T ES/L - Math2Cool

T ES/L
DEVOIR SURVEILLE° 2
Durée : 2h
NOM :
12 OCTOBRE 2012
Calculatrice autorisée
Prénom :
« Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il
aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront
pour une part importante dans l’appréciation des copies. »
Aucun prêt n’est autorisé entre les élèves.
Exercice 1 - 4 points Pour chaque question, une seule des réponses proposées est exacte. On demande de cocher
cette bonne réponse. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L’absence de réponse ne
rapporte aucun point et n’en enlève aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
1) f est une fonction définie et dérivable sur ℝ. La tangente au point d’abscisse 1 à la courbe
représentative de cette fonction f dans un repère du plan a comme équation réduite y = – x+3.
Alors on peut dire que :
f ’(1) = 3
f ’(1) = –1
f ’(1) = 3
2) Soit f une fonction définie et dérivable
sur ℝ. On a tracé ci-contre sa courbe
représentative (C) dans un repère
orthonormal.
Une des trois courbes ci-dessous représente graphiquement la fonction f ’. Déterminer laquelle.
Réponse A
Réponse B
Réponse C
3) (Un) est une suite arithmétique avec U5 = – 5 et U20 = 40 ; quelle est la valeur du premier terme
U0 ?
U0 = 5
U0 = – 20
U0 = – 60
4) (Vn) est une suite géométrique de raison q = 10 avec V5 = 200 000 ; quelle est la valeur du
premier terme V0 ?
V0 = 20
V0 = 2
V0 = 200
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Exercice 2 - 5 points La courbe ci-contre représente une
fonction f définie et dérivable sur ℝ .
On a tracé les droites T1, T2 et T3
tangentes respectives à la courbe (Cf)
aux points A, B et C.
La fonction f admet deux extremums
atteints pour les valeurs – 1 et 2.
1) Déterminer par simple
graphique les nombres :
f (2), f (0) et f (3)
lecture
2) On note f ' la fonction dérivée de f ;
déterminer par simple lecture
graphique les nombres : f ' (2), f ' (0)
et f ' (3)
3) Déterminer par simple lecture graphique une équation de la tangente T1 .
4) Pour quelles valeurs de x a-t-on : f ' (x) = 0 ? (Justifier)
5) Dresser le tableau de variation de cette fonction f sur ℝ , en précisant le signe de la dérivée.
Exercice 3 - 5,5 points On considère la fonction f définie sur IR par ² 3 2
1) Déterminer la dérivée f ’ de f.
2) Donner l’équation de la tangente à la courbe Cf au point d’abscisse a = 1.
3) Déterminer le signe de f ’(x) sur ℝ, puis dresser le tableau de variations de f.
4) Démontrer que l’équation f (x) = 0 admet une solution unique α sur l’intervalle [–1 ;3]. A l’aide
de la calculatrice, donner un encadrement de α à 10–2 près.
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Exercice 4 - 7 points L’entreprise CoTon produit du tissu en coton. Celui-ci est fabriqué en 1 mètre de large et pour une
longueur x exprimée en kilomètre, x étant compris entre 0 et 10.
Le coût total de production en euros de l’entreprise CoTon est donné en fonction de la longueur x
par la formule
15 120² 500 750.
Le graphique de l’annexe donne la représentation graphique de la fonction C.
Les deux parties A et B de cet exercice sont indépendantes
Partie A : Étude du bénéfice
Si le marché offre un prix p en euros pour un kilomètre de ce tissu, alors la recette de l’entreprise
CoTon pour la vente d’une quantité x est égal à R(x) = px.
1. Tracer sur le graphique ci-après la droite D1 d’équation y = 400x.
Expliquer, au vu de ce tracé, pourquoi l’entreprise CoTon ne peut pas réaliser un bénéfice
si le prix p dumarché est égal à 400 euros.
2. Dans cette question on suppose que le prix du marché est égal à 680 euros.
a. Tracer sur le graphique de l’annexe 2 la droite D2 d’équation y = 680x.
Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique, pour quelles
quantités produites et vendues, l’entreprise CoTon réalise un bénéfice si le prix p du
marché est de 680 euros.
b. On considère la fonction B définie sur l’intervalle [0 ; 10] par B(x) = 680x −C(x).
Démontrer que pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 10] on a :
B’(x) = −45x² +240x +180.
c. Étudier les variations de la fonction B sur [0 ; 10].
En déduire pour quelle quantité produite et vendue le bénéfice réalisé par
l’entreprise CoTon est maximum. Donner la valeur de ce bénéfice.
Partie B : Étude du coût moyen
On rappelle que le coût moyen de production CM mesure le coût par unité produite.
On considère la fonction CM définie sur l’intervalle ] 0 ; 10] par .
1. Démontrer que pour tout x appartenant à l’intervalle ] 0 ; 10] on a :
2.
²
.
a. Démontrer que pour tout x appartenant à l’intervalle ] 0 ; 10], C’M(x) est du signe
de (x −5).
En déduire les variations de la fonction CM sur l’intervalle ] 0 ; 10].
b. Pour quelle quantité de tissu produite le coût moyen de production est-il
minimum?
Que valent dans ce cas le coût moyen de production et le coût total ?
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Exercice 5 - 8 points Une entreprise fabriquant des tables en bois souhaite se développer rapidement et veut planifier
l’augmentation de sa production.
En 2011, 250 tables par mois ont été fabriquées.
Deux options sont possibles pour augmenter la production :
• Plan 1 : on augmente la production annuelle de 180 tables chaque année.
• Plan 2 : on augmente la production de 5% par an
1) On note un le nombre de tables fabriquées pendant l’année 2011 + n avec le plan 1.
Déterminer u0.
Quelle est la nature de la suite (un) ? Exprimer un en fonction de n.
2) On note wn le nombre de tables fabriquées pendant l’année 2011 + n avec le plan 2.
On a alors w0 = u0.
Quelle est la nature de la suite (w
( n) ? Exprimer wn en fonction de n.
3) Déterminer quel est celui des deux plans permettant de produire le plus grand nombre de
tables pendant l’année 2015.
4) En utilisant la calculatrice et en justifiant ensuite la réponse donnée, déterminer à partir de
quelle année, la production annuelle avec
avec le plan 2 sera supérieure à la production annuelle avec
le plan 1.
5) L’entreprise choisit finalement de suivre le plan 2. Calculer le nombre total de tables fabriquées
pendant les années 2011 à 2020 (2020 inclus)
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T ES/L
CORRECTION DEVOIR SURVEILLE° 2
Exercice 1
12 / 10 / 2012
- 4 points -
Pour chaque question, une seule des réponses proposées est exacte. On demande de cocher cette bonne
réponse. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L’absence de réponse ne
rapporte aucun point et n’en enlève aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
1) f est une fonction définie et dérivable sur ℝ. La tangente au point d’abscisse 1 à la courbe
représentative de cette fonction f dans un repère du plan a comme équation réduite y = – x+3. Alors on
peut dire que :
f ’(1) = 3
■ f ’(1) = –1
f ’(1) = 3
2) Soit f une fonction définie et dérivable sur ℝ.
On a tracé ci-contre sa courbe représentative
(C) dans un repère orthonormal.
Une des trois courbes ci-dessous représente graphiquement la fonction f ’. Déterminer laquelle.
■ Réponse A
Réponse B
Réponse C
3) (Un) est une suite arithmétique avec U5 = – 5 et U20 = 40 ; quelle est la valeur du premier terme U0 ?
U0 = 5
■ U0 = – 20
U0 = – 60
4) (Vn) est une suite géométrique de raison q= 10 avec V5 = 200 000 ; quelle est la valeur du premier terme
V0 ?
V0 = 200
V0 = 20
■ V0 = 2
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Exercice 2
- 5 points -
La courbe ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur ℝ .
