7 pgcd, ppcm dans Z , théorème de Bézout. Applications

7
pgcd, ppcm dans Z, théorème de Bézout.
Applications
Le théorème de division euclidienne et les sous-groupes de (Z, +) sont supposés connus.
Pour tout entier relatif n, on note :
nZ = {n · q | q ∈ Z}
l’ensemble de tous les entiers relatifs multiples de n et :
Dn = {d ∈ N | d divise n}
l’ensemble de tous les diviseurs positifs de n (pour n 6= 0, on a Dn ⊂ N∗ ).
7.1
Plus grand commun diviseur
La caractérisation des sous-groupes de (Z, +) peut être utilisée pour définir le pgcd de deux
ou plusieurs entiers relatifs, non tous nuls.
Théorème 7.1 Soient a, b deux entiers relatifs non tous deux nuls. Il existe un unique entier
naturel δ tel que :
aZ + bZ = δZ.
Cet entier s’écrit δ = au + bv avec (u, v) ∈ Z2 et c’est le plus grand entier naturel qui divise a
et b.
Démonstration. aZ + bZ étant un sous groupe de (Z, +) , le théorème 6.5 nous dit qu’il
existe un unique entier naturel δ tel que aZ + bZ = δZ.
Comme δ ∈ δZ = aZ + bZ, il existe (u, v) ∈ Z2 tel que δ = au + bv.
De aZ ⊂ δZ et bZ ⊂ δZ, on déduit que δ un diviseur commun à a et b. Si d ∈ N est un
diviseur commun à a et b, il divise aussi δ = au + bv et d ≤ δ (a et b n’étant pas tous les deux
nuls, on a δ 6= 0). Donc δ est bien le plus grand entier naturel qui divise a et b.
On peut donc donner la définition suivante.
Définition 7.1 Soient a, b deux entiers relatifs non tous deux nuls. On appelle plus grand
commun diviseur de a et b le plus grand entier naturel qui divise a et b. On le note pgcd (a, b)
ou a ∧ b.
La relation a ∧ b = au + bv avec (u, v) ∈ Z2 est l’identité de Bézout.
145
146
pgcd, ppcm dans Z, théorème de Bézout. Applications
Exercice 7.1 Soient a, b deux entiers relatifs non tous deux nuls et Da ∩ Db l’ensemble des
diviseurs communs à a et b dans N∗ .
Montrer que a ∧ b est le plus grand élément pour l’ordre de la division dans N de Da ∩ Db et
que Da ∩ Db = Da∧b .
Solution 7.1 On sait déjà que δ = a∧b divise a et b, donc δ ∈ Da ∩Db et tout entier d ∈ Da ∩Db
divisant a et b va diviser δ = au + bv.
Comme tout d ∈ Da ∩ Db divise δ, on a Da ∩ Db ⊂ Dδ et comme tout d ∈ Dδ divise δ qui divise
lui même a et b, d va diviser a et b, soit d ∈ Da ∩ Db . On a donc Da ∩ Db = Da∧b .
On peut aussi donner une définition de pgcd (a, b) sans référence directe aux sous-groupes
de Z comme indiqué dans l’exercice suivant.
Exercice 7.2 Montrer, sans référence directe aux sous-groupes de Z, que l’ensemble Da ∩ Db
défini à l’exercice précédent admet donc un plus grand élément δ (δ est alors le plus grand
diviseur communs à a et b).
Solution 7.2 L’ensemble Da ∩ Db est non vide car il contient 1. Comme a et b ne sont pas
tous deux nuls, cet ensemble est fini puisqu’un entier relatif non nul n’a qu’un nombre fini de
diviseurs dans N∗ . L’ensemble Da ∩ Db est donc non vide et majoré dans N∗ , il admet donc un
plus grand élément δ ∈ N∗ qui est bien le plus diviseur communs à a et b.
Théorème 7.2 La fonction pgcd vérifie les propriétés suivantes :
– ∀ (a, b) ∈ Z2 − {(0, 0)} , a ∧ b ∈ N∗ ;
– ∀a ∈ Z∗ , a ∧ 0 = a ∧ a = |a| ;
– ∀a ∈ Z, a ∧ 1 = 1 ;
– ∀ (a, b) ∈ Z2 − {(0, 0)} , a ∧ b = |a| ∧ |b| = |a| ∧ b = a ∧ |b| ;
– ∀ (a, b) ∈ Z2 − {(0, 0)} , a ∧ b = b ∧ a (commutativité du pgcd) ;
– pour b ∈ Z∗ et a ∈ Z, on a a ∧ b = |b| si, et seulement si, b divise a ;
– ∀ (a, b) ∈ Z2 − {(0, 0)} , ∀c ∈ Z∗ , (ac) ∧ (bc) = |c| (a ∧ b) ;
a b
a∧b
∧ =
;
d d
|d|
– pour a, b, c non tous nuls dans Z, on a a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c (associativité du pgcd).
– si d ∈ Z∗ est un diviseur commun de a et b non tous deux nuls, alors
Démonstration. Laissée au lecteur.
Exercice 7.3 Soient a, b deux entiers naturels non nuls. Montrer que :
½
(a − b) ∧ b si a ≥ b
a∧b=
a ∧ (b − a) si b > a
En déduire un algorithme simple de calcul de a ∧ b.
Solution 7.3 Si a = b, alors a ∧ b = a ∧ a = a = 0 ∧ a. Si a > b, on note δ = a ∧ b et
δ 0 = (a − b) ∧ b. Comme δ divise a et b, il divise a − b et b, donc il divise leur pgcd δ 0 . De même
δ 0 qui divise a − b et b va diviser a = (a − b) + b et b, il divise donc δ et δ = δ 0 . Pour a < b, on
a a ∧ b = b ∧ a = a ∧ (b − a) .
Un algorithme simple de calcul de a ∧ b, pour a, b entiers relatifs est donc le suivant :
Début
Lecture de a et b ;
a = |a| ; b = |b| ;
Plus grand commun diviseur
147
Tant que a 6= b Faire
Début
Si a > b Alors
remplacer a par a − b ;
Sinon
remplacer b par b − a ;
Fin si ;
Fin ;
pgcd = a ;
Fin.
Par exemple, pour (a, b) = (128, 28) , on a :
a ∧ b = 100 ∧ 28 = 72 ∧ 28 = 44 ∧ 28
= 16 ∧ 28 = 16 ∧ 12 = 4 ∧ 12 = 4 ∧ 8
= 4 ∧ 4 = 4.
Cet algorithme n’est évidemment pas très performant, il sera amélioré par l’algorithme d’Euclide
au paragraphe 7.3.
Exercice 7.4 Soient a et b deux entiers relatifs non tous deux nuls. Montrer que :
a ∧ b = a ∧ (a + b) = b ∧ (a + b) .
Solution 7.4 On remarque que si (a, b) 6= (0, 0) , alors (a, a + b) 6= (0, 0) et (b, a + b) 6= (0, 0) .
En notant δ = a ∧ b et δ 0 = a ∧ (a + b) , on a :
δ = au + bv = a (u − v) + (a + b) v
∈ aZ + (a + b) Z = δ 0 Z
donc δZ ⊂ δ 0 Z et :
δ 0 = au0 + (a + b) v 0 = a (u0 + v 0 ) + bv 0
∈ aZ + bZ = δZ
donc δ 0 Z ⊂ δZ et donc δZ = δ 0 Z, ce qui équivaut à δ = δ 0 .
On peut aussi dire que comme δ divise a et b, il divise a et a + b, donc il divise leur pgcd δ 0 .
De même δ 0 qui divise a et a + b va diviser a et b = (a + b) − a, il divise donc δ et δ = δ 0 .
On a donc, en permutant les rôles de a et b :
a ∧ b = a ∧ (a + b) = b ∧ (a + b) .
On définit de manière analogue le pgcd d’une famille a1 , · · · , ap formée de p entiers non tous
nuls comme le plus grand des diviseurs communs à a1 , · · · , ap . On le note pgcd (a1 , · · · , ap ) ou
a1 ∧ a2 ∧ · · · ∧ ap et c’est un entier supérieur ou égal à 1. Cette définition est justifiée par le
théorème suivant.
Théorème 7.3 Soient a1 , · · · , ap des entiers relatifs non tous nuls. Il existe un unique entier
naturel δ tel que :
a1 Z + · · · + ap Z = δZ.
p
X
Cet entier s’écrit δ =
uk ak avec (u1 , · · · , up ) ∈ Zp et c’est le plus grand entier naturel qui
divise a1 , · · · , ap .
k=1
148
