,j = (i, j)
τk,k+d = (k, k + d).
les transpositions
p ∈ N∗ premier,montrer que le yle σ = (1 2 .... p)
Sp des permutations de p éléments.
k
où
τk = (k k + 1)
σ = (1 2 . . . n)
σ = (1 2 . . . p)
b Montrer que pour
pour
σ = (1 2 .... p)
éléments.
est engendré par les transpositions
n ∈ N∗ , montrer que le groupe Sn
entier, 1 ≤ k ≤ n − 1 et τn = (1 n).
2. Soit
3. Soit
p
des permutations de
Sn .
τk,k+d−n = (k, k + d − n).
et une transposition
τi,j = (i j)
engendrent
le groupe
Solution
1. Sn est engendré par l'ensemble des transpositions sur {1, 2, . . . , n}, il sut don de montrer qu'une
transposition (i j) quelonque est omposée de transpositions tk . Soit don une transposition quelonque
(i j), on peut supposer i < j :
• si i = 1 on a : (i j) = tj
• si 1 < i < j on a : (i j) = ti ◦ tj ◦ ti e que l'on vérie dans le tableau qui suit où, le passage d'une
ligne à la suivante représente la substitution qui laisse invariants les éléments qui n'y gurent pas,
les autres éléments ayant leurs images immédiatement
en dessous
 d'eux, la omposée apparaît dans

1
 i

 i
1
le passage de la première à la dernière ligne :
i
1
j
j
j
j 

1 
i
2. D'après la question 1, les transpositions tk = (1 k), engendrent Sn , il sut alors de montrer qu'une
transposition tk quelonque est omposée de transpositions de type τj .
Raisonnons par réurrene sur k :
• t 2 = τ1
• Supposons que pour i entier 2 ≤ i ≤ k < n, ti soit
de type τj alors
 une omposée de transpositions

1
k k+1
 k
1 k+1 

tk+1 = (1 k + 1) = tk ◦ τk ◦ tk (R), en eet : 
 k+1 1 k

k+1 k 1
Ave l'hypothèse de réurrene, (R) implique que tk+1 est une omposée de transpositions de type τj
La réurrene est établie. .
3. D'après la question 2, Sn est engendré par les transpositions τk = (k k + 1) et la transposition
τn = (1 n). Il sut don de prouver que haune de es transpositions est une omposée de yles σ
et de transpositions τ1 .
1
• Pour 1 ≤ k ≤ n − 1, vérions que : τk

1
...
 n−k+2
...

 n−k+2
...
1
...
= σ n−k+1 ◦ τ1 ◦ σ k−1 , en eet :
k−1
n
n
k−1
• Pour k = n, τn = σ n−1 ◦ τ1 ◦ σ , en eet :

1 2
 2 3

 1 3
n 2
4.
k
1
2
k+1
...
...
...
...
k+1
2
1
k
n−1
n
n
n−1
...
...
...
...

n
n−k+1 

n−k+1 
n

n
1 
 2 
1
n−k+1
a. Vérions d'abord l'égalité : τ
◦ τk,k+d ◦ σ k−1 (1)
1,1+d = σ

1
... 1 + d
... n
 k
... k + d
... k − 1 

pour 1 ≤ k ≤ n − d, en eet : 
 k+d
... k
... k − 1 
1+d
... 1
... n
Lorsque k = i, (1) donne : τ1,1+d = σ n−i+1 ◦ τi,j ◦ σ i−1 don τ1,1+d ∈ G, et omme on peut
déduire de (1) que : τk,k+d = σ k−1 ◦ τ1,1+d ◦ σ n−k+1 don que : τk,k+d ∈ G pour 1 ≤ k ≤ n − d.
b. Pour n − d + 1 ≤ k ≤ n, τk,k+d−n = σ k−1 ◦ τ1,1+d ◦ σ n−k+1 ∈ G, en eet :

1
 n−k+2

 n−k+2
1
...
...
...
...
k+d−n
1+d
1
k
...
...
...
...
k
1
1+d
k+d−n
...
...
...
...

n
n−k+1 

n−k+1 
n
5. D'après la question ,4 le yle σ = (1 2 .... p) et la transposition τi,j = (i j) engendrent le sous groupe
G de Sp déni en 4. On va montrer que dans le as où p est premier, G ontient τ1 = (1 2), omme G
ontient aussi σ , la question 3 permet de onlure que G = Sp don que Sp est engendré par σ et τi,j .
p étant premier, Z/pZ est un orps, soit j − i = d et d¯ = d + pZ, omme 1 ≤ d < p d¯ est inversible
dans Z/pZ : il existe n ∈ {1, 2, . . . , p − 1} tel que n̄.d¯ = 1̄ e qui signie qu'il existe m ∈ N tel que :
nd = 1 + mp don : 1 + nd = 2 + mp
Pour k entier naturel, 0 ≤ k ≤ n, appelons ik le reste de la division de 1 + kd par p, on a : i0 =
1, . . . , in = 2 Alors : τik ,ik+1 = (ik , ik+1 ) ∈ G, ar si ik + d ≤ p alors ik+1 = ik + d et si ik + d > p
alors ik+1 = ik + d − p. Montrons alors, par réurrene sur k ∈ N, que τ1,ik = (1, ik ) ∈ G :
• τ1,i1 = τi0 ,i1 ∈ G
• Supposons que pour k ∈ N, τ1,ik ∈ G, on a : τ1,ik+1
1
 ik
= τ1,ik ◦τik ,ik+1 ◦τ1,ik , en eet : 
 ik+1
ik+1
Don τ1,ik+1 = τ1,ik ◦ τik ,ik+1 ◦ τ1,ik ∈ G
La réurrene est établie, en partiulier : τ1,in = τ1,2 ∈ G. 2

ik
1
1
ik

ik+1
ik+1 


ik
1