On a tracé les droites T1, T2 et T3 tangentes respectives à la courbe (Cf) aux points A, B et C.
La fonction f admet deux extremums atteints pour les valeurs – 1 et 2.
1) Déterminer par simple lecture graphique les nombres : f (2), f (0) et f (3)
f (2) = – 3
f (0) = 2
f (3) = – 2
2) On note f ' la fonction dérivée de f ; déterminer par simple lecture graphique les nombres : f ' (2),
f ' (0) et f ' (3)
f ' (2) = 0
f ' (0) = – 2/2 = – 1
f ' (3) = 2/1 = 2
3) Déterminer par simple lecture graphique une équation de la tangente T1 :
Le coefficient directeur de la tangente T1 est égal à f ' (2) c’est-à-dire à 1.
Son ordonnée à l’origine est égale à 4.
On en déduit qu’une équation de cette tangente T1 est : y = x + 4
4) Pour quelles valeurs de x a-t-on : f ' (x) = 0 ? (Justifier)
Résoudre l’équation f ' (x) = 0 signifie que l’on recherche les abscisses des points de (Cf) où la
tangente à (Cf) est parallèle à l’axe des abscisses.
S = { – 1 ; 2}
5) Dresser le tableau de variation de cette fonction f sur ℝ , en précisant le signe de la dérivée.
x
−∞
Signe de f’(x)
Variation
de f
+
−1
0
2,5
−
2
0
–3
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+∞
+
Exercice 3
- 5,5 points On considère la fonction f définie sur IR par ² 1) Déterminer la dérivée f ’ de f.
f est dérivable sur IR en tant que fonction polynôme et f ’(x) = x² – 2x – 3
2) Donner l’équation de la tangente à la courbe Cf au point d’abscisse a = 1.
l’équation de la tangente au point a = 1 et y = f’(1) ( x – 1 ) + f(1)
on trouve f(1) = et f ’(1) = – 4 ,
d’où y = – 4 ( x – 1 ) y = – 4 x + 4 Donc l’équation de la tangente à Cf au point d’abscisse 1 : y = – 4x +
!
3) Déterminer le signe de f ’(x) sur ℝ, puis dresser le tableau de variations de f.
f ’(x) = 0 équivaut à x² – 2 x – 3 = 0
▪ ∆ = b² – 4 a c = (-2)² − 4 × (1) × (– 3) = 4 + 12 = 16 > 0.
▪ L’expression admet donc deux racines réelles distinctes :
% "√∆
%√'
%
%&
%(
'
%3
%
%
%
1
Comme a = 1 est positif on obtient le tableau de signe suivant :
4) Démontrer que l’équation f (x) = 0 admet une solution unique α sur l’intervalle [–1 ;3]. A l’aide de
la calculatrice, donner un encadrement de α à 10–2 près.
On sait que la fonction f est continue et strictement décroissante sur [-1 ;3] à valeurs dans [-7 ;11/3]
D’après le théorème des valeurs intermédiaires
On obtient que l’équation f (x) = 0 admet une solution unique sur [–1 ;3].
De plus
f (0,57) = 0,0268
Donc 0,57 < α < 0,58
et
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f (0,58) = –0,0113
Exercice 4
- 7 points -
L’entreprise CoTon produit du tissu en coton. Celui-ci est fabriqué en 1 mètre de large et pour une
longueur x exprimée en kilomètre, x étant compris entre 0 et 10.
Le coût total de production en euros de l’entreprise CoTon est donné en fonction de la longueur x
par la formule
C(x) = 15x3 −120x² + 500x + 750.
Le graphique de l’annexe donne la représentation graphique de la fonction C.
Les deux parties A et B de cet exercice sont indépendantes
Partie A : Étude du bénéfice
Si le marché offre un prix p en euros pour un kilomètre de ce tissu, alors la recette de l’entreprise
CoTon pour la vente d’une quantité x est égal à R(x) = px.