pgcd, ppcm dans Z, théorème de Bézout. Applications
Démonstration. Analogue au cas où p = 2.
Comme dans le cas où p = 2, on vérifie que a1 ∧ · · · ∧ ap est aussi le plus grand élément pour
l’ordre de la division dans N de l’ensemble des diviseurs positifs communs à a1 , · · · , ap .
p
X
L’égalité δ =
uk ak est l’identité de Bézout.
k=1
La notation a1 ∧ a2 ∧ · · · ∧ ap ne pose pas de problème du fait de la commutativité et
l’associativité du pgcd (elle est indépendante de l’ordre des ak ).
7.2
Nombres premiers entre eux. Les théorèmes de Bézout
et de Gauss
On a vu que, par définition du pgcd, on a a ∧ b = au + bv avec u, v entiers relatifs, mais
en général la réciproque est fausse, c’est-à-dire que si δ est entier naturel tel que δ = au + bv
avec u, v entiers relatifs, il n’y a aucune raison pour que δ soit le pgcd de a et b. Par exemple
2 = 3 · 2 + 2 · (−2) et 3 ∧ 2 = 1. Mais pour δ = 1, cette réciproque est vrai et ce résultat est
très souvent utilisé.
Définition 7.2 Soient (a, b) ∈ Z2 − {(0, 0)} . On dit que a et b sont premiers entre eux (ou
étrangers) si leur pgcd est égal à 1.
De manière équivalente, on peut dire que a et b sont premiers entre eux si, et seulement si,
−1 et 1 sont leurs seuls diviseurs communs de a et b.
Exercice 7.5 Soient (ak )1≤k≤p et (bk )1≤k≤q deux suites finies d’entiers relatifs non nuls. Monp
q
Q
Q
trer que si n =
ak et m =
bk sont premiers entre eux, alors chaque ak , pour k compris
k=1
k=1
entre 1 et p, est premier avec chacun des bj , pour j compris entre 1 et q.
Solution 7.5 Soit δ = ak ∧ bj où 1 ≤ k ≤ p et 1 ≤ j ≤ q. Comme δ est un entier naturel non
nul qui divise ak et bj , il divise n et m et vaut nécessairement 1.
De manière plus générale, on peut donner la définition suivante.
Définition 7.3 Soient a1 , · · · , ap des entiers relatifs non tous nuls. On dit que a1 , · · · , ap sont
premiers entre eux dans leur ensemble si leur pgcd est égal à 1.
Exercice 7.6 Est-il équivalent de dire a1 , · · · , ap sont premiers entre eux dans leur ensemble
et a1 , · · · , ap sont deux à deux premiers entre eux ?
Solution 7.6 On vérifie immédiatement que la réponse est négative en considérant le triplet
(2, 3, 8) .
Théorème 7.4 Soient (a, b) ∈ Z2 − {(0, 0)} et δ = a ∧ b. Il existe deux entiers p et q premiers
entre eux tels que a = δp et b = δq.
Démonstration. Comme δ divise a et b il existe deux entiers p et q tels que a = δp et
b = δq. Le pgcd δ 0 = p ∧ q est un diviseur de p et q, donc l’entier naturel δδ 0 divise a = δp et
b = δq et nécessairement δδ 0 ≤ δ, soit δ (1 − δ 0 ) ≥ 0 avec δ > 0. On a donc δ 0 ≤ 1. Mais δ 0 est
supérieur ou égal à 1 comme tout pgcd qui se respecte. En définitive, on a δ 0 = 1, c’est-à-dire
que p et q sont premiers entre eux.
De manière plus générale, on a le résultat suivant.
Nombres premiers entre eux. Les théorèmes de Bézout et de Gauss
149
Théorème 7.5 Soient a1 , · · · , ap des entiers relatifs non tous nuls. et δ = a1 ∧ a2 ∧ · · · ∧ ap . Il
existe des entiers a01 , · · · , a0p premiers entre eux dans leur ensemble tels que ak = δa0k pour tout
k compris entre 1 et p.
Démonstration. Analogue au cas où p = 2.
Exercice 7.7 Déterminer tous les couples (a, b) d’entiers naturels non nuls tels que a ∧ b = 3
et a + b = 12.
Solution 7.7 On a a = 3p, et b = 3q où p, q sont des entiers naturels non nuls premiers entre
eux et a + b = 12 équivaut à p + q = 4.
Réciproquement si a = 3p, b = 3q où p, q sont des entiers naturels non nuls premiers entre eux
tels que p + q = 4, alors a ∧ b = 3 et a + b = 12.
Les seuls couples (p, q) possibles sont (1, 3) et (3, 1) . Donc (a, b) = (3, 9) ou (a, b) = (9, 3) .
Exercice 7.8 Soient a, n deux entiers naturels non nuls. Montrer que :
(a + 1)n − 1
∧ a = a ∧ n.
a
Solution 7.8 On remarque d’abord que :
n
(a + 1) − 1 = a
n−1
X
(a + 1)k
k=0
est divisible par a, donc
(a + 1)n − 1
est un entier.
a
(a + 1)n − 1
Soit δ =
∧ a. Pour tout k ≥ 0, on a :
a
(a + 1)k ≡ 1 (mod a)
(pour k = 0, c’est clair et pour k ≥ 1, on utilise la formule du binôme) et donc :
n−1
(a + 1)n − 1 X
b=
=
(a + 1)k ≡ n (mod a)
a
k=0
de sorte que δ qui divise a et b divise aussi n = b − pa (p ∈ Z). Il en résulte que δ divise
δ 0 = a ∧ n. Comme δ 0 divise a et n, il divise aussi b = n + pa et en conséquence δ 0 divise δ. On
a donc bien δ = δ 0 .
Exercice 7.9 On se donne un entier naturel a ≥ 2 et on définit la suite (un )n∈N par :
n
∀n ∈ N, un = a2 + 1.
1. Montrer que :
∀n ∈ N, un+1 = (un − 1)2 + 1.
2. Montrer que :
∀n ∈ N, un+1 = (a − 1)
n
Y
uk + 2.
k=0
150
pgcd, ppcm dans Z, théorème de Bézout. Applications
3. Montrer que, pour n 6= m dans N, on a :
½
1 si a est pair
un ∧ um =
2 si a est impair
4. Calculer upn ∧ upm pour n 6= m dans N et p dans N∗ .
Solution 7.9
1. On a :
n+1
un+1 = a2
¡ ¢2
+ 1 = a2n + 1 = (un − 1)2 + 1.
2. On procède par récurrence sur n ≥ 0.
Pour n = 0, on a :
¡
¢
u1 = a2 + 1 = a2 − 1 + 2
= (a − 1) u0 + 2.
En supposant le résultat acquis pour n − 1 ≥ 0, on a :
un+1 = un (un − 2) + 2 = un (a − 1)
n−1
Y
n
Y
k=0
k=0
uk + 2 = (a − 1)
uk + 2.
3. Supposons que m > n.
On a :
um = (a − 1)
m−1
Y
uk + 2 = (a − 1) un
k=0
Ym−1
k=0
k6=n
uk + 2
= qun + 2
Le pgcd de un et um divise alors 2 et il vaut 2 ou 1.
Si a est pair, alors un est impair et δ = 1 puisqu’il divise un , ce qui signifie que un et un
sont premiers entre eux (pour a = 2, c’est le cas des nombres de Fermat).
Si a est impair, alors tous les un sont pairs et δ vaut 2.
4. En utilisant le résultat de l’exercice 8.5, on a :
½
1 si a est pair
p
p
p
un ∧ um = (un ∧ um ) =
2p si a est impair
Théorème 7.6 (Bézout) Deux entiers relatifs a et b non tous deux nuls sont premiers entre
eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.
Démonstration. On sait déjà, par définition, que la condition est nécessaire.
Réciproquement s’il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1 alors δ = a ∧ b
est un entier naturel qui divise a et b, il divise donc 1 = au + bv et δ = 1, c’est-à-dire que a et
b sont premiers entre eux.
Remarque 7.1 La relation de Bézout au + bv = 1 implique que u et v sont aussi premiers
