Correction Bac, série S Candidats ayant suivi l`enseignement de
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Correction Bac, série S Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité juin 2011 Exercice no 4 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité PARTIE A - Restitution organisée de connaissances On rappelle ci-dessous le théorème de BÉZOUT et le théorème de GAUSS. Théorème de BÉZOUT : Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement si, il existe un couple (u ; v) d’entiers relatifs vérifiant au + bv = 1. Théorème de GAUSS : Soient a, b, c des entiers relatifs. Si a divise le produit bc et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c. 1. Démontration du théorème de GAUSS : a et b sont premier entre eux, il existe donc u et v, entiers vérifiant au + bv = 1. au + bv = 1 =⇒ acu + bc v = c Or a divise bc donc bcv, et évidemment a divise acu, donc a divise c = acu + bc v. 2. Soient p et q deux entiers naturels tels que p et q sont premiers entre eux. Déduire du théorème de GAUSS que, si a est un entier relatif, tel que a ≡ 0 [p] et a ≡ 0 [q], alors a ≡ 0 [pq] : Soit a relatif tel que a ≡ 0 [p] et a ≡ 0 [q]. Alors, il existe k et k 0 relatifs tels que a = kp et a = k 0 q d’où kp = k 0 q. p divise k 0 q et p est premier avec q, donc, d’après le théorème de GAUSS, p divise k 0 . Il existe k 00 ∈ Z, k 0 = pk 00 . Alors a = k 0 q = k 00 pq d’où a ≡ 0 [pq]. 1 PARTIE B On se propose de déterminer l’ensemble S des entiers relatifs n vérifiant le système : n ≡ 9 [17] n ≡ 3 [5] 1. Recherche d’un élément de S . On désigne par (u ; v) un couple d’entiers relatifs tel que 17u + 5v = 1. a) Il existe un tel couple (u ; v), car 17 et 5 sont premiers entre eux et on applique le théorème de BEZOUT. b) On pose n 0 = 3 × 17u + 9 × 5v. n 0 = 3 × 17u + 9 × 5v ⇐⇒ 3(17u + 5v}) + 6 × 5v = 3 + 5 × (6v) ⇐⇒ n 0 ≡ 3 [5] | {z =1 n 0 = 3 × 17u + 9 × 5v ⇐⇒ 9(17u + 5v}) − 6 × 17u = 9 + 17 × (−6u) ⇐⇒ n 0 ≡ 9 [17] | {z =1 Donc n 0 ∈ S . c) Exemple d’entier n 0 appartenant à S : Nous avons : 17 = 3 × 5 + 2 =⇒ 2 = 17 − 3 × 5 Mais 17 = 3×5+2 et 5 = 2×2+1 =⇒ 1 = 5−2×2 = 5−(17−3×5)×2 = 17 × (−2) + 5 × 7 = 1 Ainsi le couple (u; v) = (−2 ; 7) convient et n 0 = 3 × 17(−2) + 9 × 5(7) = 213 est un exemple de n 0 . 2. Caractérisation des éléments de S . a) Soit n un entier relatif appartenant à S . On a : n ≡ 9 [17] et n 0 ≡ 9 [17]. Donc n − n 0 ≡ 0 [17]. De même : n ≡ 3 [5] et n 0 ≡ 3 [5]. Donc n − n 0 ≡ 0 [5]. Ainsi d’après la question Partie A. 2), nous obtenons : n − n 0 ≡ 0 [17 × 5] ⇐⇒ n − n 0 ≡ 0 [85]. b) On en déduit que, si n ∈ S , n ≡ n 0 [85] donc n ≡ 213 [85]. Or 213 = 270 + 43 = 2 × 85 + 43 ≡ 43 [85] donc 213 ≡ 43 [85]. Par conséquent : n ∈ S ≡ n ≡ 43 [85] donc n = 43 + 85k, k ∈ Z . 3. Application Zoé sait qu’elle a entre 300 et 400 jetons. Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9. Si elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 3. Combien a-t-elle de jetons ? Soit n le nombre de jetons. On a : n ≡ 9 [17] et n ≡ 3 [5]. D’après ce qui précède, on a : n = 43 + 85k. On sait que 300 É n É 400, donc 300 É 43 + 85k É 400. On en déduit que k = 4 et que Zoé a 383 jetons. 2