1. Tracer sur le graphique de l’annexe 2 la droite D1 d’équation y = 400x.
Expliquer, au vu de ce tracé, pourquoi l’entreprise CoTon ne peut pas réaliser un bénéfice si le prix
p du marché est égal à 400 euros.
La droite D1 est en dessous de la
courbe représentative de la
fonction C. Donc pour tout réel x
appartenant à [0 ;10], Cx)>400x.
C'est à dire que :
si le prix p du marché est égal à
400 euros alors le coût total de
production est supérieur à la
recette donc l'entreprise ne peut
pas réaliser un bénéfice.
2. Dans cette question on suppose que le prix du marché est égal à 680 euros.
a. Tracer sur le graphique de l’annexe 2 la droite D2 d’équation y = 680x.
Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique, pour quelles quantités
produites et vendues, l’entreprise CoTon réalise un bénéfice si le prix p du marché est de 680
euros.
L'entreprise CoTon réalise un bénéfice quand la recette est supérieure aux coûts. Graphiquement,
il s'agit de déterminer l'intervalle sur lequel la courbe représentative de la fonction recette est située
au dessus de la courbe représentative de la fonction coût total.
Avec la précision permise par le dessin, la « plage de rentabilité » est obtenue pour une production
comprise entre 2,1 et 8,7 kilomètres de tissu.
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b. On considère la fonction B définie sur l’intervalle [0 ; 10] par B(x) = 680x −C(x).
Démontrer que pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 10] on a : B’(x) = −45x² +240x +180.
La fonction B est définie sur l'intervalle [0 ; 10] par ) 680 .
Soit ) 680 15 120 % 500 750 15 120² 180 750
La fonction B est dérivable comme somme de fonctions dérivables sur l'intervalle [0 ; 10]
et ) 15 - 3² 120 - 2 180 45² 240 180
Donc la fonction B′ définie sur l'intervalle [0 ; 10] par ) 45² 240 180
c. Étudier les variations de la fonction B sur [0 ; 10].
En déduire pour quelle quantité produite et vendue le bénéfice réalisé par l’entreprise CoTon est
maximum. Donner la valeur de ce bénéfice.
Les variations de B, se déduisent de l'étude du signe de la dérivée B′
Étudions le signe du polynôme du second degré : 45² 240 180
▪ ∆ = b² – 4 a c = (240)² − 4 × (– 45) × (180) = 90 000 > 0.
▪ L’expression admet donc deux racines réelles distinctes :
% "√∆
%(√/
%-(
%&
%
%
/ %-(
%(
/
6
Comme ∆ > 0 et a > 0
D'après le tableau des variations de la fonction B sur l'intervalle [0 ; 10], le bénéfice est
maximal pour la production et la vente de 6 kilomètres de tissu.
D'autre part, B6)= –15×63 + 120×6² + 180×6 – 750=1410
Donc Le bénéfice maximal est de 1410 € pour la production et la vente de 6 kilomètres de
tissu.
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Partie B : Étude du coût moyen
On rappelle que le coût moyen de production CM mesure le coût par unité produite.
On considère la fonction CM définie sur l’intervalle ]0 ; 10] par 01 0
.
1. Démontrer que pour tout x appartenant à l’intervalle ]0 ; 10] on a :
0 1 On a
23 3
.
²
C5 x 78
8
153 120²500750
8
152 120 500 750
.
C5 est dérivable sur ]0 ;10] comme somme de fonction dérivable sur ]0 ;10]
Et C95 x 30 120 Or
750
²
303 120²750
.
²
30 5 % 5 30 % 5 5 % 5 25
30 4 % 25
30 120 750
Donc C95 x 2.
303 120²750
²
.
²
a. Démontrer que pour tout x appartenant à l’intervalle ]0 ; 10], C’M(x) est du signe de (x −5).
En déduire les variations de la fonction CM sur l’intervalle ]0 ; 10].
Soit Px)=x² + x + 5
Alors ∆ = b² – 4 a c = 1²– 4×1×5 = 1 – 20 = – 19 < 0
Donc pour tout réel x, x² + x + 5 > 0.
