techniques de calcul intégral - Site Personnel de Arnaud de Saint

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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017
Feuille d’exercices : techniques de calcul intégral
Exercice 1 Calculer les intégrales suivantes :
1)
Z
4
−2
⌊x⌋ dx 2)
Z
1
0
t
max{e , 2} dt 3)
Z
1
0
|3t − 1| dt.
Exercice 2 (Calculs de primitives) Déterminer une primitive de
√
1. x 7→ (x − 1) x
5. x 7→
x2
(x3 +7)5
2. x 7→ x cos(5x2 − 3).
1
x ln x
6. x 7→
3. x 7→
ln x
x
4. tan
7. cos2
8. th
Exercice 3 Calculer les intégrales suivantes à l’aide d’intégrations par parties :
1.
Z
e
1
5
x ln(x) dx
2.
Z
2 3x
x e dx
Z
3.
1
t
cos(t)e dt
0
4.
Z
1
e
ln t dt
5.
Z
0
1
arctan t dt.
Exercice 4 Calculer les intégrales suivantes à l’aide d’un changement de variable :
1.
4.
Z
1
√
e
dt
t(1 + ln t)3
0
Z
1
1 − x2 dx (x = cos t)
2.
5.
Z
π
2
0
Z
cos5 (t) dt (u = sin t)
ln 2
0
2 dx
5 sh x − 4 ch x
Z
dx
(u = ex )
ch x
Z 1
x3
2
√
6.
dx
0
1 − x2
3.
Exercice 5 (Fractions rationnelles dont le dénominateur est de degré 2)
Calculer (pour la dernière, faire une division euclidienne) :
1.
4.
Z
1
0
Z
0
1
3 − 4x
dx
x2 + 1
1
dx
2
4x + 4x + 1
Z
1
2.
dt
0 1 + t + t2
Z
1
5.
dx
x(x − 2)
1
Exercice 6 Pour n ∈ N, on pose In =
Z
1
0
Z
1
t
dt
0 1 + t + t2
Z
5x3 − 3
6.
dx
x(x − 2)
3.
xn ex dx.
1. Démontrer par récurrence l’existence de deux suites d’entiers (an ) et (bn ) telles
que :
∀n ∈ N, In = an + ebn .
2. Déterminer la limite de In .
3. Justfier que pour tout entier n > 2, on a bn 6= 0. En déduire une suite de
rationnels qui converge vers le nombre e.
Exercice 7 Pour p et q dans N, on pose
B(p, q) =
Z
0
1
tp (1 − t)q dt.
1. Démontrer que B(p, q) = B(q, p).
q
B(p+1, q −1). En déduire une expression
p+1
de B(p, q) à l’aide de p!, q! et (p + q + 1)!.
2. Démontrer que l’on a B(p, q) =
2
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Exercice 8 (Fonctions à valeurs complexes) Calculer les intégrales
Z
π
2
Z
it
e dt et
0
1
0
dx
.
x − (1 + i)
Exercice 9 Déterminer la limite lorsque n tend vers +∞ de
In =
Z
1
0
Z 1√
1 − xn
dx
et
J
=
1 + xn dx.
n
1 + x2
0
Exercice 10 (Du cours) Soit f : R → R une fonction continue et T -périodique.
Démontrer à l’aide d’un changement de variable que pour tout a, b ∈ R, on a
Z
b+T
f (t) dt =
a+T
Z
Z
b
f (t) dt et
a
a+T
f (t) dt =
a
Z
T
0
f (t) dt.
Exercice 11 (Non calculatoire, en vrac) Les questions sont indépendantes
1. Comment justifie-t-on l’existence de
Z
1
0
ln(1 + x)
dx ?
x
2. Démontrer que la tangente à la courbe représentative de la fonction x 7→
au point d’abscisse 1 est parallèle à la droite d’équation y = 2x − 5.
3. Donner la dérivée de la fonction 7→
R x3
x2
et
t
est dérivable sur ]0, +∞[
Rb
a
fn et
Rb
a
x2
0
et−1 t2013 dt
dt.
4. A l’aide d’un changement de variable, démontrer que la fonction x 7→
Exercice 12 (lim
par :
Z
Z
0
2π
√
t cos(xt) dt
lim fn ) Soit n ∈ N et fn : [0, 1] → R la fonction définie
• fn (x) = 22n−2 x si x ∈ [0, 2−(n−2) [
• fn (x) = −22n−2 x + 2n−1 si x ∈ [2−(n−2) , 2−(n−1) [
• fn (x) = 0 sinon
1. Représenter graphiquement la fonction fn , en déduire
R1
0
fn .
2. Soit x ∈ [0, 1]. Déterminer lim fn (x).
n→+∞
3. Comparer lim
Z
n→+∞ 0
1
Z
fn (x) dx et
1
lim fn (x) dx. Commenter
0 n→+∞
Exercice 13 (Un changement de variable trigonométrique) Nous allons voir
une technique qui fait partie des règles
de Bioche (hors-programme) qui permettent
R
de calculer des intégrales du type R(cos, sin) où R(X, Y ) fraction rationnelle.
1. Soit x ∈] − π, π[. On pose t = tan x2 . Démontrer que
cos x =
1 − t2
1 + t2
et
sin x =
2t
.
1 + t2
2. Calculer à l’aide du changement de variable t = tan x2 , l’intégrale
Z
0
π
2
1 + sin x
dx.
1 + cos x
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Exercice 14 (Intégrale de Wallis) Pour tout n ∈ N, on définit l’intégrale de
Wallis d’ordre n par
π
Wn =
Z
0
1. Démontrer que l’on a aussi Wn =
pour la suite).
2
Z
0
sinn t dt.
π
2
cosn t dt (cette expression n’est pas utile
2. Formule explicite
(a) Donner la valeur de W0 et W1 puis montrer que pour n > 1, on a
Wn+1 =
n
Wn−1 .
n+1
(b) En déduire avec soin que pour p ∈ N,
W2p =
(2p)! π
.
(2p p!)2 2
(c) Déterminer une formule similaire pour W2p+1 .
Exercice 15 (Une approximation de π)
1. Soit n ∈ N et x ∈ R. Démontrer que :
n
X
(−1)n+1 x2n+2
1
k 2k
(−1)
x
+
=
.
1 + x2 k=0
1 + x2
2. En déduire que :
Z 1 2n+2
n
π X
(−1)k
x
=
+ (−1)n+1
dx.
4 k=0 2k + 1
0 1 + x2
3. Soit n ∈ N. On pose In =
Z
0
1
x2n+2
dx. Justifier que |In | 6
1 + x2
1
.
2n+3
4. En déduire une suite (un ) de rationnels qui converge vers π.
5. Déterminer à l’aide de votre calculatrice un rationnel a tel que |π − a| 6 10−4 .