Exercice D9 - XMaths
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Exercice D9 - XMaths
Exercice D9 1. (a) √ 2 √ 2 √ 2 √ √ √ 1+ 6 =7+2 6 . 1+ 6 =1+2 6+ 6 = 1 + 2 6 + 6, donc √ 4 √ 2 2 h √ i2 √ √ 4 √ 1+ 6 = 1+ 6 = 7 + 2 6 = 49 + 28 6 + 24, donc 1 + 6 = 73 + 28 6 . √ 6 √ 2 √ 4 √ √ √ √ 1+ 6 = 1+ 6 1 + 6 = 7 + 2 6 73 + 28 6 = 511 + 196 6 + 146 6 + 336, √ 6 √ 1 + 6 = 847 + 342 6 . donc (b) On peut écrire : 847 = 342 × 2 + 163 ; 342 = 163 × 2 + 16 ; 163 = 16 × 10 + 3 ; 16 = 3 × 5 + 1 ; 3 = 1 × 3 + 0 D’après l’algorithme d’Euclide, le PGCD est le dernier reste non nul des divisions successives. On a donc : PGCD(847; 342) = 1, c’est-à-dire que : les nombres 847 et 342 sont premiers entre eux . √ n √ 2. (a) an et bn sont les entiers naturels tels que : 1 + 6 = an + bn 6. √ 1 √ On a 1 + 6 = 1 + 1 6, donc : a1 = 1 et b1 = 1 . Les calculs de la question 1.(a), permettent de donner : a2 = 7 et b2 = 2 ; a4 = 73 et b4 = 28 ; a6 = 847 et b6 = 342 . √ n+1 √ n √ (b) On peut écrire : 1 + 6 = 1+ 6 1+ 6 √ √ √ √ √ donc : an+1 + bn+1 6 = an + bn 6 1 + 6 = an + an 6 + bn 6 + 6bn √ √ c’est-à-dire : an+1 + bn+1 6 = (an + 6bn ) + (an + bn ) 6 On en déduit : an+1 = an + 6bn et bn+1 = an + bn . Cela suppose, et c’est sous-entendu dans le texte, que les entiers a n et bn , tels qu’ils sont définis, sont uniques. (c) Pour tout entier n non nul on peut écrire : an+1 + bn+1 = an + 6bn + an + bn = 2an + 7bn = 2(an + bn ) + 5bn et par conséquent : an+1 + bn+1 − 5bn = 2(an + bn ) . Supposons que 5 divise an+1 + bn+1 . Alors comme 5 divise 5bn (puisque bn est entier), on en déduit que 5 divise 2(an + bn ). Sachant que 5 est premier avec 2, le théorème de Gauss permet d’en déduire que 5 divise a n + bn . On peut conclure que : si 5 ne divise pas an + bn alors 5 ne divise pas non plus an+1 + bn+1 . Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n non nul, 5 ne divise pas an + bn . On a : a1 + b1 = 1 + 1 = 2. Donc 5 ne divise pas a1 + b1 . Supposons que pour un entier naturel n non nul fixé, 5 ne divise pas an + bn . On a alors justifié précédemment que 5 ne divise pas an+1 + bn+1 . On peut en conclure que : Pour tout entier naturel n non nul, 5 ne divise pas an + bn . (d) Supposons que an et bn sont premiers entre eux. Soit d un entier naturel, diviseur commun de an+1 et bn+1 . Montrons que d est nécessairement égal à 1. Comme d divise an+1 et bn+1 , il divise an+1 − bn+1 = an + 6bn − (an + bn ). Donc d divise 5bn . d est premier avec 5 : en effet si d n’était pas premier avec 5 qui est un nombre premier, d serait un multiple de 5, donc 5 serait un diviseur de d, donc 5 serait un diviseur de an+1 et bn+1 , donc 5 serait un diviseur de an+1 + bn+1 , ce qui est en contradiction avec le résultat de la question précédente. Comme d divise 5bn et que d est premier avec 5, le théorème de Gauss permet de conclure que d divise b n . On sait alors que d divise bn+1 et bn , donc d divise bn+1 − bn = an . On a donc justifié que d est un diviseur commun de an et bn . Or on a supposé que an et bn sont premiers entre eux, donc d = 1. Le seul diviseur naturel commun à an+1 et bn+1 est 1, donc an+1 et bn+1 sont premiers entre eux. On a démontré que : si an et bn sont premiers entre eux, alors an+1 et bn+1 sont premiers entre eux . On a : a1 = 1 et b1 = 1, donc a1 et b1 sont premiers entre eux. On sait que, pour tout n ∈ N∗ , si an et bn sont premiers entre eux, alors an+1 et bn+1 sont premiers entre eux, on en déduit par récurrence que : pour tout n entier naturel non nul, an et bn sont premiers entre eux . http://xmaths.free.fr Terminale S : Arithmétique - Exercices page 1/1