entre eux. On a aussi |a| ∧ |b| = |a| ∧ b = a ∧ |b| = a ∧ b = 1.
Ce théorème peut se généraliser comme suit.
Nombres premiers entre eux. Les théorèmes de Bézout et de Gauss
151
Théorème 7.7 (Bézout) Des entiers relatifs a1 , a2 , · · · , ap non tous nuls sont premiers entre
eux dans leur ensemble si et seulement si il existe deux entiers relatifs u1 , u2 , · · · , up tels que
p
X
uk ak = 1.
k=1
Démonstration. On sait déjà, par définition, que la condition est nécessaire.
p
X
Réciproquement s’il existe deux entiers relatifs u1 , u2 , · · · , up tels que
uk ak = 1 alors
k=1
p
X
uk ak et
δ = a1 ∧ a2 ∧ · · · ∧ ap est un entier naturel qui divise tous les ak , il divise donc 1 =
δ = 1, c’est-à-dire que a1 , a2 , · · · , ap sont premiers entre eux dans leur ensemble.
k=1
Corollaire 7.1 Soient a, b, c des entiers relatifs non nuls. Si c est premier avec a alors a ∧ b =
a ∧ (bc) (le pgcd de deux entiers est inchangé si on multiplie l’un d’eux par un nombre premier
avec l’autre).
Démonstration. Soient δ = a ∧ b et δ 0 = a ∧ (bc) . Comme δ divise a et b, il divise a et bc
ainsi que leur pgcd δ 0 . De au + cv = 1, on déduit que abu + bcv = b et δ 0 qui divise a et bc va
diviser a et b ainsi que leur pgcd δ. On a donc δ = δ 0 .
Corollaire 7.2 Soient a1 , a2 , · · · , ap et c des entiers relatifs non nuls. Si c est premier avec
p
Q
chacun des ak , pour k compris entre 1 et p, il est alors premier avec leur produit
ak .
k=1
Démonstration. En utilisant le corollaire précédent, on a :
!
Ã
p
p
p
Y
Y
Y
ak
ak = c ∧
ak = c ∧ a1
c∧
k=2
k=1
k=2
puisque a1 est premier avec c et par récurrence finie, on déduit que :
c∧
p
Y
ak = c ∧
k=1
p
Y
k=2
ak = c ∧
p
Y
ak = · · · = c ∧ ap = 1
k=3
puisque chaque ak , pour k compris entre 1 et p, est premier avec c.
Une conséquence importante du théorème de Bézout est le résultat suivant.
Théorème 7.8 (Gauss) Soient a, b, c des entiers relatifs non nuls. Si a divise bc et a est
premier avec b alors a divise c.
Démonstration. Comme a et b sont premiers entre eux, il existe deux entiers u, v tels que
au + bv = 1 et pour tout entier c, on a acu + bcv = c, de sorte que si a divise bc, il va diviser
c = acu + bcv.
Ce résultat peut être utilisé pour donner une unique représentation des nombres rationnels
non nuls.
Corollaire 7.3 Tout nombre rationnel non nul r s’écrit de manière unique r =
et q ∈ N∗ premiers entre eux.
p
avec p ∈ Z∗
q
152
pgcd, ppcm dans Z, théorème de Bézout. Applications
a
avec (a, b) dans Z∗ × N∗ . En
b
p
p
p0
notant δ = a ∧ b on a a = δp, b = δq et r = avec p et q premiers entre eux. Si r = = 0
q
q
q
avec (p, q) , (p0 , q 0 ) dans Z∗ × N∗ tels que p ∧ q = p0 ∧ q 0 = 1, on a alors pq 0 = p0 q avec q premier
avec p et q qui divise pq 0 , donc q divise q 0 d’après le théorème de Gauss. De manière analogue,
on voit que q 0 divise q. On a donc q = q 0 (q, q 0 sont des entiers naturels non nuls) et p = p0 .
L’écriture est donc unique.
Démonstration. Un nombre rationnel non nul r s’écrit r =
Corollaire 7.4 Si un entier relatif non nul n est divisible par des entiers a1 , a2 , · · · , ap deux à
deux premiers entre eux, il est alors divisible par leur produit.
Démonstration. On procède par récurrence sur p ≥ 2.
Supposons que n soit divisible par a1 et a2 premiers entre eux. On a alors n = a1 q1 et a2
divise n en étant premier avec a2 , il va donc diviser q1 (théorème de Gauss), c’est-à-dire que
q1 = q2 a2 et n = a1 a2 q2 est divisible par a1 a2 .
En supposons le résultat acquis au rang p − 1 ≥ 2, soient a1 , a2 , · · · , ap deux à deux premiers
p−1
Q
entre eux qui divisent n. L’hypothèse de récurrence nous dit que n est divisible par a =
ak .
k=1
Comme ap est premier avec chacun des ak , pour k compris entre 1 et p − 1, il est premier avec
leur produit a (corollaire 7.2) et n qui est divisible par a et ap est aussi divisible par leur produit
p
Q
ak .
k=1
7.3
L’algorithme d’Euclide
Le lemme qui suit permet de déduire du théorème de division euclidienne un algorithme de
calcul du pgcd de deux entiers positifs. C’est l’algorithme d’Euclide.
Cet algorithme permet également de déterminer des entiers u et v tels que au + bv = a ∧ b.
Théorème 7.9 Soient a, b deux entiers naturels non nuls et r le reste dans la division euclidienne de a par b. On a alors a ∧ b = b ∧ r.
Démonstration. Par division euclidienne, on a a = bq + r avec 0 ≤ r < b. L’entier naturel
δ = a ∧ b qui est un diviseur commun à a et b va diviser r = a − bq, c’est donc un diviseur
commun à b et r et δ ≤ δ 0 = b ∧ r.
L’entier naturel δ 0 = b ∧ r qui est un diviseur commun à b et r va diviser a = bq + r, c’est
donc un diviseur commun à a et b et δ 0 ≤ δ. On a donc bien δ = δ 0 .
Le principe de l’algorithme d’Euclide est le suivant pour a > b dans N∗ (par symétrie, on
peut supposer que a ≥ b et pour a = b, on a a ∧ a = a).
On note r0 = b et on désigne par r1 le reste dans la division euclidienne de a par b.
On a alors 0 ≤ r1 < r0 et d’après le lemme précédent :
a ∧ b = r0 ∧ r1 .
Si r1 = 0 alors r0 ∧ r1 = r0 = b et c’est terminé.
Si r1 6= 0 on désigne alors par r2 le reste dans la division euclidienne de r0 par r1 et on a
0 ≤ r2 < r1 et :
a ∧ b = r0 ∧ r1 = r1 ∧ r2 .
Si r2 = 0 alors r1 ∧ r2 = r1 et c’est terminé. Sinon on continu.
On définit donc ainsi une suite d’entiers (rn )n≥0 par :
L’algorithme d’Euclide
153
– r0 = b ;
– r1 est le reste dans la division euclidienne de a par b ; on a donc 0 ≤ r1 < b ;
– pour n ≥ 2, si rn−1 = 0 alors rn = 0 et sinon rn est le reste dans la division euclidienne de
rn−2 par rn−1 et on a 0 ≤ rn < rn−1 . Dans tous les cas on rn ≤ rn−1 l’égalité étant réalisée
si et seulement si les deux termes sont nuls.
La suite (rn )n≥−1 ainsi construite est donc une suite décroissante d’entiers positifs, elle est
donc stationnaire à partir d’un certain rang. Précisément il existe un entier p ≥ 1 tel que
rp = 0 < rp−1 < · · · < r1 < r0 et :
a ∧ b = r0 ∧ r1 = · · · = rp−1 ∧ rp = rp−1 .
C’est à dire que a ∧ b est le dernier reste non nul dans cette suite de divisions euclidiennes.
Par exemple pour calculer le pgcd de a = 128 et b = 28, on procède comme suit :

