Examen : Bac S Epreuve : Mathématiques

Examen : Bac S
Epreuve : Mathématiques
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I. INTÉRÊT DU SUJET
Démonstration et utilisation de théorèmes essentiels en arithmétique pour résoudre un problème concret.
II. SAVOIR ET SAVOIR-FAIRE
Utilisation des théorèmes de Bezout et de Gauss ainsi que de la congruence.
III. RÉPONSES
PARTIE A : ROC
PARTIE B :
1)
a) existence du couple (u,v)
b)
n0 ∈ S
c)
n0 = −297 ou n0 = 43
a)
n − n0 ≡ 0 [85]
2)
b) n ∈ S ⇔ n = 43 + 85k
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3) 383 jetons.
IV. DÉVELOPPEMENT
PARTIE A
1) Soit
a , b et c trois entiers relatifs tels que a divise bc et a et b premiers entre eux.
En utilisant le théorème de Bezout, comme
relatifs vérifiant
au + bv = 1
en multipliant par
or
a et b sont premiers entre eux alors il existe (u , v) entiers
c , on a auc + bcv = c
a divise auc et a divise bcv car a divise bc
par conséquent
a divise la somme auc + bcv
donc
2)
a divise c
a entier relatif tel que a ≡ o [ p ] et a ≡ o [ q ]
donc
p divise a et q divise a
par conséquent il existe
k et k ′ entiers relatifs tels que
a = kp = k ′q
p divise k ′q et p et q sont premiers entre eux.
D’après le théorème de GAUSS,
en remplaçant
par conséquent
p divise k ′ , il existe donc un entier relatif k ′′ tel que k ′ = k ′′p
k ′ par k ′′p on a : a = k ′′pq
pq divise a et donc a ≡ o [ pq ]
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PARTIE B
1)
a) 5 et 17 sont premiers entre eux
D’après le théorème de Bezout, il existe
(u , v) entiers relatifs tels que :
17u + 5v = 1
b)
n0 = 3 × 17u + 9 × 5v
3 × 17u ≡ 0 [17]
5v ≡ 1[17 ] car 5v = 1 − 17u
9 × 5v ≡ 9 [17] par compatibilité du produit avec la congruence
n0 ≡ 9 [17] par compatibilité de la somme avec la congruence.
Par le même principe on démontre que
n0 ≡ 3[ 5]
par conséquent
n0 ∈ S .
c) Déterminons un couple
(u , v) vérifiant 17u + 5v = 1
Par tâtonnement on obtient
Ce qui nous donne
(3; −10)
n0 = −297
−297 ∈ S
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2)
a) Comme
n ≡ 9 [17 ]
n0 ≡ 9 [17 ]
n ∈S , 
et 
n ≡ 3 [5]
n0 ≡ 3 [5]
par compatibilité du produit et de la somme dans les congruences, on obtient
n − n0 ≡ 0 [17 ]

n − n0 ≡ 0 [ 5]
En utilisant la propriété 2 démontrée dans la partie A, on a,
comme 5 et 17 sont premiers entre eux :
n − n0 ≡ 0 [85]
b) Raisonnons par double implication.
Si
n ∈ S , on a n − n0 ≡ 0 [85]
n ≡ −297 [85]
or
−297 = 85 × (−4) + 43
par conséquent
n ≡ 43[85]
Inversement, si
n ≡ 43[85] on a n ≡ 43 + 85k avec k entier relatif.
n = 9 + 17(2 + 5k ) donc n ≡ 9 [17 ]
n = 3 + 5(8 + 17 k ) donc n ≡ 3[5]
Par conséquent
n ∈S .
D’où la caractérisation des éléments de
S proposée :
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n ∈ S ⇔ n peut s’écrire sous la forme n = 43 + 85k , avec k ∈ ℤ.
3) La question de Zoé est de trouver
n pour que n ∈ S .
D’après la caractérisation précédente on a :
300 ≤ 43 + 85k ≤ 400
257 ≤ 85k ≤ 357
3, 02 ≤ k ≤ 4, 2
Comme
k est un entier, seul k = 4 est possible, ce qui nous donne n = 383 .
Zoé a donc 383 jetons.
V. COMMENTAIRE
Exercice plutôt difficile où alternent des questions très simples et classiques avec d’autres beaucoup plus
fines.
Bien penser à faire la réciproque pour la caractérisation demandée.
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