D'autre part, pour tout réel x, x² ≥ 0
Par conséquent, pour tout x appartenant à l'intervalle ]0 ; 10], l'expression
30 5 % 5 est du signe de x – 5.
Les variations de la fonction CM, se déduisant du signe de sa dérivée, nous pouvons établir
le tableau des variations de CM sur l'intervalle ]0 ; 10]
b. Pour quelle quantité de tissu produite le coût moyen de production est-il minimum?
Que valent dans ce cas le coût moyen de production et le coût total ?
C5)=15×53 – 120×5² + 500×5 + 750 = 2125
et
CM5)=2125/5=425
Le coût moyen de production minimum est de 425 euros le kilomètre de tissu pour une
production de 5 kilomètres de tissu ce qui correspond à un coût total de production de 2 125
euros.
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Exercice 5
- 7,5 points -
Une entreprise fabriquant des tables en bois souhaite se développer rapidement et veut planifier
l’augmentation de sa production.
En 2011, 250 tables par mois ont été fabriquées.
Deux options sont possibles pour augmenter la production :
• Plan 1 : on augmente la production annuelle de 180 tables chaque année.
• Plan 2 : on augmente la production de 5% par an
1) On note un le nombre de tables fabriquées pendant l’année 2011 + n avec le plan 1.
Quelle est la nature de la suite (un) ?
Exprimer un en fonction de n.
Déterminer u0.
u0 est la production annuelle de l’année 2011 + 0 = 2011 donc u0 = 12 × 250 = 3000
u0 = 3000
On augmente la production annuelle de 180 tables chaque année donc un+1 = un + 180
donc (un) est une suite arithmétique de premier terme u0 = 3000 et raison r = 180
donc un = u0 + n × r = 3000 + 180n
2) On note wn le nombre de tables fabriquées pendant l’année 2011 + n avec le plan 2.
On a alors w0 = u0
Quelle est la nature de la suite (wn) ?
Exprimer wn en fonction de n
w0 est la production annuelle de l’année 2011 + 0 = 2011 donc w0 = u0 = 3000
On augmente la production annuelle de 5% chaque année donc cela revient à appliquer le
coefficient multiplicateur 1 1,05
donc wn+1 = 1, 05wn
donc (wn) est une suite géométrique de premier terme w0 = 3000 et raison q = 1, 05
donc wn = w0 × 1, 05n = 3000 × 1, 05n
3) Déterminer quel est celui des deux plans permettant de produire le plus grand nombre de tables
pendant l’année 2015.
2015 = 2011 + 4 donc il faut calculer u4 et w4
u4 = 3000 + 180 × 4 = 3720
et
w4 = 3000 × 1, 054 ≈ 3646, 5
Le plan 1 permet de produire plus de table que le plan 2 en 2015.
4) En utilisant la calculatrice et en justifiant ensuite la réponse donnée, déterminer à partir de quelle
année, la production annuelle avec le plan 2 sera supérieure à la production annuelle avec le plan
1.
Il faut résoudre wn > un
On a alors
u8 = 4440
et
w8 ≈ 4432, 3
donc u8 > w8
et
u9 = 4620
et
w9 ≈ 4653, 9
donc u9 < w9
donc pour n = 9 la production annuelle avec le plan 2 est supérieure à celle du plan 1 soit en
2011 + 9 = 2020
La production annuelle avec le plan 2 est supérieure à celle du plan 1 à partir de 2020.
5) L’entreprise choisit finalement de suivre le plan 2. Calculer le nombre total de tables fabriquées
pendant les années 2011 à 2020 (2020 inclus)
1 =
1 1,05
1 1,05
; < 3000 3000 6000 - 1 1,05 > 37774
1=
1 1,05
0,05
(arrondi à l’unité)
Avec le plan 2, 37774 tables auront été produites entre le début 2011 et la fin de l’année 2020.
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