a = 128 = 4 · 28 + 16 = q1 r0 + r1




 r0 = 28 = 1 · 16 + 12 = q2 r1 + r2
r1 = 16 = 1 · 12 + 4 = q3 r2 + r3
(7.1)


r
=
12
=
3
·
4
+
0
=
q
r
+
r

4 3
4

 2
r4 = 0, r3 = 4 = 128 ∧ 28
On peut utiliser un tableau pour effectuer la suite des calculs. Sur la deuxième ligne, on
place d’abord a et b, puis sur la première ligne on place au dessus de b le quotient q1 et sur
la troisième ligne, on place au dessous de a le reste r1 , ce même reste r1 étant aussi placé
en deuxième ligne après b. On recommence alors avec le couple (b, r1 ) . Sur la première ligne
apparaissent les quotients successifs sur la troisième les restes successifs. Le dernier reste non
nul, qui apparaît en fin de deuxième ligne, donne alors le pgcd .
q1 q2
q3
q4
a b r1
r2
r3
r1 r2 r3 r4 = 0
4 1
1
3
128 28 16
12
4
16 12 4 r4 = 0
On a donc construit, avec l’algorithme d’Euclide, deux suites d’entiers (rn )0≤n≤p et (qn )1≤n≤p
de la manière suivante :


a = q1 r0 + r1 (0 < r1 < r0 = b)




r0 = q2 r1 + r2 (0 < r2 < r1 )


 r1 = q3 r2 + r3 (0 < r3 < r2 )
..

.



 rp−3 = qp−1 rp−2 + rp−1 (0 < rp−1 < rp−2 )


 r
p−2 = qp rp−1 + rp (rp = 0)
On vérifie alors, par récurrence finie sur n ∈ {0, 1, · · · , p − 1} , qu’il existe des entiers un et
vn tels que rn = aun + bvn .
Pour n = 0 et n = 1 on a :
r0 = b = a · 0 + b · 1,
r1 = a · 1 + b (−q1 ) .
En supposant le résultat acquis jusqu’à l’ordre n − 1 pour 0 ≤ n − 1 ≤ p − 2 on a :
rn = −qn rn−1 + rn−2
= −qn (aun−1 + bvn−1 ) + aun−2 + bvn−2
= a (un−2 − qn un−1 ) + b (vn−2 − qn vn−1 ) = aun + bvn .
154
pgcd, ppcm dans Z, théorème de Bézout. Applications
En particulier pour n = p − 1 on a a ∧ b = rp−1 = aup−1 + bvp−1 = au + bv.
Un tel couple d’entiers (u, v) n’est pas unique puisque si (u, v) est une solution, pour tout
entier λ, le couple (u0 , v 0 ) = (u + λv, v − λa) est aussi solution. On a en effet :
a (u + λb) + b (v − λa) = au + bv = a ∧ b.
Une équation dans Z de la forme au + bv = δ, où a, b, δ sont donnés et u, v sont les inconnues
est une équation diophantienne. Ce type d’équation est étudié plus en détails au paragraphe
7.5.1.
Les suites (rn )0≤n≤p−1 (un )0≤n≤p−1 et (vn )0≤n≤p−1 vérifient la même relation de récurrence :
xn = xn−2 − qn xn−1 (2 ≤ n ≤ p − 1)
avec les conditions initiales :
(r0 , r1 ) = (b, 1) , (u0 , u1 ) = (0, 1) , (v0 , v1 ) = (1, −q1 )
où q1 , r1 sont, respectivement, le quotient et le reste dans la division euclidienne de a par b.
On peut donner une interprétation matricielle de ces calculs comme suit. On a :
¶µ
¶
µ
¶ µ
xn−1
xn
−qn 1
(2 ≤ n ≤ p − 1)
=
xn−2
xn−1
1 0
et :
µ
xp−1
xp−2
¶
µ
¶µ
¶
µ
¶µ
¶
−qp−1 1
−qp−2 1
−q2 1
x1
=
···
1
0
1
0
1 0
x0
µ
¶
x1
= Ap−1
.
x0
Pour l’exemple précédent, la suite de calculs (7.1) donne :
p − 1 = 3, (q1 , q2 , q3 ) = (4, 1, 1)
et :
µ
A3 =
µ
=
d’où :
−q3 1
1 0
¶µ
2 −1
−1 1
¶
µ
=
−1 1
1 0
¶µ
−1 1
1 0
¶
¶µ ¶ µ
¶
2 −1
1
2
=
=
,
= A3
−1 1
0
−1
¶ µ
¶µ
¶ µ
¶
¶ µ
¶µ
µ
2 −1
−4
−9
2 −1
−q1
v3
=
=
=
1
−1 1
1
5
v2
−1 1
µ
u3
u2
¶
µ
u1
u0
¶
¶
−q2 1
1 0
µ
soit (u, v) = (u3 , v3 ) = (2, −9) .
Si on veut se passer du calcul matriciel, on peut procéder comme suit. Les divisions successives :


