Q.C.M. et VRAI-FAUX - Exercice 1

Q.C.M. et VRAI-FAUX
1. Les suites u et v, définies sur N par :
-
Exercice 1
un = n et vn =
-
Solution
n
ont le même sens de variations.
n +1
C’est VRAI !
La suite u est (strictement) croissante (cours de première - il s’agit d’une suite de référence).
n
n + 1 −1 n + 1
1
1
=
=
−
=1−
et
Pour la suite v, transformez son écriture : ∀n∈N vn =
n +1
n +1
n +1 n +1
n +1
étudiez ses variations (théorèmes sur les variations de fonctions composées - cours de première) ou
x
1× ( x + 1) − x × 1
1
.
dérivez la fonction associée : f : x !
dérivée
f ': x !
=
2
x +1
( x + 1)
( x + 1) 2
strictement positive donc fonction strictement croissante …
2. La suite u définie sur N par :
un = n 2 − 18n + 3 est décroissante.
C’est FAUX !
La fonction associée à la suite, f : x ! x 2 − 18 x + 3 , est strictement décroissante sur ]−∞ ; 9] et
b
−18
=−
= 9 ). La suite est donc
(cours de première : −
strictement croissante sur [9 ; +∞[
2a
2 ×1
strictement décroissante du rang 0 au rang 9 et strictement croissante à partir du rang 9.
3. On considère trois suites u, v et w, définies sur N* et vérifiant :
un =
1
1
, vn = 2 et vn ≤ wn ≤ un .
n
n
u, v et w ont le même sens de variations.
C’est FAUX !
D’après l’énoncé, on peut se contenter d’un contre-exemple graphique :
Pensez-vous que la suite rouge soit décroissante (du rang 3 au rang 4) ?
Q.C.M. et VRAI-FAUX
4. Si une suite u, définie sur N, vérifie
∀n∈N
-
Exercice 1
-
Solution
un +1
≤ 1 , alors cette suite est décroissante.
un
C’est FAUX !
En effet, cela dépend aussi du signe des termes de la suite. Si la suite est strictement négative,
un +1
≤ 1 donne un +1 ≥ un et la suite est croissante.
un
1
−
u
n +1
1
1
u
Exemple : un = −
. ∀n∈N n +1 = n + 2 =
=1−
, ∀n∈N n +1 ≤ 1 et pourtant
1
un
n
n
+
+
2
2
n +1
un
−
n +1
cette suite est strictement croissante.
5. La suite u, définie sur N* par
un =
3n
est décroissante à partir du rang 2.
n!
C’est VRAI !
∀n∈N*
un +1
un
3n +1
n!
3n +1
3
(n + 1)!
=
=
× n =
n
n +1
(n + 1)! 3
3
n!
Les termes étant strictement positifs, un +1 ≤ un ⇔
La suite u est bien décroissante à partir du rang 2.
un +1
3
≤1 ⇔
≤1 ⇔ 3 ≤ n +1 ⇔ 2 ≤ n
un
n +1
Q.C.M. et VRAI-FAUX
1. Deux suites u et v sont définies sur N par :
-
Exercice 2
un =
n
n+2
et vn =
.
n +1
n +1
-
Solution
B u est décroissante FAUX !
La suite u est strictement croissante, ce qui se voir rapidement avec
n +1
n
(n + 1)2 − n(n + 2) n 2 + 2n + 1 − n 2 − 2n
1
∀n∈N un +1 − un =
−
=
=
=
(n + 2)(n + 1)
(n + 2)(n + 1)
(n + 2)(n + 1)
n + 2 n +1
nombre visiblement strictement positif.
C v est décroissante
VRAI !
n + 3 n + 2 (n + 3)(n + 1) − (n + 2) 2 n 2 + n + 3n + 1 − n 2 − 4n − 4
−3
∀n∈N vn +1 − vn =
−
=
=
=
(n + 2)(n + 1)
(n + 2)(n + 1)
(n + 2)(n + 1)
n + 2 n +1
nombre visiblement strictement négatif.
D v majore u
VRAI !
n+2
n
2
nombre visiblement positif donc vn ≥ un.
∀n∈N vn − un =
−
=
n +1 n +1 n +1
E u et v divergent vers la même limite FAUX !
En effet, elles convergent toutes les deux vers 1.
un = n + 42 , v0 = 2 et vn +1 = vn + 42 .
B u et v ont le même sens de variations VRAI !
La fonction associée f : x ! x + 42 est strictement croissante sur [− 42 ; +∞[ donc u est
strictement croissante.
Montrons, par récurrence, que ∀n∈N v n +1 > v n, c'est-à-dire que la suite v est également
strictement croissante.
Initialisation : v0 = 2 et v1 = v0 + 42 = 44 . On a bien v1 > v0, c'est-à-dire v0+1 > v0.
Hérédité : Soit n un entier naturel quelconque.
Si v n +1 > v n, alors f(v n +1) > f(v n) puisque f est strictement croissante sur la totalité de son
ensemble de définition.
v n +2 > v n+1
v n + 1 +1 > v n +1
Conclusion : La propriété v n +1 > v n est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir du rang 0. Le
principe de récurrence permet d’affirmer qu’elle est vraie pour tout entier n à partir de 0.
2. Deux suites u et v sont définies sur N par :
C u majore v FAUX !