 a = q1 r0 + r1

r0 = q2 r1 + r2
r1 = q3 r2 + r3



r2 = q4 r3
Plus petit commun multiple
155
donne :
a ∧ b = r3 = r1 − q3 r2 = r1 − q3 (r0 − q2 r1 )
= r1 (1 + q3 q2 ) − q3 r0 = (a − q1 r0 ) (1 + q3 q2 ) − q3 r0
= (a − q1 b) (1 + q3 q2 ) − q3 b = au + bv
(on commence par la fin), soit pour les valeurs particulières 128 et 28 :

128 = 4 · 28 + 16



28 = 1 · 16 + 12
16 = 1 · 12 + 4



12 = 3 · 4
qui donne :
128 ∧ 28 = 4 = 16 − 12 = 16 − (28 − 16) = 2 · 16 − 28
= 2 (128 − 4 · 28) − 28
= 2 · 128 − 9 · 28 = ua + vb
7.4
Plus petit commun multiple
La caractérisation des sous-groupes de (Z, +) peut aussi être utilisée pour définir le ppcm
de deux ou plusieurs entiers relatifs, non tous nuls.
Théorème 7.10 Soient a, b sont deux entiers relatifs. Il existe un unique entier naturel µ tel
que :
aZ ∩ bZ = µZ.
Si a = 0 ou b = 0, alors µ = 0. Si a 6= 0 et b 6= 0, alors µ est le plus petit entier naturel non
nul multiple de a et de b.
Démonstration. aZ ∩ bZ étant un sous groupe de (Z, +) , l’existence et l’unicité de µ se
déduit du théorème 6.5.
Si a = 0 ou b = 0, on a µZ ⊂ 0Z = {0} et µ = 0.
Si a 6= 0 et b 6= 0, de µZ ⊂ aZ et µZ ⊂ bZ, on déduit que µ est multiple de a et b. Si m ∈ N
est un multiple commun à a et b, il est dans aZ ∩ bZ = µZ et c’est donc un multiple de µ, ce
qui implique m ≥ µ. Donc, µ est bien le plus petit entier naturel non nul multiple de a et de b.
On peut donc donner la définition qui suit.
Définition 7.4 Soient a, b deux entiers relatifs. On appelle plus petit commun multiple de a et
b le plus petit entier naturel multiple de a et b. On le note ppcm (a, b) ou a ∨ b.
Remarque 7.2 La définition de ppcm (a, b) peut aussi se justifier directement sans référence
directe aux sous-groupes de Z. Pour ce faire, on utilise l’ensemble aZ∩bZ des multiples communs
à a et b. Si a 6= 0 et b 6= 0, alors l’ensemble aZ ∩ bZ ∩ N∗ des multiples communs à a et b qui
sont strictement positifs est non vide car il contient |ab| , il admet donc un plus petit élément µ
qui est bien plus petit commun multiple de a et b. Pour a = 0 ou b = 0, on a aZ ∩ bZ = {0} et
µ = 0.
156
pgcd, ppcm dans Z, théorème de Bézout. Applications
Remarque 7.3 Le ppcm de a et b est aussi le plus petit élément pour l’ordre de la division
dans Z de l’ensemble aZ ∩ bZ ∩ N∗ des multiples communs à a et b qui sont strictement positifs.
En effet, a ∨ b est un multiple de a et b et tout multiple commun m à a et b qui est dans
aZ ∩ bZ ∩ N∗ = µZ est un multiple de a ∨ b.
On vérifie facilement les propriétés suivantes.
Théorème 7.11 La fonction ppcm vérifie les propriétés suivantes :
– ∀ (a, b) ∈ (Z∗ )2 , a ∨ b ∈ N∗ ;
– ∀a ∈ Z∗ , a ∨ 1 = a ∨ a = |a| ;
– ∀ (a, b) ∈ Z2 , a ∨ b = |a| ∨ |b| = |a| ∨ b = a ∨ |b| ;
– ∀ (a, b) ∈ Z2 , a ∨ b = b ∨ a (commutativité du ppcm) ;
– pour b ∈ Z et a ∈ Z, on a a ∨ b = |b| si, et seulement si, b est multiple de a ;
– ∀ (a, b, c) ∈ Z3 , (ac) ∨ (bc) = |c| (b ∨ a) ;
a b
a∨b
– si d ∈ Z∗ est un diviseur commun de a et b, alors ∨ =
;
d d
|d|
– pour a, b, c non tous nuls dans Z, on a a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c (associativité du ppcm).
Démonstration. Laissée au lecteur.
On définit de manière analogue le ppcm d’une famille a1 , · · · , ap formée de p entiers non tous
nuls comme le plus petit des multiples communs à a1 , · · · , ap . On le note ppcm (a1 , · · · , ap ) ou
a1 ∨ a2 ∨ · · · ∨ ap et c’est un entier supérieur ou égal à 1. Cette définition est justifiée par le
théorème suivant.
Théorème 7.12 Soient a1 , · · · , ap des entiers relatifs non tous nuls. Il existe un unique entier
naturel µ tel que :
a1 Z ∩ · · · ∩ ap Z = µZ.
µ est le plus petit entier naturel divisible par a1 , a2 , · · · et ap .
Démonstration. Analogue au cas où p = 2.
La notation a1 ∨ a2 ∨ · · · ∨ ap ne pose pas de problème du fait de la commutativité et
l’associativité du ppcm (elle est indépendante de l’ordre des ak ).
Comme dans le cas où p = 2, on vérifie que a1 ∨ · · · ∨ ap est aussi le plus petit élément pour
l’ordre de la division dans N de l’ensemble des multiples positifs communs à a1 , · · · , ap .
Lemme 7.1 Soient a, b deux entiers relatifs premiers entre eux. On a alors :
a ∨ b = |ab| .
Démonstration. Du fait que |ab| est un multiple de a et b on déduit que µ = a ∨ b divise
ab.
D’autre part il existe deux entiers k, k 0 tels que µ = ka = k 0 b et comme a est premier avec
b et divise k 0 b, il divise k 0 (théorème de Gauss). Ce qui donne µ = k 00 ab et ab divise µ. D’où
l’égalité µ = ab.
Nous verrons que la réciproque du résultat précédent est vraie.
Théorème 7.13 Soient a, b deux entiers relatifs. On a alors :
(a ∧ b) (a ∨ b) = |ab| .
Plus petit commun multiple
157
Démonstration. On note δ = a ∧ b et on a |a| = δa0 , |b| = δb0 avec a0 et b0 premiers entre
eux. Ce qui donne :
µ = a ∨ b = (δa0 ) ∨ (δb0 ) = δ (a0 ∨ b0 ) = δa0 b0
et δµ = δa0 δb0 = |ab| .
Du lemme et du théorème précédent, on déduit que :
a ∧ b = 1 ⇔ a ∨ b = |ab| .
|ab|
On a donc pour a, b dans Z∗ a ∨ b =
.
a∧b
On peut donc définir de manière naturelle le ppcm de deux entiers relatifs non tous deux
nuls par :
|ab|
a∨b=
.
a∧b
On peut aussi utiliser cette relation pour calculer le ppcm de deux entiers. On calcule d’abord
le pgcd en utilisant l’algorithme d’Euclide, puis on divise |ab| par ce pgcd .
Exercice 7.10 Montrer que si a1 , · · · , ap sont des entiers relatifs non nuls deux à deux premiers
entre eux alors a1 ∨ · · · ∨ ap = |a1 · · · ap | . Ce résultat est-il encore valable si on suppose que
a1 , · · · , ap sont premiers entre eux dans leur ensemble.
Solution 7.10 On sait déjà que si a1 et a2 sont premiers entre eux alors a1 ∨ a2 = |a1 a2 | .
Supposons le résultat acquis pour p − 1 ≥ 2 et soient a1 , · · · , ap deux à deux premiers entre
eux. Les entiers a1 · · · ap−1 et ap sont alors premiers entre eux (corollaire 7.2) et en utilisant
l’associativité du ppcm, on a :
a1 ∨ · · · ∨ ap = (a1 ∨ · · · ∨ ap−1 ) ∨ ap
= |a1 · · · ap−1 | ∨ ap = |a1 · · · ap | .
Ce résultat n’est plus valable si on suppose seulement que les ak sont premiers entre eux dans
leur ensemble comme le montre l’exemple suivant :
2 ∨ 3 ∨ 4 = 12 6= 2 · 3 · 4 = 24
Exercice 7.11 A-t-on (a1 ∧ · · · ∧ ap ) (a1 ∨ · · · ∨ ap ) = |a1 · · · ap | dans Z∗ ?
Solution 7.11 La réponse est non pour n ≥ 3 comme le montre l’exercice précédent.
Exercice 7.12 Peut-on trouver des entiers a, b tels que a ∧ b = 7 et a ∨ b = 36.
Solution 7.12 Comme a ∧ b = 7 divise a et b, il divise a ∨ b et a ∨ b = 36 est alors impossible.
Exercice 7.13 Déterminer tous les couples (a, b) d’entiers naturels non nuls tels que a ∧ b = 3
et a ∨ b = 12.
Solution 7.13 De a∨b = 12 on déduit que a, b sont des diviseurs de 12 donc dans {1, 2, 3, 4, 6, 12} .
de a ∧ b = 3, on déduit que a et b sont multiples de 3, donc dans {3, 6, 12} . De ab =
(a ∧ b) (a ∨ b) = 36, on déduit que :
– a = 3 [resp. b = 3] donne b = 12 [resp. a = 12] et (3, 12) , (12, 3) sont deux solutions
possibles ;
– a = 6 [resp. b = 6] donne b = 6 [resp. a = 6] et a ∧ b = 6 6= 3.
158
pgcd, ppcm dans Z, théorème de Bézout. Applications
En définitive, (a, b) ∈ {(3, 12) , (12, 3)} .
Exercice 7.14 On se propose de montrer que pour tout entier naturel n > 2, on a :
µn = ppcm (1, 2, · · · , n) ≥ 2n−2 .
1. Montrer le résultat pour n = 2 et n = 3.
2. Pour tout entier naturel n, on, note :
Z 1
In =
xn (1 − x)n dx.
0
(a) Montrer que :
1
.
4n
(b) Montrer que, pour tout n ∈ N∗ , il existe un entier naturel non nul an tel que In =
an
.
µ2n+1
(c) En déduire que :
∀n ∈ N∗ , µ2n+1 ≥ 22n .
∀n ∈ N, 0 < In ≤
(d) En déduire le résultat annoncé (On peut en fait montrer que µn ≥ 2n pour tout
n ≥ 7).
Solution 7.14
1. On a :
µ2 = ppcm (1, 2) = 2 ≥ 1 et µ3 = ppcm (1, 2, 3) = 6 ≥ 2.
2.
1
(a) Pour 0 < x < 1, on a 0 < x (x − 1) ≤ sup x (1 − x) = , ce qui donne le résultat.
4
[0,1]
(b) On a :
Z
1
In =
xn
à n
X
0
=
!
Cnk (−1)k xk
k=0
n
X
Cnk
Z
(−1)
xn+k dx
0
k=0
=
1
k
dx
n
X
k=0
et en réduisant au même dénominateur In =
Cnk
(−1)k
n+k+1
an
µ2n+1
, où an ∈ N∗ .
(c) On a alors µ2n+1 In = an ≥ 1 et :
µ2n+1 ≥
1
≥ 4n = 22n .
In
(d) Pour n ∈ N∗ , on a :
µ2n+2 = µ2n+1 ∨ (2n + 2) ≥ 22n .
On a donc montré que µn ≥ 2n−2 pour tout n ≥ 4.
On peut en fait montrer que µn ≥ 2n pour tout n ≥ 7.
Applications
7.5
159
Applications
Les théorème de Bézout, de Gauss et l’algorithme d’Euclide peuvent être utilisés pour étudier
les équations diophantiennes ax + by = c ou ax ≡ b (n) .
7.5.1
Équations diophantiennes ax + by = c
Soient a, b, c trois entiers relatifs, avec a et b non nuls. On s’intéresse ici à l’équation diophantienne dans Z2 :
ax + by = c
(7.2)
En notant δ le pgcd de a et b, on a a = δa0 , b = δb0 avec a0 et b0 premiers entre eux.
Lemme 7.2 L’équation diophantienne (7.2) a des solutions entières si, et seulement si, δ divise
c.
Démonstration. Si c n’est pas un multiple de δ, comme δ divise ax + by pour tous entiers
x, y, l’équation (7.2) n’a pas de solutions.
Si c = δc0 est un multiple de δ, en écrivant que δ = au0 + bv0 avec u0 , v0 dans Z (théorème
de Bézout) on déduit que (x0 , y0 ) = (u0 c0 , v0 c0 ) est une solution de (7.2) .
Théorème 7.14 Si c est multiple de δ, alors l’ensemble des solutions de (7.2) est :
S = {(x0 − kb0 , y0 + ka0 ) | k ∈ Z}
où (x0 , y0 ) est une solution particulière.
Démonstration. Si (x, y) est une solution de (7.2) , on a alors :
½
ax0 + by0 = c,
ax + by = c,
ce qui donne par soustraction :
a (x0 − x) = b (y − y0 )
et divisant par δ, on obtient :
a0 (x0 − x) = b0 (y − y0 ) .
Avec le théorème de Gauss on en déduit alors que a0 divise y − y0 . On a donc y − y0 = ka0 avec
k ∈ Z, ce qui entraîne a0 (x0 − x) = b0 ka0 et x0 − x = kb0 . En définitive on a :
(x, y) = (x0 − kb0 , y0 + ka0 )
avec k ∈ Z. Réciproquement on vérifie que pour tout k ∈ Z, (x0 − kb0 , y0 + ka0 ) est bien solution
de (7.2) . En effet on a :
ax + by = ax0 + by0 + k (a0 b − ab0 ) = c + kδ (a0 b0 − a0 b0 ) = c.
³ c
c´
L’algorithme d’Euclide nous permet d’obtenir une solution particulière (x0 , y0 ) = u0 , v0 .
δ
δ
160
pgcd, ppcm dans Z, théorème de Bézout. Applications
Exemple 7.1 Soit à résoudre l’équation :
370x + 45y = 15.
Le pgcd de 370 et 45 est égal à 5 qui divise 15.
On cherche tout d’abord une solution particulière de 74x + 9y = 1. En utilisant l’algorithme
d’Euclide, on a :
74 = 8 · 9 + 2
9=4·2+1
et donc :
1 = 9 − 4 · 2 = 9 − 4 · (74 − 8 · 9)
= 74 · (−4) + 9 · 33
Le couple (−12, 99) est solution de 74x + 9y = 3 et de 370x + 45y = 15.
D’un point de vue géométrique l’ensemble des solutions de (7.2) est formé de la suite de
points de Z2 définie par :