Il suffit de comparer v1 = 44 (déjà calculé au B) et u1 = 43 .
D v est majorée par 7 VRAI !
Montrons, par récurrence, que ∀n∈N v n ≤ 7.
Initialisation : v0 = 2 . On a bien v0 ≤ 7.
Hérédité : Soit n un entier naturel quelconque.
f(v n ) ≤ f(7) puisque f est croissante sur la totalité de son ensemble de
Si v n ≤ 7, alors
définition.
vn+1 ≤ 7
Conclusion : La propriété v n ≤ 7 est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir du rang 0. Le
principe de récurrence permet d’affirmer qu’elle est vraie pour tout entier n à partir de 0,
ce qui prouve bien que la suite v est majorée par 7.
E u et v ont la même limite
FAUX !
lim un = +∞ et la limite de v ne peut pas être +∞ puisque v est majorée.
n →+∞
Q.C.M. et VRAI-FAUX
-
Exercice 2
-
Solution
un = n , vn = n et un ≤ wn ≤ vn .
FAUX !
3. Trois suites u et v sont définies sur N et vérifient :
B u et w ont le même sens de variations
(
)
On peut très bien avoir wn = n + n − n × cos n (il n’est
pas nécessaire de donner une formule mais de dessiner une
courbe qui « zigzague ».
(
)
On sait que : 0 ≤ cos n ≤ 1 , 0 ≤ n − n × cos n ≤ n − n ,
après
avoir
(
remarqué
)
que
n− n ≥0
n ≤ n + n − n × cos n ≤ n + n − n
et
enfin
c'est-à-dire
un ≤ wn ≤ vn .
Par ailleurs, w4 > w5, ce qui montrer que w n’est pas
strictement croissante comme u.
C u minore v VRAI !
Cela découle immédiatement de l’hypothèse un ≤ wn ≤ vn .
D w converge FAUX !
Puisque un ≤ wn et lim un = +∞ , lim wn = +∞ . w diverge.
n →+∞
n →+∞
E on ne peut pas savoir si w − u converge VRAI !
De l’hypothèse un ≤ wn ≤ vn on tire 0 ≤ wn − un ≤ vn − un et comme lim (vn − un ) = +∞ ,
n →+∞
w − u peut très bien diverger vers +∞.
4. Une suite u est définie sur N* et vérifie :
un ≤ 1 + n , un ≥
1
u
et n +1 < 1 .
n
un
1
B (un) et   ont le même sens de variations VRAI !
n
1
1
  est strictement décroissante (suite de référence). Comme un ≥ , un > 0.
n
n
un +1
< 1 donne donc un +1 < un (multiplication par un nombre strictement positif). (un) est
un
donc également strictement décroissante.
( n ) ont le même sens de variations FAUX !
(u ) est strictement décroissante et ( n ) est strictement croissante.
C (un) et
n
D u converge VRAI !
u est décroissante et minorée (par 0) donc converge.
E u diverge FAUX !
d’après le résultat précédent
Q.C.M. et VRAI-FAUX
-
Exercice 3
-
Solution
1. La bonne réponse est : la représentation C.
Eliminez tout de suite B et D qui représentent des suites récurrentes.
Il ne reste plus qu'à étudier le sens de variations de la fonction associée ou, plus astucieusement,
de remplacer n par 0 : u0 = 0, ce qui élimine A.
2. La bonne réponse est la C.
La fonction f étant strictement croissante sur R, la suite (f(n)) est strictement croissante. Par
conséquent la suite (−f(n)) est strictement décroissante et w est strictement décroissante.
La réponse A est fausse. Elle correspond à une confusion répandue entre suites définies par
récurrence et suites définies par leur terme général. Avec une fonction strictement croissante, la
suite peut aussi bien être strictement croissante que strictement décroissante. Essayez avec
f ( x) = 5 + x et u0 = 1 ou u0 = 7.
La réponse B est fausse car si la fonction ne prend que des valeurs strictement positives ou ne
prend que des valeurs strictement négatives, on peut effectivement conclure.
En revanche, si la fonction prend des valeurs strictement négatives puis strictement positives on
voit immédiatement l'erreur. Imaginez f(0) = −5, f(1) = −2, f(2) = 1 et f(3) = 4. On aurait alors
1
1
1
v0 = − , v1 = − , v2 = 1 et v3 = . Il est visible que v est strictement croissante du rang 1 au
5
2
4
rang 2.
La réponse D est fausse car f peut très bien prendre la valeur π (c'est la valeur 0 qu'elle ne peut pas
prendre) en un entier n, auquel cas on aura tn = 0.
3. La bonne réponse est la A.
Si u est décroissante et est strictement négative, −u est croissante et est strictement positive.
1
est strictement décroissante.
est strictement croissante et est strictement positive et
−u
u
La réponse B est fausse car si n +1 > 1 ,
un
alors un +1 < un (multiplication par un
nombre strictement négatif) et donc la
suite u est strictement décroissante.
−u
La réponse C est fausse car la fonction
peut très bien changer de sens de
variation entre deux entiers consécutifs.
Par exemple :
Pour les curieux, un = n et
f ( x) = x + 2sin(πx) .
La réponse D est fausse car u étant strictement négative, |u | = −u et a donc le sens contraire de u,
1
alors que − a le même sens que u.
u