µ
¶
x0


,
 M0 =
x0 µ
¶
−b0


, k ∈ Z.
 Mk = M0 + k
a0
µ
¶
−
→0
−b0
Les points Mk sont sur la droite passant par M0 et dirigée par le vecteur v =
a0
¶
µ
−b
→
. Ces vecteurs sont orthogonaux au vecteur
ou encore par le vecteur colinéaire −
v =
a
µ ¶
a
−
→
.
u =
b
Exercice 7.15 Résoudre dans Z2 l’équation diophantienne :
128x + 28y = 8.
Solution 7.15 En notant (a, b) = (128, 28) , c = 8 et δ = a∧b, on a vu au paragraphe précédent
que :
δ = 4 = 2 · 128 − 9 · 28 = au0 + bv0
´
³ c
c
= (4, −18) est une solution particulière de notre équations. Toutes les
et (x0 , y0 ) = u0 , v0
δ
δ
solutions étant données par :
(x, y) = (x0 − kb0 , y0 + ka0 ) = (4 − 7k, −18 + 32k)
où k décrit Z.
Applications
7.5.2
161
Équations ax ≡ b (n)
Voir le paragraphe 9.8.2.
Soient n un entier supérieur ou égal à 2, a un entier supérieur ou égal à 1 et b un entier
relatif. On veut résoudre dans Z l’équation diophantienne :
ax ≡ b (n)
(7.3)
On s’intéresse tout d’abord au cas où b = 1.
Lemme 7.3 Soient n un entier supérieur ou égal à 2, a un entier supérieur ou égal à 1.
L’équation
ax ≡ 1 (n)
(7.4)
a des solutions dans Z si et seulement si a est premier avec n.
Démonstration. Le théorème de Bézout nous dit que a est premier avec n si, et seulement
si, il existe des entiers relatifs x et k tels que ax − kn = 1, ce qui équivaut à dire que x ∈ Z est
solution de (7.4) .
Si a et n sont premiers entre eux alors l’algorithme d’Euclide nous permet de trouver une
solution x0 ∈ Z de (7.4) . Et pour tout autre solution x ∈ Z l’entier a (x − x0 ) est divisible par
n. Comme n est premier avec a, le théorème de Gauss nous dit que nécessairement n divise
x − x0 . Il est clair que réciproquement pour tout k ∈ Z, x0 + kn est solution de (7.4) . En
définitive, l’ensemble des solutions de (7.4) est :
S = {x0 + kn | k ∈ Z}
où x0 est une solution particulière de (7.4) .
Remarque 7.4 Si a et n sont premiers entre eux alors il existe une unique solution de (7.4)
dans {1, · · · , n − 1} . En effet, si S est l’ensemble des solutions de (7.4) alors S ∩ N∗ est non
vide et donc admet un plus petit élément x > 0. Si x ≥ n on a alors x = qn + r avec q ≥ 1
et 0 ≤ r < n. Comme ar ≡ ax ≡ 1 modulo n, on a r ∈ S ∩ N et nécessairement r = 0. Mais
x = qn entraîne ax ≡ 0 modulo n en contradiction avec x ∈ S. On a donc x < n.
On s’intéresse maintenant au cas où les entiers a et n sont premiers entre eux et b est un
entier relatif. Dans ce cas on peut trouver une solution x0 de l’équation (7.4) et pour tout entier
relatif k, x = bx0 + kn est solution de (7.3) . Réciproquement si x est solution de (7.3) alors
a (x − bx0 ) est divisible par n avec n premier avec a. Le théorème de Gauss nous dit alors que
x−bx0 est divisible par n. En définitive, pour a et n premiers entre eux, l’ensemble des solutions
de (7.3) est :
S = {bx0 + kn | k ∈ Z}
où x0 est une solution particulière de (7.3) .
Considérons maintenant le cas où δ = a ∧ n n’est pas nécessairement égal à 1 et b est un
entier relatif.
On a alors a = δa0 , n = δn0 et si l’équation (7.3) admet une solution x ∈ Z alors δn0 divise
0
δa − b, donc δ divise δa0 − b et δ divise b. En conclusion si b n’est pas un multiple de δ alors
l’équation (7.3) n’a pas de solution dans Z.
On suppose donc que b est un multiple de δ, soit b = δb0 . Si x ∈ Z est solution de (7.3) alors
x est solution de :
a0 x ≡ b0 (n0 )
162
pgcd, ppcm dans Z, théorème de Bézout. Applications
avec a0 et n0 premiers entre eux. On sait alors que x est de la forme x = b0 x00 + kn0 où x00 est
une solution de a0 x ≡ 1 modulo n0 et k est un entier relatif. Réciproquement on peut vérifier
que pour tout entier k ∈ Z, x = b0 x00 + kn0 est solution de (7.3) . En effet on a :
ax = a0 x00 δb0 + a0 kδn0 = (1 + k 0 n0 ) δb0 + a0 kn
= b + n (k 0 b0 + ka0 ) ≡ b (n) .
En définitive, si b = δb0 où δ = a ∧ n, alors l’ensemble des solutions de (7.3) est :
S = {b0 x00 + kn0 | k ∈ Z}
où x00 est une solution particulière de a0 x ≡ 1 modulo n0 , où a = δa0 , n = δn0 .
7.5.3
Le théorème Chinois
Voir le paragraphe 9.8.3.
7.5.4
Éléments inversibles de Zn =
Z
nZ
Théorème 7.15 Soit a un entier relatif. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
1. a est inversible dans Zn ;
2. a est premier avec n ;
3. a est un générateur de (Zn , +) .
Démonstration. Voir le théorème 9.5 (on utilise le théorème de Bézout).
7.5.5
Générateurs d’un groupe cyclique
Théorème 7.16 Soit G = hgi un groupe cyclique d’ordre n. Les générateurs de G sont les g k ,
où k est un entier compris entre 1 et n − 1 premier avec n
Démonstration. Voir le théorème 2.5 (on utilise le théorème de Bézout).
7.5.6
√
n est irrationnel si n est sans facteurs carrés
Théorème 7.17 Si n ≥ 2 est un entier sans facteur carré,
√
n est alors irrationnel.
Démonstration. Voir l’exercice 8.15 (on utilise le théorème de Gauss).
7.5.7
Le théorème de Fermat pour n = 2 et n = 4
On s’intéresse aux solutions dans N3 de l’équation de Fermat :
xn + y n = z n
pour n = 2 et n = 4.
Applications
163
Théorème 7.18 Les solutions dans N3 de l’équation de Fermat :
x2 + y 2 = z 2
(7.5)
sont les triplets d’entiers naturels de la forme :
¡
¡
¢ ¡
¢¢
(x, y, z) = 2δnm, δ n2 − m2 , δ n2 + m2
ou :
¡ ¡
¡
¢
¢¢
(x, y, z) = δ n2 − m2 , 2δnm, δ n2 + m2
où δ ∈ N et n, m sont premiers entre eux.
Démonstration. Soit (x, y, z) une solution de (7.5) .
Si (x, y) = (0, 0) , on a alors z = 0.
On suppose que (x, y) 6= (0, 0) et on note δ1 = x ∧ y, δ2 = y ∧ z et δ3 = x ∧ z.
On a δ1 6= 0 puisque (x, y) 6= (0, 0) et avec a2 ∧b2 = (a ∧ b)2 (exercice 8.5) et a∧b = a∧(a + b)
(exercice 7.4), on déduit que :
¡
¢
δ32 = x2 ∧ z 2 = x2 ∧ x2 + y 2 = x2 ∧ y 2 = δ12
et :
¡
¢
δ22 = y 2 ∧ z 2 = y 2 ∧ x2 + y 2 = y 2 ∧ x2 = δ12
ce qui donne δ1 = δ2 = δ3 puisque tous ces entiers sont positifs. En notant δ ce pgcd commun,
on peut alors écrire x = δx0 , y = δy 0 , z = δz 0 avec x0 , y 0 , z 0 deux à deux premiers entre eux et
l’équation (7.5) avec δ 6= 0 nous donne (x0 )2 + (y 0 )2 = (z 0 )2 .
Les entiers x0 , y 0 sont alors nécessairement de parités différentes.
En effet : si x0 et y 0 sont impairs, (z 0 )2 est pair, donc z 0 est pair et (z 0 )2 ≡ 0 mod (4) est
incompatible avec (x0 )2 + (y 0 )2 ≡ 2 mod (4) ; et comme x0 , y 0 sont premiers entre eux, ils ne
peuvent être tous deux pairs.
Comme x0 et y 0 jouent des rôles symétriques, on peut supposer que x0 est pair et y 0 impair,
soit x0 = 2a, y 0 = 2b + 1 et :
2
(z 0 ) = 4a2 + (2b + 1)2
ce qui impose z 0 impair.
y0 + z0
z0 − y0
,v=
et on a y 0 = u − v, z 0 = u + v.
2
2
Le pgcd de u et v divisant y 0 et z 0 divise aussi leur pgcd qui vaut 1, donc u ∧ v = 1.
On a alors :
(z 0 )2 − (y 0 )2
(x0 )2
uv =
=
= a2
4
4
les entiers u et v étant premiers entre eux, ce qui impose que ces entiers sont des carrés. En
effet, si u n’est pas un carré, il est différent de 1 et sa décomposition en facteurs premiers nous
donne u = p2α+1 q avec p premier ne divisant ni q ni v (u et v sont premiers entre eux), ce qui
donne a2 = p2α+1 r avec p ne divisant pas r, ce qui est impossible. On a donc u = n2 et v = m2
avec n, m premiers entre eux puisque 1 = n2 ∧ m2 = (n ∧ m)2 .
On a donc :
 0
 y = u − v = n2 − m2 ,
z 0 = u + v = n2 + m2 ,
 0 2
(x ) = 4a2 = 4uv = 4n2 m2
On définit donc des entiers en notant u =
avec x0 ≥ 0, ce qui donne :
x0 = 2nm, y 0 = n2 − m2 , z 0 = n2 + m2
164
pgcd, ppcm dans Z, théorème de Bézout. Applications
où n, m sont des entiers naturels premiers entre eux et :
¡
¡
¢ ¡
¢¢
(x, y, z) = 2δnm, δ n2 − m2 , δ n2 + m2
Pour x0 impair et y 0 pair, on obtient :
¡ ¡
¢
¡
¢¢
(x, y, z) = δ n2 − m2 , 2δnm, δ n2 + m2
Réciproquement, on vérifie facilement que ces triplets d’entiers naturels sont bien solutions
de notre équation. En effet, on a :
¡
¢2
¡
¢2
4δ 2 n2 m2 + δ 2 n2 − m2 = δ 2 n2 + m2
et δ = 0 nous donne la solution triviale.
Théorème 7.19 L’équation :
x4 + y 4 = z 4
(7.6)
n’a pas de solution dans (N∗ )3 .
Démonstration. Il suffit de montrer que l’équation :
x4 + y 4 = z 2
(7.7)
n’a pas de solution dans (N∗ )3 .
S’il existe des solutions dans (N∗ )3 , on en choisit une telle que z soit minimal dans N∗ .
Dans ces conditions les entiers x, y, z sont deux à deux premiers entre eux.
En effet, s’il existe un diviseur premier p de x et y [resp. de x et z, ou
z], p4 va diviser
µ de y et ¶
x y z
z 2 [resp. p2 va diviser y 4 , ou x4 ] donc p va diviser z [resp. y ou x] et
, ,
est une autre
p p p2
z
solution avec 1 ≤ 2 < z, ce qui contredit le caractère minimal de z.
p
En reprenant la démonstration du théorème précédent, on peut supposer x pair (x et y
jouent des rôles symétriques) et il existe des entiers naturels non nuls u, v premiers entre eux
tels que :
¡ 2 2 ¢ ¡
¢
x , y , z = 2uv, u2 − v 2 , u2 + v 2
Si u est pair, v est nécessairement impair et y 2 = u2 −v 2 ≡ −1 mod (4) , ce qui est impossible
puisqu’un est congru à 0 ou 1 modulo 4.
On a donc u impair et v pair.
Comme (u, v, y) est solution de v 2 + y 2 = u2 avec u, v, y deux à deux premiers entre eux
(u ∧ v = 1 et u2 + y 2 = v 2 nous dit qu’un diviseur premier de y et v va diviser u et un diviseur
premier de y et u va diviser v), il existe des entiers naturels non nuls r, s premiers entre eux
tels que :
¢
¡
(v, y, u) = 2rs, r2 − s2 , r2 + s2
ce qui nous donne :
´
¢
¡ 2
¢ ¡ 2
¢ ¡ 2
¡ 2 2 ¢ ³
2 2
2 2
2
2 2
x , y , z = 4rs r + s , r − s , r + s + 4r s
En particulier, on a x2 = 4rs (r2 + s2 ) avec r, s, r2 + s2 deux à deux premiers entre eux, ce
sont donc tous des carrés, c’est-à-dire qu’il existe des entiers strictement positifs a, b, c tels que
r = a2 , s = b2 et r2 + s2 = c2 et on a a4 + b2 = c2 avec c ≤ c2 = r2 + s2 = u < u2 + v 2 = z, ce
qui contredit le caractère minimal de z.
D’où le résultat annoncé.